高中數(shù)學(xué)論文：利用空間向量證明線面平行問題

1、利用空間向量證明線面平行問題 向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，是一個具有代數(shù)與幾何雙重屬性的量，為我們用代數(shù)方法研究幾何問題提供了強(qiáng)有力的工具。線面平行是立體幾何的一個重要內(nèi)容，是面面平行等內(nèi)容的基礎(chǔ)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn)和重點(diǎn)，若我們能充分應(yīng)用好向量這個工具的特點(diǎn)，發(fā)揮它的雙重屬性，能起到事半功倍的效果。一、應(yīng)用空間共線向量定理：由平面外的一條直線和平面內(nèi)一條直線共線，得到線面平行。例1 、（2004年天津）在四棱錐p-abcd中，底面abcd是正方形，側(cè)棱pd底面abcd，pd=dc，e是pc的中點(diǎn)。證明：pa/平面edb。 證明：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系d為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)dc=a，連結(jié)ac，

2、ac交bd于g，連結(jié)eg。依題意得a（a，0，0），p（0，0，a），e（0，）。底面abcd是正方形，g是此正方形的中心，則點(diǎn)g的坐標(biāo)為（，0），=（a，0，-a），=（，0，-）=2，peg，pa/eg，而eg平面edb，pa平面edb，pa/平面edb。二、應(yīng)用向量平行于平面和空間向量共面定理，我們可得到如下的性質(zhì)：如圖，已知直線l不在平面內(nèi)，取直線l上的任一非零向量，平面中存在兩個不共線向量，若存在唯一的實數(shù)對1，2，使得=1+2，則l/。 證明：由=1+2知，與共面，因此/，由直線l不在平面內(nèi)得到l/。例2 、已知平行四邊形abcd，p為平行四邊形abcd所在平面外一點(diǎn)，m，n分別為

3、pc，pb的中點(diǎn)；求證：mn/面pab。 證明：構(gòu)造向量，和。 =（+）=（+）=（） mn/面pab例3、 已知四邊形abcd是正方形，s是平面abcd外一點(diǎn)，且sa=sb=sc=sd，sp:pd=1:2，sn: na=2:1，sm:mc=2:1。求證：sb/平面pmn。 證明：如圖，連結(jié)ac與bd交于o，連結(jié)so，易證so平面abcd ，由四邊形abcd為正方形知bdac，如圖建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz。構(gòu)造向量，與，令bc= ，so=1， 由題目已知可得坐標(biāo)：o（0，0，0），s（0，0，1），a（0，-1，0），b（1，0，0），c（0，1，0），d(-1，0，0)，所以p（-，0，），m（0，），n（0，-，），則=（1，0，-1），=（，-，-），=（，-），所以=+，所以sb/平面pmn。 三、應(yīng)用法向量：如果能證明平面外直線的方向向量垂直平面的法向量，得到線面平行。 例4 、已知四邊形abcd是正方形，s是平面abcd外一點(diǎn)，且sa=sb=sc=sd，sp:pd=1:2，sn: na=2:1，sm:mc=2:1，求證：sb/平面pmn。 證明：從例3可知=（1，0，-1），=（，-，-），=（，-），由，可得到平面pmn的法向量=（-1，0，1），則=0，所以，得到sb/平面pmn。從上述問題中可以看到，在解決線面平行問題時一定要善于運(yùn)用向量的代數(shù)屬性，能融