無(wú)窮積分的收斂與被積函數(shù)極限為零的條件探討

1、目錄摘要1關(guān)鍵詞1Abstract1Key words.1引言11.1 無(wú)窮積分收斂時(shí)，時(shí)，不趨于零的情形。21.2 無(wú)窮積分收斂時(shí)，時(shí)，趨于零的情形21.2.1 函數(shù)一致連續(xù)時(shí)，對(duì)時(shí)，趨于零的探討21.2.2 函數(shù)為單調(diào)函數(shù)時(shí)，對(duì)時(shí)，趨于零的探討51.2.3 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的反常積分收斂時(shí)，對(duì)時(shí)，趨于零的探討51.2.4 極限存在時(shí)的情形71.2.5 函數(shù)導(dǎo)數(shù)有界時(shí)，對(duì)時(shí)，趨于零的探討81.3 當(dāng)，趨于零與無(wú)窮積分收斂的關(guān)系91.3.1 當(dāng)，趨于零時(shí)與斂散性的關(guān)系91.3.2 當(dāng)，趨于零時(shí)與的斂散性與斂散性的關(guān)系91.4推廣形式10總結(jié)10致謝11參考文獻(xiàn)11無(wú)窮積分的收斂與被積函數(shù)極限為零的條

2、件探討數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 李昆指導(dǎo)老師 王頂國(guó) 摘要： 目的:討論無(wú)窮積分的被積函數(shù)當(dāng)+時(shí)的極限情況.方法:利用函數(shù)在,+)上一致連續(xù)的一些性質(zhì)和結(jié)論和一些新穎的實(shí)例.結(jié)果:給出了無(wú)窮積分的被積函數(shù)極限=0的一些條件及其證明.結(jié)論:若無(wú)窮積分收斂時(shí)被積函數(shù)極限為零,必須附加一定的條件才能成立.關(guān)鍵詞： 無(wú)窮積分 收斂 被積函數(shù) 一致收斂 極限D(zhuǎn)iscussion on the Limit Becoming Zero of Integrand When the Infinite Integral convergesStudent majoring in Mathematics and Applied

3、 Mathematics Li Kun Tutor Wang DingguoAbstract：Objective:To discuss the limit case of integrand f(x) of infinite integral from n=a to (+)f (x) DX when x +. Method : use the consistent continuous nature and conclusions and some novel instances of function f(x) on a, + ).Results: Given some conditions

4、 and its proof when the limit of integrand f(x) of infinite integral from n=a to (+ ) f (x) DX is zero when x +. Conclusion: the limit of integrand f(x) is zero when infinite integral from n=a to (+ ) f (x) DX is convergent when x + must be attached to certain conditions.Key words： infinite integral

5、； convergence； integrand； uniformly continuous；limit. 引言 定積分的積分區(qū)間是有界區(qū)間,但是許多實(shí)際問(wèn)題和理論問(wèn)題涉及到無(wú)限積分區(qū)間,因此,對(duì)無(wú)窮限反常積分的研究是具有實(shí)際意義的.在無(wú)窮限反常積分中,我們主要研究其斂散性的判別以及在收斂時(shí)所具有的性質(zhì)。對(duì)于收斂時(shí),其被積函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限是我們主要討論的問(wèn)題.即討論的收斂性與被積函數(shù)f(x)在無(wú)窮遠(yuǎn)處極限的關(guān)系.我們知道,無(wú)窮限反常積分和數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)兩者之間有很多結(jié)論是相似的.在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)里面,當(dāng)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其通項(xiàng)是收斂于零的.那么在無(wú)窮限反常積分里是不是也有相似的結(jié)論呢?首先我們看看無(wú)窮限

6、反常積分在收斂時(shí)的幾何意義: 收斂時(shí)的幾何意義:若是,+)上的非負(fù)連續(xù)函數(shù),則是介于曲線,直線以及軸之間那一塊向右無(wú)限延伸的陰影區(qū)域的面積J.從而可知: 實(shí)際上是表示曲線與坐標(biāo)軸所圍成的面積的代數(shù)和.而當(dāng)收斂時(shí),是否在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限一定為零,如果回答否定,那么在哪些情況下,被積函數(shù)的極限是趨于零的，以及他們的關(guān)系又是什么樣的.1.1 無(wú)窮積分收斂時(shí)，時(shí)，不趨于零的情形若無(wú)窮積分收斂，則有當(dāng)時(shí)是否成立？反之，是否成立都是不一定的.例如，由狄利克雷判別法知收斂，但不存在.若收斂，且0，則當(dāng)時(shí)不一定趨于0例如：=當(dāng)屬于整數(shù)時(shí)；=1當(dāng)不屬于整數(shù)時(shí).=1-| | 當(dāng)n-,n+；=0 當(dāng)為其它數(shù)時(shí)；所以收

7、斂，0,并且連續(xù)，但當(dāng)時(shí)，不趨于零.若將中0改為大于0，當(dāng)x趨于正無(wú)窮時(shí)仍可能不趨于零，例如：令f（x）=， 其中為中的函數(shù).1.2 無(wú)窮積分收斂時(shí)，時(shí)，趨于零的情形1.2.1 函數(shù)一致連續(xù)時(shí)，對(duì)時(shí)，趨于零的探討定義1：若定義在區(qū)間A（注意區(qū)間A可以是閉區(qū)間，亦可以是開區(qū)間甚至是無(wú)窮區(qū)間）上的連續(xù)函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)，存在一個(gè)只與有關(guān)與無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)0，使得對(duì)任意A上的，只要，滿足|，就有|，則稱在區(qū)間A上是一致連續(xù)的。定義2：為，+）上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，在上都可積，若極限存在，則稱在，+）上可積，極限值稱為為，+）上無(wú)窮限反常積分，簡(jiǎn)稱無(wú)窮積分。引理1：若函數(shù)在連續(xù)，且，則函數(shù)在

8、上一致連續(xù). 證明 已知，即，有 .已知在上連續(xù),根據(jù)一致連續(xù)性定理,則在一致連續(xù),即 有 .于是 都有 .故函數(shù)在上一致連續(xù).引理2：若函數(shù)在區(qū)間滿足李普希茨條件，即，有，其中是常數(shù)，則在上一致連續(xù).證明 解不等式得取 于是 則 有故函數(shù)在上一致連續(xù).引理3：若函數(shù)在上可導(dǎo)，且有其中為常數(shù)，則在上一致連續(xù).證明 因?yàn)樵谏峡蓪?dǎo)，對(duì)，則 在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，所以從而 .由引理2知 在上一致連續(xù). 定理1：若在a，+）上一致連續(xù)，且收斂，則證明 已知在上一致連續(xù)，則（不妨設(shè)），對(duì)，當(dāng)時(shí)，有.又因?yàn)槭諗浚蕦?duì)上述的，當(dāng)時(shí)有對(duì)使且，于是有 ，從而=，即 . 于是 時(shí)有,所以 .例1：對(duì)定義在上的函數(shù),

9、顯然它在上連續(xù),對(duì)無(wú)窮積分,已知函數(shù)在區(qū)間連續(xù),有,所以無(wú)窮積分收斂.于是也收斂.而所以由引理1知 在上一致連續(xù).推論1：若收斂,在上滿足李普希茨條件，則 . 證明 因?yàn)樵谏蠞M足利普希茨條件，由引理2知 在上一致連續(xù).又 收斂，所以由定理1知.定理1不僅告訴我們收斂的廣義積分的極限為零的充要條件，而且用它我們可以判定某些函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上不一致連續(xù). 如收斂，但，則在上不一致連續(xù).若直接證明在上不一致連續(xù)是很困難的。1.2.2 函數(shù)為單調(diào)函數(shù)時(shí)，對(duì)時(shí)，趨于零的探討定理2：若為單調(diào)減函數(shù)，且收斂，則。證明 若存在使，則時(shí)恒有a,使得對(duì)任意的時(shí)，有。定理3：若函數(shù)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，和都收斂，則證明：

10、由于收斂，所以由柯西準(zhǔn)則知對(duì)任意的存在，使得對(duì)任意時(shí)有= 則對(duì)任意的，存在N0，當(dāng)n，mN時(shí)有,所以=0，由極限保號(hào)性知存在0，當(dāng)時(shí)有所以時(shí) 與收斂矛盾若0時(shí) 同理可證所以例3： 對(duì)定義在上的函數(shù)顯然在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)無(wú)窮積分由于 所以 收斂.同樣也收斂.由定理3知1.2.4 極限存在時(shí)的情形定理4：若收斂，并且存在極限,則=0 證明 由于存在極限，若A不妨設(shè)A大于零，則對(duì)任意的,存在M當(dāng)大于M時(shí)有 所以 發(fā)散 發(fā)散，矛盾 所以A=0.例4：令，顯然無(wú)窮積分，并且，當(dāng) 1.2.5 函數(shù)導(dǎo)數(shù)有界時(shí)，對(duì)時(shí)，趨于零的探討定理5：若收斂，在時(shí)可導(dǎo)且存在，使得，則 . 證明 由于函數(shù)在上可導(dǎo)，且有（其

11、中為常數(shù)）.由引理3知 在上一致連續(xù).又由無(wú)窮積分收斂，由定理1.例5：設(shè)在a, ）上連續(xù)可微，并且.證明： 假設(shè)因?yàn)樵赼, ）上連續(xù)可微，故在a, ）一致連續(xù)，于是， 又因，故 對(duì)該 當(dāng) 矛盾 .1.3 當(dāng)時(shí)，趨于零與無(wú)窮積分收斂的關(guān)系1.3.1 當(dāng)，趨于零時(shí)與斂散性的關(guān)系定理6：若絕對(duì)收斂，且，則必定收斂。 證明：由知，存在，當(dāng)時(shí)的值總在0和1之間此時(shí) 由比較判別法知收斂時(shí)，收斂即絕對(duì)收斂時(shí)必有收斂.1.3.2 當(dāng)，趨于零時(shí)與的斂散性與斂散性的關(guān)系定理7：設(shè)為a. ）上的連續(xù)可微函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，遞減趨于零，則收斂的充要條件為。 證明 由已知，為連續(xù)函數(shù),當(dāng)A大于時(shí) 必要性：若收斂，則由遞減趨于零知 所 所以. 充分性：若，則對(duì)任意的，存使得 時(shí)有 由單調(diào)遞減得 ， 所以由積分中值定理得 令 存在 即收斂. 綜上所述收斂的充要條件為.1.4 推廣形式例6 設(shè)在每個(gè)有限區(qū)間上可積，并且存在，求證：對(duì)任意的, 證明 令 原式= = = =+ 由知 當(dāng)時(shí)，式右端兩項(xiàng)都趨于零 所以 即 .總結(jié)：本文總結(jié)了無(wú)窮積分的收斂與被積函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限為零之間的關(guān)系，應(yīng)用這些定理在判斷被積函數(shù)的極限上會(huì)省去很