2021屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：數(shù)列求通項(xiàng)公式及求和

1、本資料為共享資料 來自網(wǎng)絡(luò) 如有相似概不負(fù)責(zé)專題補(bǔ)充：數(shù)列求通項(xiàng)公式和及求和一、 通項(xiàng)公式用于型已知條件 先寫出數(shù)列前幾項(xiàng) 觀察數(shù)列變化規(guī)律猜測(cè)出通項(xiàng)后，用數(shù)學(xué)歸納法證明（“退一步”思想）即由已知推出相鄰的遞推式后將兩式作差化簡得出結(jié)論 構(gòu)造等差等比數(shù)列等）公式法疊加法用于等差、等比數(shù)列相關(guān)公式遞推方法猜想歸納法構(gòu)造輔助數(shù)列疊乘法chengcheng 法觀察法數(shù)列求通項(xiàng)的一般方法與的關(guān)系利用易漏n=1喲！用于型已知條件 二、數(shù)列求和 把一組需要求和的數(shù)列拆分成兩組或兩組以上的特殊數(shù)列來求和把通項(xiàng)公式是分子為非零常數(shù)，分母為非常數(shù)列的等差數(shù)列的兩項(xiàng)積的形式拆成兩個(gè)分式差的形式之后再求和倒序相加法

2、裂項(xiàng)相消法錯(cuò)位相減法分組求和法主要是針對(duì)等差等比數(shù)列，直接應(yīng)用求和公式公 式 法數(shù)列求和的一般方法（五種）若某數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩相和等于首末兩項(xiàng)和，可采用把正著寫的和倒著寫的兩個(gè)式子相加，就得到一個(gè)與常數(shù)數(shù)列求和相關(guān)的式子設(shè)數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，常常將的各項(xiàng)乘以的公比，并向后錯(cuò)一項(xiàng)與的同次項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減，即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和補(bǔ)充：典型例題 一通項(xiàng)類型1：等差求通項(xiàng)思想：疊加求通項(xiàng)，用于型； 例1：（03全國19）已知數(shù)列|滿足（I）求（II）證明：變式1：（08四川）設(shè)數(shù)列中，則通項(xiàng) = 變式2：(08江西5)在數(shù)列中， ，則（ ） A B C D類型2：等

3、比求通項(xiàng)思想：疊乘求通項(xiàng)，用于型； 例2：在數(shù)列中，則變式1：設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列， 則它的通項(xiàng)公式是_變式2：在數(shù)列中，已知求通項(xiàng)；類型3： 已知求通項(xiàng)： 例3：（07福建21）數(shù)列的前項(xiàng)和為，（）求數(shù)列的通項(xiàng)；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和變式1：(09全國 19）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，（）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 變式2：(07重慶）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列滿足，并記為的前項(xiàng)和，求證：變式3：若，則變式4:正項(xiàng)數(shù)列滿足：是其前項(xiàng)之和，且，求；類型4：構(gòu)造等比或等差數(shù)列（遞歸數(shù)列）類型一：用于型已知條件。轉(zhuǎn)化方法：設(shè)，由km-m=b求

4、出m的值，則數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列；通過求出間接求出通項(xiàng).類型二：用于型已知條件。轉(zhuǎn)化步驟：（1）等式兩邊同時(shí)除以：；（2）令，則；當(dāng)時(shí)，是以1為公差的等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為類型一構(gòu)造等比數(shù)列；類型三：用于型已知條件。轉(zhuǎn)化步驟：設(shè)，由求出：，則是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列；通過求出間接求出通項(xiàng).例4：（06重慶）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_變式1：（08四川21）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和()求；()證明：數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列.()求的通項(xiàng)公式.變式2：(06福建22）已知數(shù)列滿足,（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；例5： （08全國19）在數(shù)列中，求數(shù)列的前項(xiàng)和變式1：（08四

5、川21）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和()求；(2)求的通項(xiàng)公式.例6：（08全國19）在數(shù)列中，（）設(shè)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和變式1：（08天津20）已知數(shù)列中，且，（）設(shè)，證明是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；小結(jié)：先證明新數(shù)列為等差或等比再求通項(xiàng)問題，先從問題入手按證明等差或等比方法證明問題，再由等差或等比的通項(xiàng)公式間接解決問題。類型5：分式型遞歸數(shù)列解決辦法；解決步驟：（1）兩邊顛倒分子分母,得到：；（2）令，則當(dāng)時(shí), 為等差數(shù)列；當(dāng)時(shí),轉(zhuǎn)化為類型4中問題.例7：數(shù)列中，則變式1：.(08陜西22)已知數(shù)列的首項(xiàng)，（）求的通項(xiàng)公式；類型6：指數(shù)型遞歸數(shù)列（兩邊取對(duì)數(shù)）如：兩邊取對(duì)數(shù)

6、得到：，令，則，則轉(zhuǎn)化為類型4；例，數(shù)列滿足： ，求的通項(xiàng)；類型8：遞推思想（升標(biāo)或降標(biāo)法）：據(jù)已知條件推出類似等量關(guān)系后兩式再作差（用于知與或與相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系）；例7： (04全國卷)若數(shù)列滿足,則的通項(xiàng).變式1：數(shù)列滿足,則?綜合練習(xí)：1（05天津）在數(shù)列an中,a1=1,a2=2,且則=_2（07江西）已知數(shù)列對(duì)于任意，有，若，則_3（04全國19）數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a11，an1Sn（n1，2，3，）證明()數(shù)列是等比數(shù)列；()Sn14an4.(08四川20)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)為，已知（）證明：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；（）求的通項(xiàng)公式5（09四川22）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整

7、數(shù)，都有成立，記.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；6. (07福建）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為（）求的通項(xiàng)與前項(xiàng)和；（）設(shè)，求證：數(shù)列中任不同的三項(xiàng)不可能成為等比數(shù)列；7.(07北京）數(shù)列中，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列（I）求的值；（II）求的通項(xiàng)公式8.(07山東）設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和已知，且構(gòu)成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）令求數(shù)列的前項(xiàng)和9（06陜西) 已知正項(xiàng)數(shù)列an，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)an .二數(shù)列求和例1：求下列數(shù)列的前項(xiàng)和： 變式：數(shù)列為等差數(shù)列，（1）求通項(xiàng)公式；（2），求數(shù)列前項(xiàng)和

8、；小結(jié)求和方法： （1）公式法：用于等差與等比數(shù)列；（2）倒序相加法：若某數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩相和等于首末兩項(xiàng)和，可采用把正著寫的和倒著寫的兩個(gè)式子相加，就得到一個(gè)與常數(shù)數(shù)列求和相關(guān)的式子（3）錯(cuò)位相減法：設(shè)數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，則求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，常常將的各項(xiàng)乘以的公比，并向后錯(cuò)一項(xiàng)；（4）裂項(xiàng)相消法：把通項(xiàng)公式是分子為非零常數(shù)，分母為非常數(shù)列的等差數(shù)列的兩項(xiàng)積的形式拆成兩個(gè)分式差的形式之后再求和；， （5）分組求和法：把一組需要求和的數(shù)列拆分成兩組或兩組以上的特殊數(shù)列來求和練習(xí)：1(07福建)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 6等差數(shù)列前3項(xiàng)之和為12，后3項(xiàng)之和為132，所有各項(xiàng)

9、之和為240，則項(xiàng)數(shù)7求前n項(xiàng)和8函數(shù)求等差數(shù)列獨(dú)有特點(diǎn)：1.若為等差數(shù)列,前項(xiàng)和分別為,若，則；2.判定等差數(shù)列何時(shí)取最大值：法1根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)的對(duì)稱性；法2判定何時(shí)開始為負(fù)；3判定等差數(shù)列何時(shí)開始或，由，即判定何時(shí)正負(fù)發(fā)生改變；補(bǔ)充:等差、等比數(shù)列中：利用對(duì)稱性設(shè)出相鄰幾項(xiàng)：如等比相鄰3項(xiàng)設(shè)為：，等比相鄰4項(xiàng)設(shè)為：；等差相鄰3項(xiàng)：數(shù)列清單：函數(shù)與數(shù)列比較一般函數(shù)：數(shù)列：自變量，對(duì)應(yīng)法則項(xiàng)數(shù)，通項(xiàng)公式函數(shù)值（觀察自變量與函數(shù)值變化關(guān)系）項(xiàng)，前項(xiàng)和（觀察項(xiàng)的下標(biāo)之間的關(guān)系）單調(diào)性判定：定義法、圖象法、已有函數(shù)單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性（同增異減）單調(diào)性判定：（1）轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性；（2）作差或作商：比較或?qū)θ我鈹?shù)列成立的關(guān)系式：數(shù)列前項(xiàng)和,則見寫出做差二等差與等比數(shù)列：五要素（， 知三求二）數(shù)列等差數(shù)列（一次函數(shù)型）等比數(shù)列（指數(shù)函數(shù)型）定義（判定方法）對(duì)任意，（常數(shù)）或，則稱數(shù)列為等差數(shù)列；常數(shù)為公差；對(duì)任意，（常數(shù)）或則稱數(shù)列為等比數(shù)列；常數(shù)為公比；等差中項(xiàng)成等差數(shù)列，則叫做的等差中項(xiàng)