清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論

1、,感謝您的閱覽,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,熱 力 學(xué),熱力學(xué)第一定律：,系統(tǒng)又有往能量極小演化的趨勢,似乎有矛盾，怎么回事？,熱力學(xué)第零定律：,若兩個熱力學(xué)系統(tǒng)均與第三個系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)，此兩個系統(tǒng)也必互相處于熱平衡。,對于非孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的總能量始終是守恒的。,熱平衡的標志為系統(tǒng)的各個部分,U是狀態(tài)量，Q、Wmech、Wextra是過程量（路徑依賴）,2,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,熱力學(xué)第二定律揭示了系統(tǒng)在保持總能量不變情況下的發(fā)展方向 熱能區(qū)別于其他能量形式 很多能量都最終耗散轉(zhuǎn)化為熱能 事實上系統(tǒng)演化

2、是一個熵增的過程,熱力學(xué)第二定律：,不可能把熱量從低溫物體傳遞到高溫物體而不產(chǎn)生其他影響。,Clausius,不可能從單一熱源吸收能量，使之完全變?yōu)橛杏霉Χ划a(chǎn)生其他影響。,Kelvin-Planck,引入S熵,3,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,封閉系統(tǒng)：系統(tǒng)與環(huán)境之間只有能量交換，沒有物質(zhì)交換。,對于具有定常體積、外參量和熵的封閉系統(tǒng)，系統(tǒng)總的內(nèi)能將趨向減小，當達到平衡狀態(tài)時，總的內(nèi)能達到極小值。,能量最小原理：,達到平衡狀態(tài),能量最小原理是熱力學(xué)第二定律的另一種表述。,內(nèi)能,焓,Helmholtz 自由能,Gibbs 自由能,4,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論

3、,Legendre變換,Adrien-Marie Legendre,Louis Legendre,200 year portrait debacle,在熱力學(xué)里，使用Legendre變換主要的目的是：將一個函數(shù)與所含有的一個自變量，轉(zhuǎn)換為一個新函數(shù)與所含有的一個新自變量，此新自變量是舊函數(shù)對于舊自變量的偏導(dǎo)數(shù)；將舊函數(shù)減去新自變量與舊自變量的乘積，得到的差就是新函數(shù)。 Legendre變換可以用來在各種熱力勢（thermodynamic potential）之間作轉(zhuǎn)換。,Legendre變換,5,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,Griffith理論,Alan Arnold Gri

4、ffith (1893-1963). He was born in London on 13 June 1893. He earned his B.Eng. in mechanical engineering in 1914, M.Eng. in 1917, and D.Eng. in 1921, all from the University of Liverpool. In 1915, he entered the Royal Aircraft Factory (later known as the Royal Aircraft Establishment), and advanced t

5、hrough a workshop traineeship followed by other positions to become senior scientific officer in,1920. In 1917, together with G.I. Taylor, he published a pioneering paper on the use of soap films in solving torsion problems, and in 1920 he published his famous paper on the theory of brittle fracture

6、. He then worked on the design theory of gas turbines. Griffith was Head of the Engine Department of the Royal Aircraft Establishment in 1938 and joined Rolls Royce as research engineer in 1939. He worked first on conceptual design of turbojet engines and later on vertical takeoff aircraft design. H

7、e retired in 1960 but continued working as a consultant for Rolls Royce. He died on 13 October 1963.,Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, Vol. 10, (Nov., 1964), pp. 117-136,6,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,Griffith理論,橢圓孔的應(yīng)力分布（彈性力學(xué)解）,Charles Inglis, 1913,C.E. Inglis,Stress in a plate due to

8、the presence of cracks and sharp corners, 1913.,尖銳的裂紋,7,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,Griffith理論,A.A. Griffith,Phenomena of rupture and flow in solids, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, A221, 163-198 (1921).,Energy balance concept,Difference in elastic energy between the cracked sh

9、eet and the uncracked sheet,Cracked sheet has the free surface,Plane strain,Total energy,g Surface energy,Homework（作業(yè)題）,Equilibrium condition,?,Crack growth will be unstable!,隨后深入討論穩(wěn)定性！,8,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,作 業(yè) 題,1.閱讀Griffith的論文。根據(jù)如下兩個公式回答Inglis的解與Griffith理論之間的關(guān)系，并說明哪個解更復(fù)合實際情況，為什么？同時給出在什么情況下兩者是基

10、本一致的？,Inglis的解,Griffith的解,9,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,作 業(yè) 題,2.如下圖所示，在楔形處插入高h的方形木塊，楔形的楊氏模量為E，表面能為g，求解裂紋起裂時的臨界條件，即c(E,h,d,g)，并判斷裂紋擴展是否穩(wěn)定，同時用圖示說明？（注：考慮單位厚度的能量即可，計算能量時不需考慮力F的做功，僅需將懸臂段考慮成梁，計算其彎曲能即可）,10,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,封閉系統(tǒng)：系統(tǒng)與環(huán)境之間只有能量交換，沒有物質(zhì)交換。,對于具有定常體積、外參量和熵的封閉系統(tǒng)，系統(tǒng)總的內(nèi)能將趨向減小，當達到平衡狀態(tài)時，總的內(nèi)能達到極小值。,能量最小

11、原理：,達到平衡狀態(tài),能量最小原理是熱力學(xué)第二定律的另一種表述。,內(nèi)能,焓,Helmholtz 自由能,Gibbs 自由能,熵不變,Legendre變換,狀態(tài)函數(shù),11,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,Legendre變換,Adrien-Marie Legendre,Louis Legendre,200 year portrait debacle,在熱力學(xué)里，使用Legendre變換主要的目的是：將一個函數(shù)與所含有的一個自變量，轉(zhuǎn)換為一個新函數(shù)與所含有的一個新自變量，此新自變量是舊函數(shù)對于舊自變量的偏導(dǎo)數(shù)；將舊函數(shù)減去新自變量與舊自變量的乘積，得到的差就是新函數(shù)。 Legendr

12、e變換可以用來在各種熱力勢（thermodynamic potential）之間作轉(zhuǎn)換。,Legendre變換,12,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,斷裂過程中的能量平衡及轉(zhuǎn)化,考察一個斷裂過程中的能量平衡,外界對系統(tǒng)做的功,系統(tǒng)的彈性應(yīng)變能增加,系統(tǒng)新增表面能,斷裂過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的熱,系統(tǒng)內(nèi)部熱能增加,傳出系統(tǒng)的熱量,熱力學(xué)第二定律要求,由(*)式得,B:試件厚度,(*),斷裂的驅(qū)動力,斷裂阻力,13,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,斷裂是一個材料生成新表面的過程!,阻力：表面能,驅(qū)動力,單位面積表面能，或表面張力,G 裂紋前進單位面積的機械能量減少,稱為能量釋放

13、率。,Irwin G.R. Onset of fast crack propagation in high strength steel and aluminum alloys. Sagamore Research Conference Proceedings, Vol. 2, 1956, pp. 289-305.,George Rankine Irwin,14,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,下面我們首先研究最簡單的例子，在斷裂過程中沒有系統(tǒng)和外界功的交換，即,上式給出了在斷裂過程中最一般的能量平衡和轉(zhuǎn)換關(guān)系以及判斷準則。,15,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,一

14、個典型例子：Griffith脆斷理論,問題：多長的裂紋會自動擴展？,表面能,外界對系統(tǒng)做功,位移固定邊界,單位面積表面能,如何計算彈性應(yīng)變能的改變dUe？,16,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,計算彈性應(yīng)變能Ue（有限板情形），采用疊加原理,為什么可以用疊加原理?上下的疊加哪個正確?為什么?,宏微觀斷裂力學(xué),17,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,其實只要邊界和外載處滿足疊加條件即可，為什么？,若系統(tǒng)由線彈性和非線彈性部分組成，可否用疊加原理?,如何檢查疊加是否正確？ 線性系統(tǒng)（線彈性、小變形、小轉(zhuǎn)動） 檢查以下等式是否都滿足,18,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffit

15、h斷裂理論,假設(shè)(b)為應(yīng)變能零狀態(tài),要求解(a)狀態(tài)能量,先轉(zhuǎn)換成求(c)狀態(tài)能量，及裂紋張開所需的應(yīng)變能。,對于一般的問題能用疊加來計算能量嗎？,若不能,為什么這里可以？,計算彈性應(yīng)變能Ue（有限板情形），采用疊加原理,對于無限大板（La），參見隨后的作業(yè)題3,19,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,計算彈性應(yīng)變能Ue（有限板情形），采用疊加原理,通過計算做功來計算能量差異,狀態(tài)（a）和（b）之間的差異（讓裂紋閉合所做的功）,狀態(tài)（b）和（c）之間的差異,20,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,計算彈性應(yīng)變能Ue（有限板情形），采用疊加原理,上面是位移邊界,作業(yè)題4

16、. 如果采用力邊界，如何采用疊加原理計算帶有中心裂紋板的能量？仿照課程講義關(guān)于位移邊界的情況，討論有限板和無限大板的情況。,21,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,最一般形式,對于位移固定加載的系統(tǒng),臨界裂紋長度,臨界應(yīng)力,裂紋擴展的臨界狀態(tài)對應(yīng)于,考慮Griffith裂紋（如右圖）的情況,結(jié)合作業(yè)題，簡單討論尺度效應(yīng),22,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,最一般形式,對于位移固定加載的系統(tǒng),裂紋擴展的臨界狀態(tài)對應(yīng)于,對于位移固定加載的系統(tǒng)，可以用,總能量表面能彈性應(yīng)變能,作為狀態(tài)函數(shù)來確定系統(tǒng)演化的方向，系統(tǒng)朝總能量減小方向演化。,裂紋擴展需滿足,23,清華大學(xué)斷裂

17、力學(xué)講義Griffith斷裂理論,位移固定邊界下裂紋擴展的臨界狀態(tài),裂紋擴展的驅(qū)動力裂紋擴展的阻力 隨裂紋擴展釋放的應(yīng)變能生成新表面需要能量,A代表面積，G量綱為J/m2(N/m)，代表廣義能量力,A是裂紋的投影面積，是新增表面積的一半,固定力加載時，是否有對應(yīng)的狀態(tài)函數(shù)來確定演化方向？如何確定G？,能量釋放率：,注意到,24,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,位移固定,載荷固定（力固定）,D,臨界狀態(tài),25,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,位移固定,載荷固定（力固定）,圖示能量改變,26,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,基于Legendre變換的理解,

18、將Ue轉(zhuǎn)換為另外一個函數(shù)以P為自變量,將一個函數(shù)與所含有的一個自變量，轉(zhuǎn)換為一個新函數(shù)與所含有的一個新自變量，此新自變量是舊函數(shù)對于舊自變量的偏導(dǎo)數(shù)；將舊函數(shù)減去新自變量與舊自變量的乘積，得到的差就是新函數(shù)。,27,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,能量釋放率,材料對裂紋臨界擴展的抗力,理想脆斷,Gc隨a的變化稱為材料的斷裂阻力曲線,Griffith起裂準則,不起裂,臨界狀態(tài),對于平衡態(tài)靜止裂紋,裂紋擴展的穩(wěn)定性條件,穩(wěn)定裂紋,隨遇裂紋,失穩(wěn)擴展,更準確的應(yīng)該是？,28,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,斷裂阻力曲線,Gc=Const,Gc=R(a),外加載荷s1 s2

19、 s3,當裂紋足夠小時，裂紋擴展總是不穩(wěn)定。對長裂紋而言，裂紋擴展初期是穩(wěn)定的，但隨著載荷的增大，將變得不穩(wěn)定。,長/短裂紋的擴展穩(wěn)定性？,示 例,一般情形,29,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,考慮更一般的情況，包含試驗機和試件兩個系統(tǒng)。下面的例子試件子系統(tǒng)與外界會有功的交換，但是若將試驗機和試件視為一個總系統(tǒng)，首先仍研究沒有功交換的情形。,與裂紋有關(guān)的試件柔度,試驗機柔度,整個加載系統(tǒng)的總彈性能為,能量釋放率,能量釋放率與加載方式無關(guān)！,G的實驗測量柔度標定,30,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,為什么?,裂紋擴展的穩(wěn)定性討論,裂紋擴展的穩(wěn)定性與加載方式有關(guān)！,

20、CM值越大，越容易實現(xiàn)裂紋失穩(wěn)擴展,剛度無窮大，剛性加載，控制位移加載,控制載荷加載,理解,31,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,Griffith理論在非理想脆性材料中的修正,Irwin（1948，1957）和Orowan（1948）,每單位裂紋長度擴展時在斷裂過程區(qū)內(nèi)消耗的塑性變形功,塑性變形僅局限于裂紋尖端（即塑性區(qū)尺寸遠小裂紋長度或其他特征長度尺寸） 裂紋擴展所釋放的機械能大部分消耗于裂紋尖端的塑性變形功 塑性功的大小足以表征材料的斷裂性能,材料常數(shù)？,Egon Orowan,32,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,一 些 討 論,什么是表面能？ 裂紋長度a是否

21、單調(diào)增的？ 如何理解能量釋放率G與加載方式無關(guān)（廣義構(gòu)型力、能量平衡）？ Legendre變換和狀態(tài)函數(shù)的選擇？ 是否存在一個特征尺度（尺寸效應(yīng)）？,33,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,什么是表面能(Surface energy)？,在Griffith理論里有一個表面能的概念。其解釋是生成單位面積新表面所需要的能量。主要以下幾個問題： 1、表面能跟什么有關(guān)？ 可以肯定的是跟材料性質(zhì)有關(guān)，如鋁、鐵應(yīng)該有不同的表面能。還有其他因素嗎？跟材料的楊氏模量會不會有關(guān)系？ 2、怎么能得到一種材料的表面能？ 如果要通過實驗得到材料的表面能，能否通過斷裂力學(xué)的方法得到？ 除了這個還有其他方法嗎

22、？ 3、如果一個材料是各向異性的，比如楊氏模量有E1、E2。那么如果利用Griffith理論，是不是應(yīng)該得到具有方向性的表面能？,34,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,什么是表面能(Surface energy)？,Surface energy VS. Surface tension,Surface tension form force: The force, F, involved in stretching a film is F = gL This means g= F/L i.e. force/unit length; Units: N/m or mN/m Surface

23、 energy from work: The work, dW, involved in increasing the surface by a length dx is, dW = dG = g L dx = g dA This means, g = dG/dA i.e. free energy/unit area; Units: J/m2 = N/m Surface tension and surface energy are interchangeable definitions with the same units.,35,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,什么是表面能(

24、Surface energy)？,Experimental measurement for Solid,The surface energy of a solid is usually measured at high temperatures. At such temperatures the solidcreepsand even though the surface area changes, the volume remains approximately constant. If g is the surface energy density of a cylindrical rod

25、 of radius rand lengthlat high temperature and a constant uniaxial tensionP, then at equilibrium, thevariationof the totalGibbs free energyvanishes, so,variation of area,variation of volume,Surface energy,Only for isotropic solids,In the case of single-crystal materials, anisotropy in the surface en

26、ergy leads to faceting. The shape of the crystal (assuming equilibrium growth conditions) is related to the surface energy by Wulff construction.,36,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,什么是表面能(Surface energy)？,Calculations,During the deformation of solids, surface energy can be treated as the “energy required to

27、create one unit of surface area”, and is a function of the difference between the total energies of the system before and after the deformation, so,In the ab initio calculations, formation energy of the crystalline solid can be calculated by,Eslab is the total energy of a symmetric slab (i.e. one wi

28、th inversion symmetry, and where both sides of the slab have been relaxed), Ebulk is the total energy of a bulk unit cell, Nslab is the number of atoms in the slab, and Nbulk is the number of atoms in the bulk unit cell.,37,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,斷裂力學(xué)中的尺度效應(yīng),載荷與裂紋幾何參數(shù)組合 VS 純粹的材料參數(shù)組合,載荷參數(shù) VS 純粹的材料參數(shù)組合

29、,相似性？ 存在一個材料內(nèi)稟的特征尺度！,38,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,斷裂力學(xué)中的尺度效應(yīng),Gao and Ji 內(nèi)稟特征長度,缺陷不敏感性/容忍性,Flaw Insensitivity/Tolerance,39,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,Griffith律,從Griffth斷裂到材料的理論強度的轉(zhuǎn)變,裂紋初始擴展,Buehler M. IWNM, 2004,當hhcr ，材料呈現(xiàn)為缺陷不敏感性，在缺陷附件沒有明顯的應(yīng)力集中。材料斷裂時，裂尖應(yīng)力均勻，達到理論強度。斷裂強度不依賴結(jié)構(gòu)尺寸。,缺陷不敏感性/容忍性,40,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffi

30、th斷裂理論,Qin Z, and Buehler M. ACS Nano, 5:3034 (2011).,Ackbarow T, Sen D, Christian Thaulow C, and Buehler M. Plos One, 4:e6015, (2009).,蛋白質(zhì)折疊、a-b轉(zhuǎn)變或滑移,a螺旋的蛋白質(zhì)網(wǎng)絡(luò)的斷裂應(yīng)變對于結(jié)構(gòu)缺陷不敏感。,生物材料中缺陷不敏感性/容忍性,41,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,機制：裂紋的擴展被內(nèi)在的缺陷所抑制或阻止,缺陷尺寸,Bennison SJ, Padture NP, Runyan JL, and Lawn BR. Phil. Mag. Lett., 64:191, (1991).,利用壓痕引入缺陷,陶瓷中缺陷不敏感性,42,清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Griffith斷裂理論,Kumar S, Haque A, and Gao H. APL, 94:253104, (2009).,試樣：長100 mm ，寬3.5-5 mm ，厚80-125 nm ，平均晶粒尺寸50 nm 缺陷： U型，半徑50 nm 大多數(shù)試樣從遠離缺陷的地方發(fā)生斷裂。,納晶薄膜中缺陷不