數(shù)學(xué)物理方程：數(shù)理方程第一章典型方程與定解條件

1、1,數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù),下午5時40分,評分標(biāo)準(zhǔn)及發(fā)問,平時: 30% (基礎(chǔ)理念和想法) 上課率達(dá)90%(5%) 功課 (1至2次)(10%) 中期考試 (1次)(15%) 考試: 70% *請盡量在課堂發(fā)問,下午5時40分,數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) (任務(wù)和特點),數(shù)學(xué)物理方程（數(shù)理方程）在數(shù)學(xué)上為二階偏微分方程。 它的任務(wù)有兩個方面： 尋找數(shù)學(xué)定解問題的求解方法，給出解的表達(dá)式和計算方法； 通過理論分析得出問題的通解 (即基本解 general solution) 或某些特解 (particular solution)的一般性質(zhì)。,*注意:這一周的重點是記憶 1.方程定義; 2. 條件

2、定立; 3. 運算的基礎(chǔ).,下午5時40分,數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) (任務(wù)和特點),數(shù)學(xué)物理方程有如下特點： 緊密地、直接地聯(lián)系物理學(xué)、力學(xué)與工程技術(shù)中的問題。 廣泛地運用數(shù)學(xué)物理中許多的技術(shù)成果。如：運用數(shù)學(xué)中的復(fù)變函數(shù)、積分變換、常微分方程、泛函分析、廣義函數(shù)等等，為物理學(xué)中的力學(xué)、電學(xué)、磁學(xué)、熱力學(xué)、原子物理學(xué)、振動與波、空氣動力學(xué)求通解服務(wù)。,下午5時40分,數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) (一般概念),數(shù)學(xué)物理方程是物理過程中的一些偏微分方程。 本課程僅討論常用的二階線性微分方程。 一般而言，二階線性偏微分方程可寫為:,f = 0 (齊次方程) (homogeneous),Aij, bi,

3、c為 x的函數(shù)或常數(shù),下午5時40分,數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) (一般概念),若與時間 (t)相關(guān)，二階線性偏微分方程可寫為:,則算子為:,下午5時40分,7,哈密爾頓算子或梯度算子(operator)，讀作nabla,拉普拉斯算子,微積分知識基礎(chǔ)(回顧),與梯度算子有關(guān)的場論運算,平面上的拉普拉斯算子,常微分方程的求解：常見的一階方程、可降階高階方程、 二階線性方程,u 是未知函數(shù),下午5時40分,8,數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù), 課程的主要內(nèi)容, 數(shù)學(xué)物理方程的定義,用數(shù)學(xué)語言(微分方程)描述物理現(xiàn)象和規(guī)律。,三種方程、 四種求解方法、 二個特殊函數(shù),分離變量法 行波法 積分變換法 格林函數(shù)法,

4、波動方程 熱傳導(dǎo) 拉普拉斯方程,貝塞爾函數(shù) (Bessel Function) 勒讓德函數(shù) (Legendre Function),是什么?,下午5時40分,泊松(拉普拉斯)方程：,熱傳導(dǎo)方程：,波動方程：,三類偏微分方程 (泛定方程) (Three Types of Partial Differential Equations),琴弦的振動；桿、膜、液體、氣體等的振動；電磁場的振蕩等,熱傳導(dǎo)中的溫度分布；流體的擴(kuò)散、粘性液體的流動,空間的靜電場分布；靜磁場分布；穩(wěn)定溫度場分布,f = 0 (齊次方程) (homogeneous),波動方程和傳導(dǎo)方程因與時間的未來變化相關(guān)，將它們統(tǒng)稱為發(fā)展方程

5、 (Evolution Equations)；另將與時間無關(guān)的泊方程稱為穩(wěn)定方程 (Equations of Stability)。 它們的共性是： 都是線性方程 都是常系數(shù)方程 都是二階方程。,下午5時40分,三類偏微分方程 (泛定方程) (Three Types of Partial Differential Equations),下午5時40分,直接積分解法 (例1):,微積分知識基礎(chǔ)(回顧),變量替換法 (例2):,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法,下午5時40分,降維法 (例3):,微積分知識基礎(chǔ)(回顧),待定系數(shù)法 (例4):,怎樣解?,怎樣解?,下午5時40分,微積分知識基礎(chǔ)(回顧),通過上述例

6、題不難看出： 一個偏微分方程的解是不唯一的，甚至可能為無窮多 個（通）解。 要使得方程的解是唯一的，必須對解附加一定的限制（稱為約束條件）。,下午5時40分,14,一、 基本方程的建立 (例子),第一章 一些典型數(shù)理方程和 定解條件和問題,二、 定解問題和條件,三、 定解問題的概念,下午5時40分,15,一、 基本方程的建立,條件：均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近作微小橫振動。不受外力影響。,例1、弦的振動,下午5時40分,16,弦振動的相關(guān)模擬,下午5時40分,17,弦振動的相關(guān)模擬,下午5時40分,18,弦振動的相關(guān)模擬,下午5時40分,19,弦振動的相關(guān)模擬,下午5時40分,20,簡化假設(shè)

7、：,(2)橫向振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小。,(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向。,牛頓運動定律：,橫向：,縱向：,其中：,其中：,下午5時40分,21,其中：,一維波動方程,令：,-非齊次方程,自由項,-齊次方程,忽略重力作用：,下午5時40分,22,從麥克斯韋方程出發(fā)：,在自由空間：,例2、時變電磁場,下午5時40分,23,對第一方程兩邊取旋度，,根據(jù)矢量運算：,由此得：,得：,即：,同理可得：,電場的三維波動方程,磁場的三維波動方程,下午5時40分,24,例3、熱傳導(dǎo),所要研究的物理量：,溫度,根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉試驗定律,在dt時間內(nèi)從dS流入V的熱量為：,從時

8、刻t1到t2通過S流入V的熱量為,高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分）,熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點的溫度分布不均勻時，有 熱量從高溫處流向低溫處。,下午5時40分,25,流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化,流入的熱量：,溫度發(fā)生變化需要的熱量為：,熱傳導(dǎo)方程,如果物體內(nèi)有熱源，則溫度滿足非齊次熱傳導(dǎo)方程,下午5時40分,26,例4、靜電場,電勢u,確定所要研究的物理量：,根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程：,對方程進(jìn)行化簡：,拉普拉斯方程,泊松方程,下午5時40分,27,常見數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出,確定所要研究的物理量u，比如位移、場強(qiáng)、溫度,根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程,通過合理的數(shù)學(xué)近

9、似對方程進(jìn)行化簡,數(shù)學(xué)物理方程定解問題的提法,泛定方程 波動方程、熱傳導(dǎo)方程、拉普拉斯方程,定解問題：,定解條件 初始條件(2種)，邊界條件(3種), 其他條件(自然),下午5時40分,28,同一類物理現(xiàn)象中，各個具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個性。,初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。,邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。,二、定解條件,其他條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件 1. 隱形(周期,有界,連續(xù)) 2. 顯形(銜接條件,正則條件),不含邊界條件僅有初始條件的定解問題。亦稱初（始）值問

10、題，也稱為柯西問題。 分為波動型和傳導(dǎo)型兩類,其（一維）泛定方程與初始條件為：,下午5時40分,柯西問題(Cauchy Problem) -始值問題 （initial value problem）(泛定方程 +初始條件),不含初始條件邊界條件的定解問題稱為邊（界）值問題。 一般與時間沒關(guān)。,下午5時40分,邊值問題(Boundary Value Problem) (泛定方程 +邊界條件),邊界條件：即物體在邊界上所處的狀態(tài)（物理條件） 邊界條件的類型：一般將邊界條件分為三類: 第一類（狄里克萊）邊界條件： 或： （ S為邊界面） 第二類（牛曼、諾依曼）邊界條件： 或： 第三類（洛賓、混合）邊界

11、條件： （它含有前兩類邊界條件）,下午5時40分,邊值問題(Boundary Value Problem) (泛定方程 +邊界條件),(1)（定解）問題： 波動方程和傳導(dǎo)方程的混合問題分別為 (2)混合邊（界）值問題特指邊值問題中邊界條件為第三類（混合）邊界條件的問題。例,下午5時40分,混合問題(Mixed Problem) Evolution Equations (泛定方程 +初始條件+邊界條件),(3)混合邊界（條件）問題泛定方程同以前；而邊界條件則不同。即：將邊界（面） 劃分為兩部份（以上），在其中一部份的邊界面 上的邊界條件為某一類，而在其余部份的邊界面 上的邊界條件不同。,下午5時

12、40分,混合問題(Mixed Problem) Evolution Equations (泛定方程 +初始條件+邊界條件),附加條件 一是隱形表示的自然條件，即“應(yīng)該”“自然”的（不是強(qiáng)行）被滿足。如：要求定解問題的解是“有界的”、“連續(xù)的”、具有“周期性”等 二是顯形表示的強(qiáng)制條件，在物理中“自然”被滿足。如：銜接條件，正則條件等。銜接條件用來表示“物體”內(nèi)部中間的不連續(xù)跳躍狀態(tài)。 正則條件 (作用是保證解的唯一性) 要求解在 處的性質(zhì)，數(shù)學(xué)形式：,下午5時40分,混合問題(Mixed Problem) Evolution Equations (附加條件+正則條件),對邊界條件無條件限制 (

13、但實際要滿足有界性條件或正則性條件),下午5時40分,混合問題(Mixed Problem) Evolution Equations (柯西問題的邊界條件),對邊界條件無條件限制 (但實際要滿足有界性條件或正則性條件),下午5時40分,混合問題(Mixed Problem) Evolution Equations (柯西問題的邊界條件),外部邊值問題,一般可表示為:,下午5時40分,混合問題(Mixed Problem) Evolution Equations (柯西問題的邊界條件),內(nèi)部問題引力位 在地球內(nèi)部滿足方程 （ 為萬有引力常數(shù)， 為地球內(nèi)部的密度），若附加上邊界上“觀測”值，那么相

14、應(yīng)的邊值問題可表述為：,下午5時40分,混合問題(Mixed Problem) Evolution Equations (邊值問題的例子 (地球重力學(xué)),外部問題引力位 在地球外部滿足方程 ，若附加上邊界上“觀測”值和無窮遠(yuǎn)處的“條件”，那么相應(yīng)的邊值問題可表述為：,下午5時40分,混合問題(Mixed Problem) Evolution Equations (邊值問題的例子 (地球重力學(xué)),地球重力學(xué)中，斯托克司重力邊界問題為：,下午5時40分,混合問題(Mixed Problem) Evolution Equations (邊值問題的例子 (地球重力學(xué)),下午5時40分,41,1、定解問

15、題的廣義解,三、定解問題的適定性與廣義解,任何一個在自變量的區(qū)域內(nèi)滿足泛定方程及其相應(yīng)定解條件的函數(shù)稱為定解問題的解。 廣義解方程的古典解要求解在區(qū)域內(nèi)至少具有方程階的光滑性，并且一直延拓到邊界上；實際中這種光滑性難以滿足；因此必須尋求條件更加寬的解廣義解。,下午5時40分,42,2、三類方程的適定性討論,三、定解問題的適定性與廣義解,適定性定解問題的適定性是指問題的解具有存在性、唯一性、穩(wěn)定性。 存在性：沒有解的問題是沒意義的。例如，條件過多，就容易產(chǎn)生沒有解的情況。 唯一性：與無解相反，條件太少容易使得解過多（通解）；解太多，難以判斷真?zhèn)?；物理過程中不現(xiàn)實。必須增加條件，或?qū)ふ易罴呀猓▋?yōu)化

16、）。 穩(wěn)定性：穩(wěn)定性是指當(dāng)定解條件有微小的擾動（誤差）時，定解問題的解的擾動也是很小的。,下午5時40分,43,3、疊加原理 (I)（獨立作用原理）,三、定解問題的適定性與廣義解,下午5時40分,44,3、疊加原理 (II),三、定解問題的適定性與廣義解,要求: 一致收斂,下午5時40分,45,3、疊加原理 (III),三、定解問題的適定性與廣義解,下午5時40分,46,4、齊次化原理（沖量原理） 常微分方程的齊次化原理,三、定解問題的適定性與廣義解,是方程（B）的解，則,(B),(A),下午5時40分,47,4、齊次化原理（沖量原理） 柯西問題的齊次化原理,三、定解問題的適定性與廣義解,是方

17、程（B）的解，則,(B),(A),下午5時40分,48,4、齊次化原理（沖量原理） 發(fā)展問題的齊次化原理,三、定解問題的適定性與廣義解,是方程（B）的解，則,(B),(A),說明1：原問題中所有定解條件都是齊次的，即方程中的非齊次項為唯一的場源。 說明2：沖量原理法不能用于穩(wěn)定方程。,下午5時40分,49,1、定解問題,四、複習(xí),(1) 初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題； (2) 邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題； (3) 混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。,把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個定解問題。,2、定解問題的適定性,解的存在性：定解問題是否有解； 解的唯一性：是否只有一解； 解的穩(wěn)定性：定解條件微小變動時，解是否有相應(yīng)的微小變動。,下午5時40分,50,(4) 按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和變系數(shù)微分方程； (5) 按自由項是否為零分為齊次方程和非齊次方程,3、微分方程一般分類,(1) 按自變量的個數(shù)，分為二元和多元方程； (2) 按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的冪次，分為線性微分方程和 非線性微分方程； (3) 按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階 和高階微分方程；,下午5