(精選)華東師大初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)三角形中位線定理 知識(shí)講解

1、三角形中位線定理為原三角形周長(zhǎng)的1【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解三角形的中位線的概念，掌握三角形的中位線定理2.掌握中點(diǎn)四邊形的形成規(guī)律.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的中位線1連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.2定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.（要點(diǎn)詮釋?zhuān)?）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)小三角形的周長(zhǎng)1，每個(gè)小三角形的面積為原三角形面積的.24（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.要點(diǎn)二、順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中

2、點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.（2）順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.（3）順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.（4）順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.要點(diǎn)詮釋?zhuān)盒滤倪呅斡稍倪呅胃鬟呏悬c(diǎn)順次連接而成.（1）若原四邊形的對(duì)角線互相垂直，則新四邊形是矩形.（2）若原四邊形的對(duì)角線相等，則新四邊形是菱形.（3）若原四邊形的對(duì)角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.【典型例題】類(lèi)型一、三角形的中位線（1、2016北京）如圖，在四邊形abcd中，abc=90，ac=ad，m，n分別為ac，cd的中點(diǎn)，連接bm，mn，bn（1）求證：bm=mn；（2）bad=60，ac平分bad，ac=2

3、，求bn的長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形中位線定理得mn=ad，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得bm=ac，由此即可證明（2）首先證明bmn=90，根據(jù)bn2=bm2+mn2即可解決問(wèn)題（【答案與解析】）證明：在cad中，m、n分別是ac、cd的中點(diǎn)，mnad，mn=ad，在abc中，m是ac中點(diǎn)，bm=ac，ac=ad，mn=bm（2）解：bad=60，ac平分bad，bac=dac=30，由（1）可知，bm=ac=am=mc，bmc=bam+abm=2bam=60，mnad，nmc=dac=30，bmn=bmc+nmc=90，bn2=bm2+mn2，由（1）可知mn=bm=ac=1，bn=【總

4、結(jié)升華】本題考查三角形中位線定理、直角三角形斜邊中線定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型舉一反三：【變式】如圖，矩形oabc的頂點(diǎn)a、c分別在x軸、y軸正半軸上，b點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），ob與ac交于點(diǎn)p，d、e、f、g分別是線段op、ap、bp、cp的中點(diǎn)，則四邊形defg的周長(zhǎng)為_(kāi).【答案】5；解：四邊形oabc是矩形，oabc，aboc；baoa，bcocb點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），oa3，ab2d、e、f、g分別是線段op、ap、bp、cp的中點(diǎn)，degf1.5；efdg1四邊形defg的周長(zhǎng)為（1.51）252、如圖，在abc中，已知點(diǎn)d、e、f分別是

5、ab、bc、ca的中點(diǎn)，ah是高（1）若bc=10，ah=8，則四邊形adef的面積為（2）求證：dhf=defadfbhec【思路點(diǎn)撥】（1）由三角形面積公式可知：bdeefc的面積都等于abc面積的四分之一，進(jìn)而可求出四邊形adef的面積（2）首先證明四邊形adef是平行四邊形，進(jìn)而可得def=daf，再利用直角三角形的中線性質(zhì)得線段相等，從而得角等，最終可得到daf=def，即可證出dhf=def【答案解析】（1）解：bc=10，ah=8，sabc=810=40，點(diǎn)d、e、f分別是ab、bc、ca的中點(diǎn)，bdeefc的面積都等于abc面積的，四邊形adef的面積=4020=20，故答案為

6、：20；（2）證明：d、e、f分別是abc各邊中點(diǎn)，deac，efab，四邊形adef是平行四邊形，def=daf，ah是abc的高abhach是直角三角形，點(diǎn)d、點(diǎn)f是斜邊ab、ac中點(diǎn)，dh=da，hf=af，dah=dha，fah=fha，dah+fah=fha+dha，即daf=dhf，def=dhf【總結(jié)升華】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形的中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，解決題目的關(guān)鍵是證明dhf=daf與daf=def、如圖所示，在abc中，m為bc的中點(diǎn)，ad為bac的平分線，bdad于d，ab12，ac18，求md的長(zhǎng)ad=adadbadn【思路點(diǎn)撥】本題中所求線

7、段md與已知線段ab、ac之間沒(méi)有什么聯(lián)系，但由m為bc的中點(diǎn)聯(lián)想到中位線，另有ad為角平分線和垂線，根據(jù)等腰三角形“三線合一”構(gòu)造等腰三角形abn，d為bn的中點(diǎn)，dm即為中位線，不難求出md的長(zhǎng)度【答案與解析】解：延長(zhǎng)bd交ac于點(diǎn)nad為bac的角平分線，且adbn，badnad，adbadn90，在abd和and中，badnadabdand(asa)anab12，bddnac18，ncacan18126，d、m分別為bn、bc的中點(diǎn)，dm121cn632、【總結(jié)升華】當(dāng)條件中含有中點(diǎn)的時(shí)候，可以將它與等腰三角形的“三線合一”三角形的中線、中位線等聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行聯(lián)想，必要時(shí)添加輔助線，構(gòu)

8、造中位線等圖形舉一反三：【變式】如圖所示，四邊形abcd中，q是cd上的一定點(diǎn)，p是bc上的一動(dòng)點(diǎn)，e、f分別是pa、pq兩邊的中點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)p在bc邊上移動(dòng)的過(guò)程中，線段ef的長(zhǎng)度將()a先變大，后變小b保持不變c先變小，后變大d無(wú)法確定【答案】b；解：連接aqe、f分別是pa、pq兩邊的中點(diǎn)，ef是paq的中位線，即aq2efq是cd上的一定點(diǎn)，則aq的長(zhǎng)度保持不變，線段ef的長(zhǎng)度將保持不變4、我們給出如下定義：有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）如圖1，在abc中，ab=ac，點(diǎn)d在bc上，且cd=ca，點(diǎn)e、f分別為bc、ad的中點(diǎn)，連接ef并延長(zhǎng)交ab于點(diǎn)g求

9、證：四邊形agec是等鄰角四邊形；（2）如圖2，若點(diǎn)d在abc的內(nèi)部，（2）中的其他條件不變，ef與cd交于點(diǎn)h，圖中是否存在等鄰角四邊形，若存在，指出是哪個(gè)四邊形，不必證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【思路點(diǎn)撥】（1）運(yùn)用中位線的性質(zhì)，找出對(duì)應(yīng)相等的角；（2）根據(jù)題意易知滿(mǎn)足條件的四邊形即為第一題的四邊形【答案與解析】解：（1）取ac的中點(diǎn)h，連接he、hf點(diǎn)e為bc中點(diǎn)eh為abc的中位線ehab，且eh=12ab1同理fhdc，且fh=dc2ab=ac，dc=acab=dc，eh=fh1=2ehab，fhdc2=4，1=34=3age+4=180，gec+3=180age=gec四邊形agec

10、是鄰角四邊形（2）存在等鄰角四邊形，為四邊形aghc【總結(jié)升華】本題考查了三角形的中位線以及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用本題較靈活，要求學(xué)生能夠把題中的條件轉(zhuǎn)化成角，從而找出相等的角來(lái)解題舉一反三：【變式】如圖，abcd，e，f分別為ac，bd的中點(diǎn)，若ab=5，cd=3，則ef的長(zhǎng)是（）a4b3c2d1【答案】d；解：連接de并延長(zhǎng)交ab于h，cdab，c=a，cde=ahe，e是ac中點(diǎn)，ae=ce，dcehae，de=he，dc=ah，f是bd中點(diǎn)，ef是dhb的中位線，ef=12bh，bh=ab-ah=ab-dc=2，ef=1類(lèi)型二、中點(diǎn)四邊形5、如圖，在梯形abcd中，adbc，abd

11、c，對(duì)角線ac、bd交于點(diǎn)o，acbd，e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da的中點(diǎn)（1）求證：四邊形efgh是正方形；（2）若ad2，bc4，求四邊形efgh的面積【思路點(diǎn)撥】（1）先由三角形的中位線定理求出四邊相等，然后由acbd入手，進(jìn)行正方形的判斷（2）連接eg，利用梯形的中位線定理求出eg的長(zhǎng)，然后結(jié)合（1）的結(jié)論求出eh2也即得出了正方形ehgf的面積【答案與解析】證明：（）在abc中，e、f分別是ab、bc的中點(diǎn)，1111故可得：efac，同理fgbd，ghac，hebd，2222在梯形abcd中，abdc，故acbd，effgghhe，四邊形efgh是菱形設(shè)ac與eh交于點(diǎn)

12、m，在abd中，e、h分別是ab、ad的中點(diǎn)，則ehbd，同理ghac，又acbd，ehhg，四邊形efgh是正方形（2）連接eg在梯形abcd中，e、g分別是ab、dc的中點(diǎn)，eg1（adbc）32在rtehg中，eh2+gh2=eg2，ehgh，99eh2，即四邊形efgh的面積為2292，【總結(jié)升華】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)及三角形、梯形的中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的中位線定理得出ehhggffe，這是本題的突破口舉一反三：【變式】如圖，e、f、g、h分別是邊ab、bc、cd、da的中點(diǎn)（1）判斷四邊形efgh的形狀，并說(shuō)明你的理由；（2）連接bd和ac，當(dāng)bd、ac滿(mǎn)足何條件時(shí)，四邊形efgh是正方形【答案】解：（1）四邊形efgh是平行四邊形理由：連接ac，efac，且ef1同理，hgac，且