雨中行走數(shù)學(xué)建模

1、雨中行走問題的分析吳珍 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)二班 A班馮奎艷 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)二班 A班楊彥云 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)二班 A班摘 要 本文討論了雨線方向、跑步速度與淋雨量關(guān)系的問題.針對問題一，將人視為長方體，采用物理學(xué)中流體計算的思想方法計算淋雨量，得到速度越大淋雨量越小的結(jié)論。針對問題二，首先引入雨滴降落頻率的概念，解決了用雨速來確定降雨量雨滴降落不連續(xù)的問題。然后采用物理學(xué)中流體計算的思想方法計算淋雨量，建立跑步速度與淋雨量關(guān)系的優(yōu)化模型，得到速度越大淋雨量越小的結(jié)論。針對問題三，在問題二的基礎(chǔ)上，改變雨線方向，采用物理學(xué)中流體計算的思想方法，建立與跑步速度與淋雨量關(guān)系的優(yōu)化模型，確定淋雨量最小情況下

2、的跑步速度.針對問題四，綜合雨線方向與跑步方向夾角，跑步速度，淋雨量的關(guān)系，建立幾何模型，采用數(shù)形結(jié)合的方法建立淋雨量模型。關(guān)鍵詞 雨滴降落頻率；優(yōu)化模型；淋雨量一、問題重述一般情況下，行人未帶雨具卻突降大雨，都會選擇加快行走速度以減少淋雨量，但如果考慮風(fēng)速、雨速，就會發(fā)現(xiàn)淋雨量并不光與淋雨時間有關(guān)。那么在雨中以何種速度跑，淋雨量最少。現(xiàn)假設(shè)要在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學(xué)模型，討論是否跑得越快,淋雨量越少。按以下步驟進(jìn)行討論:(1) 不考慮雨的方向,設(shè)降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估計跑完全程的總淋雨量。(2) 雨從迎面吹來,雨線與跑步方向在同一鉛直平面內(nèi),

3、且與人體的夾角為,問速度多大時,總淋雨量最少。(3) 雨從背面吹來,雨線方向與跑步方向在同一鉛直平面內(nèi),且與人體的夾角為,問速度多大時,總淋雨量最少。(4) 若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)即異面時,模型會有什么變化。二、問題分析人在雨中行走時，行走時間即淋雨時間。把人看成一個長方體，總淋雨量是各個面淋雨量之和。為解決雨滴不是連續(xù)的，引進(jìn)雨滴頻率(模型建立部分會做具體闡述)的概念。對于問題一，在不考慮雨速方向的前提下，人的前、后、左、右以及頂部都會被淋到雨，此時淋雨量只與行走時間及單位時間內(nèi)的降雨量有關(guān)。人以最大速度勻速運動時，通過位移公式，可計算出運動時間。對于問題二，當(dāng)雨迎面而來時，由于

4、雨速與人行走方向成角且在同一鉛直平面，通過速度分解，分別考慮人頭頂方向雨的方向、人正面雨速方向，再根據(jù)淋雨面積和淋雨時間即可確定淋雨量，建立總淋雨量模型，分析淋雨量關(guān)于速度的函數(shù)，得到最優(yōu)解，使淋雨量最小。對于問題三，雨從背面吹來，雨線與跑步方向在同一鉛直平面內(nèi),且與人體的夾角為,與題二類似，淋雨量從人背面和頭頂兩個面討論，兩個面的雨速經(jīng)過速度分解，雨降在兩個面的速度是不同的，最終得出兩個面的淋雨量，建立總淋雨量模型，通過分析淋雨量關(guān)于速度的函數(shù)，得到最優(yōu)解使淋雨量最小。對于問題四，固定人的行走方向，從一個點出發(fā)建立直角坐標(biāo)系，雨斜向下與豎直方向成（）雨向以繞豎直方向旋轉(zhuǎn)一周包含了雨所有的方向

5、，涵蓋了雨的方向與行走方向處于鉛直平面和異面的情況，建立模型，分情況討論即可得出雨向與行走方向異面時的淋雨量。三、模型假設(shè)1假設(shè)人是一個長為,寬為,高為的長方體，人的各個面都有被淋到雨的可能；2.假設(shè)人在奔跑過程中以勻速運動；3.假設(shè)下雨過程中，風(fēng)速方向及大小穩(wěn)定；四、符號表示符號表示含義雨滴的速度人在雨中的行走速度單位時間內(nèi)的降雨量即降雨強度不考慮雨的方向的淋雨量淋雨量雨迎面吹來的淋雨量雨從背面吹來的淋雨量雨向與行走方向異面時的淋雨量人在雨中直線行走的距離人的長度人的寬度人的高度雨迎面吹來與人體的夾角雨背面吹來與人體的夾角雨滴降落的頻率雨線方向在xoy面的投影與y軸夾角雨線方向與z軸的夾角五

6、、模型建立與求解冒雨行走是生活中常見的問題，為了被淋濕的最少，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來解決在雨中如何行走，使淋雨量最少。5.1不考慮雨的方向時的淋雨量分析在不考慮雨的方向的條件下，設(shè)降雨淋遍全身，則淋雨量包括頂部淋雨量，兩個側(cè)面淋雨量，迎面和側(cè)面淋雨量。淋雨時間 淋雨面積（頂部和四個側(cè)面面積） 淋雨量 5.2雨迎面吹來的淋雨量分析圖1 雨迎面吹來時，雨的速度方向和人體的夾角為，當(dāng)是大暴雨時，雨像屋檐流水是不間斷的，用雨速就可以確定降雨量，但通常雨都是不連續(xù)下落的，為了描述雨的大小引入降雨頻率的概念。定義為雨下落的頻率用來描述雨的大小，將單位時間劃分為個（盡可能的大）其中有個的時間在下雨。（0 1）

7、記為雨的體積則當(dāng)=1時，雨是大暴雨連續(xù)的下。當(dāng)=0時，晴天沒有下雨。前部降雨量 頂部降雨量 總降雨量5.3雨背面吹的淋雨量分析圖2頂部降雨量 背部淋雨量 總淋雨量 當(dāng)時 =當(dāng)時= 5.4 雨線方向與行走方向異面圖3（n為雨向）把人當(dāng)做長方體以側(cè)棱AB為Z軸建立圖3所示的直角坐標(biāo)系，確定人的行走方向（如圖3），引入角，是雨線在xoy平面即水平面上的投影與y軸的夾角，是雨線與z軸的夾角（），可以確定：雨線與人頭頂?shù)膴A角為，與人的后面AABB的夾角為，與人的側(cè)面ABCD夾角為。其中：=0時，雨線垂直下落； =0時，雨線從背面吹來； =時，雨線迎面吹來。這三種情況的雨線方向與行走方向都在同一鉛直平面內(nèi)

8、，此處不予詳細(xì)討論。即 ，時，雨線方向與行走方向異面。頂部淋雨量： 背面：（迎面：）淋雨量 ： 側(cè)面淋雨量：總淋雨量：六 、結(jié)果分析與檢驗6.1不考慮雨的方向，雨淋遍全身時的淋雨量為，是關(guān)于的一元函數(shù)，隨增大而減小。即人的行走速度越大，淋雨量越小，符合生活實際。6.2雨迎面吹來情況淋雨量為，是關(guān)于的一元函數(shù)，隨的增大而減小。即人的行走速度越大，淋雨量越小，符合生活實際。6.3 雨背面吹來情況總淋雨量 當(dāng)即時=.是關(guān)于的一元函數(shù)，隨的增大而減小。即人的行走速度越大，淋雨量越小。當(dāng)時即時= = 。因為在現(xiàn)實問題中，所以當(dāng)時取得最小值。即當(dāng)雨從背面吹來，行走方向和雨的方向的夾角的條件下，行走速度時，淋雨量最少。6.4 異面情況分析七、模型推廣與評價優(yōu)點：(1) 引入降雨頻率來描述雨的大小，具有合理性和正確性.(2)