小學數學教材“解決問題”編排體系的比較

1、小學數學教材“解決問題”編排體系的比較研究以蘇教版和人教版為例摘要:各國課程標準中都將“數學問題解決教學”置于重要位置。我國新課程的實施不僅僅是教材的更新、教學大綱的調整，也是課程及教學理念的轉換。數學課程標準中，將“解決問題”列為數學教育的四大目標之一?；谛抡n改理念，編者們以“解決問題”代替?zhèn)鹘y(tǒng)的應用題，對應用題不再強調人為的歸類，而是將“解決問題進行分散編排和集中編排相結合。這絕不僅僅是名稱上的變化。弄清楚這其中變化的實質，有助于我們更好地繼承應用題教學寶貴的、成功的經驗，也有助于我們更好地展開解決問題的教學。目前，全國有代表性的人教版和蘇教版的小學數學教材，“解決問題”集中編排的編寫風

2、格迥異。本文通過編排體系、內容編排特點以及問題解決內容編排建議三個維度，對兩個版本“解決問題”集中編排的版塊進行教材比較。關鍵詞: 小學數學教材；解決問題；集中編排；比較研究一、問題解決內容的編排體系1.“數學廣角、解決問題的策略與找規(guī)律”的教材比較 （1）編排體系的比較由于兩個版本的內容較多且大都不相同，為了便于比較，筆者將編排體系以年級所對應的內容以及主要知識點進行整理歸納，并制成表一和表二：表一 人教版“數學廣角和找規(guī)律”的編排體系年級內容主要的數學思想方法一下找規(guī)律:探索圖案和數字簡單的排列規(guī)律符號化思想方法、有序思維二上數學廣角:1.簡單的排列:1, 2能組成幾個兩位數?2.簡單的邏

3、輯推理:猜一猜他們拿的是什么書?排列組合思想方法、 邏輯推理思維二下找規(guī)律:1.鋪地磚花紋的規(guī)律2.等差數列的探究規(guī)律數形結合思想 有序思維三上數學廣角:1.搭配問題:有幾種不同的穿法?踢幾場球?2.簡單的排列:3個數字 能擺成幾個三位數? 排列組合思想方法三下數學廣角:1.重疊問題:參加語文、數學小組的共幾人?2.等量代換:幾個蘋果與1個西瓜一樣重? 集合思想 等量代換思想四上數學廣角:1.運籌問題:烙餅、沏茶、碼頭卸貨等問題2.對策問題:田忌賽馬。運籌思想、對策方法論、優(yōu)化思想四下數學廣角:植樹問題:兩端都種、兩端都不種、封閉方陣中種樹等。植樹問題的思想方法、轉化的思想方法五上找規(guī)律:皮筋

4、長度和課本數的關系。函數思想 數學廣角:數字編碼:郵政編碼、身份證編碼、編學號等數字編碼思想。五下找規(guī)律:怎樣花最少的時間打電話通知最多的人。 優(yōu)化思想 轉化的思想方法數學廣角:找次品:5件、9件物品中用最 少的次數找到次品。 六上數學廣角:雞兔同籠問題假設法六下數學廣角:抽屜原理:4支鉛筆放入3個文具盒、5本書放入2個抽屜，怎么放?抽屜原理表二 蘇教版“解決問題策略和找規(guī)律”的編排體系年級教學內容和滲透的策略方法四上1. 會用列表的方法整理簡單實際問題所提供的信息，通過列表的過程分析數量關系，尋找解決問題的有效方法。 2.發(fā)現生活中間隔數與端點之間的不同規(guī)律，并運用規(guī)律解決生活中的間隔問題。

5、 四下1.用畫直觀示意圖、線段圖等方法整理相關的信息，能借助所畫的直觀圖或線段圖分析實際問題中的數量關系。 2.發(fā)現簡單搭配現象中的規(guī)律，能運用發(fā)現的規(guī)律解決一些生活簡單的搭配問題。 五上1.能通過不遺漏，不重復的列舉找到符合要求的所有答案。 2.發(fā)現具體現象中的周期規(guī)律、對現象的后續(xù)發(fā)展情況作出判斷。五下1.用“倒過來推想”的策略尋求解決問題的思路，并能根據具體的問題確定合理的解題步驟。 2.用平移的方法探索簡單圖形覆蓋現象中的規(guī)律，能根據被覆蓋的圖形的方格個數推算出覆蓋的總次數，并能用以解決實際問題。六上會用“替換”的策略去分析數量關系，并能解決相應的實際問題，如雞兔同籠。六下用轉化的方法

6、解決實際問題，如較復雜的分數應用題由表一和表二可見兩個版本在編排體系上有明顯的異同之處，具體如下: (1)相同點 兩個版本的內容選取都能夠較好地體現數學思維的特點。數學思維的特點是抽象性，在教學中，要引導學生經歷抽象化、數學化的過程，培養(yǎng)其數學思維能力。如蘇教版教材“畫圖和列表”的策略能幫助學生把握實際問題里的數學內容，便于學生審題，這正是解決問題的第一步。雖然畫圖比較直觀，表格條理清楚，但這種策略的數學化程度是比較高的，因為畫圖和列表是通過整理問題的條件、看清數量之間關系的基本方法，能夠畫出圖，或者填入表格里的都是經過篩選后的重要信息和有用數據，實際問題里的許多情節(jié)性內容都被過濾掉了，在這個

7、過程中可以培養(yǎng)學生的抽象思維1。 再如，數學思維的一個重要特點是:數學家很善于使用化歸(轉化)的方法去解決問題。也就是說，在解決問題時，數學家往往不是對問題進行直接的解決，而是對此進行變形、使之轉化，直到最終把它轉化成了某個(或某些)已經解決的問題2。因此蘇教版有專門的轉化策略的單元，人教版在數學廣角里也多次有滲透的轉化思想。此外還有假設法、替換法以及等量代換其實就是代數思維的啟蒙，是進入中學階段代數思維的基礎。 (2)不同點 從縱向看:人教版“數學廣角和找規(guī)律”從一年級到六年級都有所涉及，其中找規(guī)律的專題穿插一下，二上、三上和五年級。這樣安排的特點是從低段形象具體思維逐步過渡到高段抽象思維，

8、使數學思想方法的滲透呈螺旋上升結構，逐步深入。例如:植樹問題是以“圖形中的規(guī)律”為基礎，三上的搭配中的規(guī)律是以二上“簡單的排列”為基礎，而二下的數列和圖形中的規(guī)律又是建立在一下找規(guī)律的基礎上的，五下數學廣角“找次品”中的優(yōu)化思想是四上運籌問題中優(yōu)化思想的進一步深化發(fā)展。另外等量代換思想和假設思想又是中學代數思想的雛形等等。 而蘇教版“解決問題的策略”和“找規(guī)律”專題的內容安排都是從四年級上冊開始安排的，其中解決問題的策略從四上到六下每冊一個專題，四到五年級是技術、技巧性策略，如列表、畫圖、一一列舉、倒推，六年級是比較上位的策略，如假設、轉化，而“找規(guī)律”的安排是從四上到五下每冊一個專題。 兩個

9、版本在專題數量上的安排總得來說差不多，并且都是按照螺旋上升的結構安排的，但是在安排的具體年級段上有很明顯的不同，這是因為:人教版是從滲透數學思想的系統(tǒng)性來安排的，因此每冊都安排一個專題，專題之間的關聯(lián)性較大。而蘇教版考慮到小學生的元認知水平和邏輯思維在中高段發(fā)展較快，能對自己的認知策略進行調控，因此才從四年級起將平常解決問題時所用到的策略和找規(guī)律的方法進行歸納和提煉。然而雖然蘇教版在低段也有相關內容的分散編排，但是可能不易引起教師和學生的重視。國際數學課程發(fā)展的趨勢也表明，對變化規(guī)律、模式的探索和描述應從低年級非正式地開始，早期對變化規(guī)律的豐富經歷是十分重要的。 從橫向看:人教版的“數學廣角和

10、找規(guī)律”的思維含量和深度相對而言，在一定程度上要高于蘇教版的“解決問題的策略和找規(guī)律”。蘇教版的“解決問題的策略”的內容是比較基礎的，并且每次都是側重一種方法策略，找規(guī)律也是比較直觀內容的圖形規(guī)律探索。人教版在低段主要還是一些比較基本和常見的思想方法，如有序的思考，數形結合，等量代換，集合思想，并且都是比較直觀的內容。到了高段，人教版的“數學廣角和找規(guī)律”側重于介紹與一般常見的解決問題不同的數學思想方法，其中的思維含量比蘇教版的“解決問題和找規(guī)律”更高，其中有拓寬學生數學視野的如田忌賽馬策略，而有些則脫胎于傳統(tǒng)的奧數內容，如雞兔同籠、抽屜原理、找次品，這些往往需要較強的縝密思考和邏輯思維才能正

11、確的解決，并且都要同時運用多種方法策略，如列表、畫圖、一一列舉、轉化等。三、問題解決內容編排特點 內容編排是指某一具體內容在教材中的編寫和安排方式，主要側重于內容的設計。為了更好地反映出不同版本教材在內容安排上的風格，本文選取兩個版本中的共同內容:以人教版四下數學廣角(圖4)和蘇教版四上“找規(guī)律”(圖5)為例，兩者都是探討間隔數與端點數的數量關系以及在生活中的應用，來進行內容安排上的比較分析。圖4 人教版四下“數學廣角” 人教版:例1討論的是在校園里的一條小路一邊植樹，需要多少棵樹苗的問題，這是關于一條線段的植樹問題。教材用四幅圖來呈現學生探索解決問題的討論過程。先是一個男孩說出可能的答案:1

12、00 5=20，所以要準備20裸樹苗。”接著一個女孩問:“對嗎?”來引發(fā)學生思考。接下來呈現了解決問題常用的方法一一從簡單的情況入手解決復雜的問題。這里采用的是畫線段圖的方式，緊接現規(guī)律，然后教材要求應用發(fā)現的規(guī)律來解決前面的植樹問題。最后教材通過小精靈的問題“你是怎么想的?”鼓勵學生還有什么其他的方法來檢驗，保護學生獨立思考的能力，體現算法多樣化。在第二部分，教材的例2討論的是兩端都不植樹的情況，由于有了例1的探究過程，教材沒有給出探究方法的提示，僅用小精靈提示“可是小路兩端是”，并提供了部分空白的算式，讓學生圖5 蘇教版四上找規(guī)律蘇教版:與人教版不同，在教學傳統(tǒng)的植樹問題內容之前，先在本單

13、元的第一部分教材中提供了豐富的素材，突出了多樣的“找”規(guī)律的探究活動，把學習活動設計成三個層次:第一，觀察若干個具體現象，體會它們的相同特點，初步感受間隔規(guī)律;第二，擺學具，體會規(guī)律的必然性。先讓學生理解問題具體的一面，數數根數與個數，看看有什么關系，再通過“這些關系與前面發(fā)現的規(guī)律一致嗎”這個問題，讓學生體會這兩題抽象的一面。這樣，學生就經歷了從感性認識向理性認識上升的過程，這時他們對規(guī)律的認識已具有普遍意義。第三，發(fā)展數學的眼光。第48頁“想一想”讓學生到生活中尋找有這樣規(guī)律的其他事例。在第二部分中，例題2緊接著上個例題的情境，設置兔子排隊的問題，并且都配有具體的表征題目數量關系的圖片，通

14、過問題串啟發(fā)學生思考，讓學生自主探究，運用自己喜歡的算法，然后再小組交流。接著在練習中又通過做操、放花盆的生活情境，讓學生充分體會與間隔現象有關的實際問題是多樣的，更深地體會到間隔現象的普遍規(guī)律，建立有關植樹問題的數學模型。綜上所述，兩個版本在“植樹問題”上的內容安排有以下相同點和不同點:(1)相同點展現了知識的產生和應用過程，體現科學合理的數學學習方式教材對教學內容按照:情境引入(啟發(fā)思考)一一自主探索(合作學習)一一反思交流一一建立模型(內化、整理)一一綜合運用(解決問題)基本模式進行編排，即創(chuàng)設一個含有數學問題的、學生熟，悉并喜聞樂見的生活情境，通過觀察、動手實踐、探索、交流等活動逐步建

15、立這一問題的數學模型，然后運用這一模型去解釋現象，去解決一些簡單的實際問題。體現了算法多樣化的要求標準中提倡“算法多樣化”，算法多樣化是不同的人對數學理解的個性化表現，也是解決問題策略多樣化的一種重要體現。鼓勵算法多樣化不是學習多種算法，而是尊重學生個性化的算法。把重視算法多樣化體現在學生個性化的解決問題方法的交流、分享活動中。因此，兩個版本的教材鼓勵學生“用自己的方法算”，并在小組內展示不同的算法。(2)不同點在引入新知前:蘇教版教材中提供了多樣的找規(guī)律的觀察材料，使學生在頭腦中形成了豐富的相關數量關系的表象積累，而人教版教材只是呈現一幅種樹的畫面，并且和題目的數量關系沒有直接的表征關系。在

16、探究新知時:人教版教材由于之前缺乏表象的積累，然后又有小精靈直接給出解決問題的方法:畫線段圖和算式。雖然也是啟發(fā)，但學生較難自己動手實踐發(fā)現，顯得探究性少些，還是有些灌輸的痕跡;蘇教版則是通過問題串的形式來啟發(fā)學生思考。在練習題上:人教版練習題無論是數量還是難度都要大于蘇教版的。人教版后面的練習題有11個，蘇教版是6個，此外人教版的動腦筋題則比較抽象和復雜，體現了數學教學的層次性，而蘇教版是從五年級才開始安排的，這點也與前面的素材來源里的數據和編排體系的橫向比較的結論是也是一致的。根據奧蘇泊爾的先行組織者策略，在學習新知識之前，有目的地先讓學生學習一些和所學新知識有實質性聯(lián)系的引導性材料，使學

17、生很快建立新舊知識之間的聯(lián)系，促成有意義的學習。對于形象具體思維為主的小學生來說，先行組織者往往是抽象性、概括性和包攝性水平方面低于學習材料的?？梢娞K教版在引入新知時能很好地運用先行組織者來促進學生有意義的學習。雖然以上案例的比較是一個特例，但是在某種程度上也反映了兩個版本該版塊在內容安排上存在的部分差異:人教版教材大多比較快的就引入新知，然后直接就過渡到解決的方法，并且解決問題的算式很多時候由課本直接提供，不需要學生太多的思考得出，而蘇教版的內容安排有層次，運用先行組織者策略，從簡單具體形象的材料和問題來入手來引入新知，并大都以問題串的形式來啟發(fā)學生思考;蘇教版在練習題上更加精簡，人教版則更

18、強調變式練習和層次性。四、問題解決內容編排建議 (一)適當降低部分內容的難度通過比較我們也發(fā)現兩個版本的數學教科書都存在把原本奧數課本中的內容遷入當前教科書的痕跡，人教版的“數學廣角”和蘇教版的“解決問題的策略”單元內容中有諸如植樹問題、雞兔同籠問題、抽屜原理等內容，而這些內容在各個版本的奧數教科書中都是作為獨立章節(jié)單獨組織學習的內容，這些內容在以前的數學教科書中是沒有的，從教學實踐的實際情況來看，這部分內容在問題解決的方法上或者步驟上都顯示出繁、難這些特點，超出當前學生的學習能力，同時也和課程改革去除繁、難、舊這一指導思想不符，因此，建議在教科書中將這些內容刪去或降低難度。 (二)將部分問題解決的數學模型顯性化 小學數學教科書中有兩種數學模型最常見，一種是經濟生產類的數學模型，如利率、折扣等方而的計算時比較常見的數學模型，但是最基礎的模型是反應單價、數量和總價這三者之間關系的模型;另一種是運動事物的數學模型，如行程問題中的速度、時間和路程三者之間關系的建立。在當前的小學數學教科書中這兩個最基礎的數學模型在教科書中都屬于滲透型的，如蘇教版教科書中最早呈