完整版)“費馬點”與中考試題

1、“費馬點”與中考試題費馬，法國業(yè)余數(shù)學家，擁有業(yè)余數(shù)學之王的稱號，他是解析幾何的發(fā)明者之一.費馬點一一就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點.費爾馬的結(jié)論：對于一個各角不超過120的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120的點，對于有一個角超過 120的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點.下面簡單說明如何找點 P使它到 ABC三個頂點的距離之和 PA+PB+PC最??？這就 是所謂的費馬問題.解析：如圖1，把 APC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60得到 APC,連接PP.則厶APP為等邊三角形， AP= PP P C = PC,所以 PA+PB+PC= PP + PB+ PC.點C可看成是線段 AC繞A點逆時

2、針旋轉(zhuǎn)60而得的定點，BC為定長，所以當B、P、 P、C 四點在同一直線上時，F(xiàn)A+PB+PC最小.這時/ BPA=180- / APP =180-60 =120 ,/ APC= / A P C =180-Z AP P=180 -60 =120 ,/ BPC=360-Z BPA- Z APC=360 -120。-120 =120因此，當厶ABC的每一個內(nèi)角都小于 120。時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120 可在AB、BC邊上分別作120 的弓形弧，兩弧在三角形內(nèi)的交點就是P點；當有一內(nèi)角大于或等于120時，所求的P點就是鈍角的頂點.費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和

3、最小，解決問題的方法是運用旋轉(zhuǎn)變換.本文列舉近年“費馬點”走進中考試卷的實例，供同學們學習參考.例1（2008年廣東中考題）已知正方形ABCD內(nèi)一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為2 -.6，求此正方形的邊長.分析：連接AC,發(fā)現(xiàn)點E到A、B、C三點的距離之和就是到 ABC三個頂點的距離 之和，這實際是費爾馬問題的變形，只是背景不同.解 如圖2，連接人6把厶AEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60得到 GFC，連接EF、BG、 AG，可知 EFC、 AGC都是等邊三角形，則 EF=CE.又 FG =AE, AE+BE+CE = BE+EF+FG （圖 4）.點B、點G為定點（G為點A繞C點順時針旋轉(zhuǎn)

4、60所得）.線段BG即為點E到A、B、C三點的距離之和的最小值，此時E、F兩點都在BG上（圖3）.設正方形的邊長為 a，那么BO=CO=GC=2a , GO=3BG=BO+GO =a +2點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為.2,6 .6，解得 a =2.注本題旋轉(zhuǎn)厶AEB、 BEC也都可以，但都必須繞著定點旋轉(zhuǎn)，讀者不妨一試.例2（2009年北京中考題）如圖4,在平面直角坐標系 xOy中， ABC三個頂點的坐標分別為A 6,0 , B 6,0 , C 0,4-. 3，延長AC到點D,使CD=1 AC ,過點D作2DE / AB交BC的延長線于點 E.（1）求D點的坐標；（2） 作C點關(guān)于

5、直線DE的對稱點F,分別連結(jié)DF、EF，若過B點的直線y kx b將 四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；（3） 設G為y軸上一點，點P從直線y kx b與y軸的交點出發(fā)，先沿 y軸到達G 點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線 GA上運動速度的2倍， 試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達 A點所用的時間最短.分析和解：（1） D點的坐標（3,3 ）（過程略）.（2）直線BM的解析式為y ,3x 6.3 （過程略）.（3）如何確定點 G的位置是本題的難點也是關(guān)健所在設Q點為y軸上一點，P在y軸上運動的速度為v,則P沿MtQt A運動的時間為MQ2v

6、AQ，使P點到達A點所用的V時間最短，就是1mQ + AQ最小，或MQ + 2AQ 最小.解法1/ BQ=AQ, MQ + 2AQ最小就是 MQ + AQ+ BQ最小，就是在直線 MO上找點G使他到A、B、M三點的距離和最小至此，再次發(fā)現(xiàn)這又是一個費爾馬問題的變 形，注意到題目中等邊三角形的信息，考慮作旋轉(zhuǎn)變換.把厶MQB繞點B順時針旋轉(zhuǎn) 60。，得到厶MQB，連接QQ、MM （圖5）,可知QQB、A MM、都是等邊三角形，則 QQ=BQ.又 M Q =MQ , MQ + AQ+ BQ= M Q + QQ +AQ.點A、M為定點，所以當 Q、Q兩點在線段A M上時，MQ + AQ + BQ最小

7、.由條件1可證明Q 點總在AM 上,所以A M與0M的交點就是所要的 G點（圖6）.可證0G=丄MG .F丿/O /Mi/一齊弓個、Jf i fG一MiG A0B *A0BA0 E芝圖5圖6圖71解法2 考慮MQ + AQ最小，過Q作BM的垂線交BM于K，由0B=6 ,OM = 63 ,21可得/ BMO = 30 所以 QK = MQ21要使MQ + AQ最小，只需使 AQ+ QK最小，根據(jù)“垂線段最短”，可推出當點 A、2Q、K在一條直線上時，AQ+QK最小，并且此時的 QK垂直于BM，此時的點Q即為所求的點G (圖7).過A點作AH丄BM于H,則AH與y軸的交點為所求的 G點.由 0B=

8、6, 0M = 6,3，可得/ OBM=60 ,/ BAH=30 在 RtA OAG 中，OG=AO tan / BAH =2 3 G點的坐標為(0, 2 3 ) (G點為線段OC的中點).例3(2009年湖州中考題)若點 PABC所在平面上一點，且/ APB= / BPC=/ CPA=120 ,則點P叫做 ABC的費馬點.(1) 若P為銳角 ABC的費馬點，且/ ABC=60PA=3,PC=4,則PB的值為;(2) 如圖8，在銳角厶ABC的外側(cè)作等邊 ACB 連結(jié)BB求證：BB 過厶ABC的費馬點 P, 且 BB=FA+PB+PC.圖8解：(1)利用相似三角形可求 PB的值為2 3 .(2)

9、設點P為銳角 ABC的費馬點, 即/ APB= / BPC= / CPA=120如圖8,把厶ACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60到厶BCE,連結(jié)PE ,則厶EPC為正三角形./ BEC = / APC =120 , / PEC=60/ BEC+ / PEC=180即P、E、B 三點在同一直線上/ BPC=120 / CPE=60 ,/ BPC + / CPE =180 ；即 B、 P、 E 三點在同一直線上 B、P、E、B 四點在同一直線上，即 BB 過 ABC的費馬點P.又 PE=PC, BE= FA, BB =E B +PB + PE=FA+PB+PC.注 通過旋轉(zhuǎn)變換,可以改變線段的位置,優(yōu)化圖形的結(jié)構(gòu).在使用這一方法解題 時需注意圖形旋