(2021年整理)成人高考專升本高數(shù)一復(fù)習(xí)資料

1、成人高考專升本高數(shù)一復(fù)習(xí)資料成人高考專升本高數(shù)一復(fù)習(xí)資料 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（成人高考專升本高數(shù)一復(fù)習(xí)資料）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來(lái)便利。同時(shí)也真誠(chéng)的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績(jī)進(jìn)步，以下為成人高考專升本高數(shù)一復(fù)習(xí)資料的全部?jī)?nèi)容。成人高考高數(shù)一復(fù)習(xí)資料第一章極限和連續(xù)第一節(jié) 極限復(fù)習(xí)考試要求1.理解極限的概念(對(duì)極限定義、等形式的

2、描述不作要求）.會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2。了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。3。理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系.會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià))。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限。4。熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。主要知識(shí)內(nèi)容(一）數(shù)列的極限1。數(shù)列按一定順序排列的無(wú)窮多個(gè)數(shù)稱為數(shù)列，記作，其中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)。為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)，例如（1）1，3，5，,（2）（3)(4）1，0，1,0，,都是數(shù)列。在幾何上，數(shù)列可看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)。

3、2.數(shù)列的極限定義對(duì)于數(shù)列，如果當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)a，則稱當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列以常數(shù)a為極限，或稱數(shù)列收斂于a，記作 否則稱數(shù)列沒有極限，如果數(shù)列沒有極限,就稱數(shù)列是發(fā)散的.數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)a及數(shù)列的項(xiàng)依次用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，若數(shù)列以a為極限，就表示當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí),點(diǎn)可以無(wú)限靠近點(diǎn)a。（二）數(shù)列極限的性質(zhì)定理1.1（惟一性）若數(shù)列收斂，則其極限值必定惟一。定理1.2（有界性）若數(shù)列收斂，則它必定有界。注意：這個(gè)定理反過(guò)來(lái)不成立，也就是說(shuō)，有界數(shù)列不一定收斂.定理1。3（兩面夾定理）若數(shù)列，,滿足不等式且。定理1.4若數(shù)列單調(diào)有界，則它必有極限。下面我們給出數(shù)列極限的四則運(yùn)算定

4、理。定理1。5 （1）（2)(3）當(dāng)時(shí)，（三）函數(shù)極限的概念1。當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限（1）當(dāng)時(shí)的極限定義 對(duì)于函數(shù)，如果當(dāng)x無(wú)限地趨于時(shí)，函數(shù)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)a，則稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限是a，記作或（當(dāng)時(shí)）（2)當(dāng)時(shí)的左極限定義 對(duì)于函數(shù)，如果當(dāng)x從的左邊無(wú)限地趨于時(shí)，函數(shù)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)a,則稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)的左極限是a，記作或例如函數(shù) 當(dāng)x從0的左邊無(wú)限地趨于0時(shí)，無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)1。我們稱：當(dāng)時(shí),的左極限是1，即有 （3）當(dāng)時(shí),的右極限定義 對(duì)于函數(shù)，如果當(dāng)x從的右邊無(wú)限地趨于時(shí)，函數(shù)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)a，則稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)的右極限是a，記作或又如函數(shù) 當(dāng)x從0的右邊無(wú)限地趨于0時(shí),無(wú)限地趨于一個(gè)常

5、數(shù)1 。因此有這就是說(shuō),對(duì)于函數(shù) 當(dāng)時(shí)，的左極限是1,而右極限是 -1,即但是對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的左極限是2，而右極限是2。 顯然，函數(shù)的左極限、右極限與函數(shù)的極限之間有以下關(guān)系：定理1。6 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限等于a的必要充分條件是這就是說(shuō)：如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限等于a，則必定有左、右極限都等于a.反之，如果左、右極限都等于a，則必有。這個(gè)結(jié)論很容易直接由它們的定義得到。以上講的是當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限存在的情況，對(duì)于某些函數(shù)的某些點(diǎn) 處，當(dāng)時(shí)，的極限也可能不存在。2.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限定義 對(duì)于函數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)a，則稱當(dāng) 時(shí)，函數(shù)的極限是a，記作或（當(dāng)時(shí)）（2）當(dāng)時(shí)

6、,函數(shù)的極限定義 對(duì)于函數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)a，則稱當(dāng) 時(shí)，函數(shù)的極限是a，記作這個(gè)定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，只不過(guò)在數(shù)列極限的定義中一定表示，且n是正整數(shù)；而在這個(gè)定義中，則要明確寫出,且其中的x不一定是整數(shù).如函數(shù)，當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于常數(shù)2,因此有（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限定義 對(duì)于函數(shù),如果當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)a，則稱當(dāng)時(shí),的極限是a，記作又如函數(shù),當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于常數(shù)2,因此我們說(shuō),當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限是2，即有由上述,，時(shí)，函數(shù)極限的定義，不難看出：時(shí)，的極限是a，這表示當(dāng)且僅當(dāng)以及時(shí)，函數(shù)有相同的極限a。但是對(duì)函數(shù)來(lái)講,因?yàn)橛?即雖然當(dāng)時(shí)，的極限存在，當(dāng)時(shí)，的極限也存在

7、，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說(shuō)，當(dāng)時(shí)，的極限不存在。例如函數(shù),當(dāng)時(shí)，無(wú)限地趨于常數(shù)1：當(dāng)時(shí),也無(wú)限地趨于同一個(gè)常數(shù)1,因此稱當(dāng)時(shí)的極限是1，記作其幾何意義如圖3所示. (四）函數(shù)極限的定理定理1.7 (惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。定理1.8 (兩面夾定理)設(shè)函數(shù),，在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)（可除外）滿足條件且有 。注意：上述定理1。7及定理1.8對(duì)也成立。 下面我們給出函數(shù)極限的四則運(yùn)算定理定理1.9 如果 則（1) （2） （3）當(dāng) 時(shí)，上述運(yùn)算法則不難推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形,并有以下推論：推論 （1)（2) （3) 用極限的運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意：這些法則要求每個(gè)

8、參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時(shí)，還要求分母的極限不能為零,另外，上述極限的運(yùn)算法則對(duì)于的情形也都成立。(五)無(wú)窮小量和無(wú)窮大量1、無(wú)窮小量（簡(jiǎn)稱無(wú)窮?。┒x 對(duì)于函數(shù),如果自變量x在某個(gè)變化過(guò)程中，函數(shù)的極限為零，則稱在該變化過(guò)程中，為無(wú)窮小量，一般記作在微積分中常用希臘字母來(lái)表示無(wú)窮小量.這里說(shuō)的自變量x在某個(gè)變化過(guò)程中是指當(dāng) 或，或,或，或，或中的一個(gè)。為了簡(jiǎn)單起見,我們沒有專門再提出數(shù)列，而把它歸入函數(shù)之中，并且有時(shí)將數(shù)列與函數(shù)統(tǒng)稱為變量.定理1.10 函數(shù)以a為極限的必要充分條件是:可表示為a與一個(gè)無(wú)窮小量之和.注意:(1）無(wú)窮小量是變量它不是表示量的大小,而是表示變量的變化

9、趨勢(shì)是變量無(wú)限趨于零的。（2）一個(gè)變量是否為無(wú)窮小量是與自變量的變化趨勢(shì)緊密相關(guān)的。在不同的變化過(guò)程中，同一個(gè)變量可以有不同的變化趨勢(shì)，例如，。所以，當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量;而當(dāng)時(shí),就不是無(wú)窮小量。因此稱為無(wú)窮小量時(shí)，必須指出自變量的變化趨勢(shì)。否則是毫無(wú)意義的。（3）很小很小的數(shù)不是無(wú)窮小量,越變?cè)叫〉淖兞恳膊灰欢ㄊ菬o(wú)窮小量，例如當(dāng)x越變?cè)酱髸r(shí)，就越變?cè)叫?，但它不是無(wú)窮小量。（4)無(wú)窮小量不是一個(gè)數(shù),但”0”是無(wú)窮小量中惟一的一個(gè)數(shù)，這是因?yàn)? 2.無(wú)窮大量（簡(jiǎn)稱無(wú)窮大）定義 如果當(dāng)自變量（或）時(shí),的絕對(duì)值可以變得充分大(也即無(wú)限地增大），則稱在該變化過(guò)程中，為無(wú)窮大量。記作。2。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

10、的關(guān)系無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間有一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，見以下的定理.定理1。11 在同一變化過(guò)程中，如果為無(wú)窮大量,則為無(wú)窮小量；反之，如果為無(wú)窮小量，且,則為無(wú)窮大量。例如當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮大量，而當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量。當(dāng)時(shí),是無(wú)窮小量,而當(dāng) 時(shí)，是無(wú)窮大量。3。無(wú)窮小量的基本性質(zhì)性質(zhì)1 有限多個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量；性質(zhì)2 有界函數(shù)（變量）與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量；特別地,常量與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。性質(zhì)3 有限多個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。性質(zhì)4 無(wú)窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無(wú)窮小量。 4。無(wú)窮小量的比較定義 設(shè)是同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，即 (1）如果則稱是比較高階的無(wú)窮小量，記

11、作；(2）如果則稱是與同階的無(wú)窮小量；（3）如果 則稱與是等價(jià)無(wú)窮小量，記為；（4）如果則稱是比較低價(jià)的無(wú)窮小量。記作 例如：因?yàn)?，所以稱與x是等價(jià)無(wú)窮小量（當(dāng)時(shí)）。因?yàn)?，所以稱與x是同階無(wú)窮小量（當(dāng)時(shí)）.因?yàn)椋苑Q是比較高階的無(wú)窮小量（當(dāng)時(shí)）。兩個(gè)等價(jià)無(wú)窮小量可以互相代換，且有下列性質(zhì)：如果當(dāng)（)時(shí),均為無(wú)窮小量，又，且存在，則這個(gè)性質(zhì)常常使用在極限運(yùn)算中,它能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。但是必須注意：等價(jià)無(wú)窮小量代換只能在極限的乘除運(yùn)算中使用。常用的等價(jià)無(wú)窮小量代換有：當(dāng)時(shí)， x； x; x；x ；x ；x； ； 對(duì)這些等價(jià)無(wú)窮小量的代換，應(yīng)該更深一層的理解為：當(dāng)0時(shí)其余類似。例如當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，

12、sin 。（六)兩個(gè)重要極限1.重要極限i 屬三角函數(shù)的型的極限問題該公式可以用下面更直觀的結(jié)構(gòu)式表示2、重要極限屬型的冪指型的極限問題其中e是個(gè)常數(shù),叫自然對(duì)數(shù)的底，它的值為：e=2.718 281 828 495 045其結(jié)構(gòu)式可表示為（七）求極限的方法1。利用極限的四則運(yùn)算法則求極限;2.利用兩個(gè)重要極限求極限；3。利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限；4。利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5.利用洛必達(dá)法則求未定式的極限；6。利用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求極限。四則運(yùn)算法則：limf（x)=alimg(x)=blimf（x）g(x）=limf（x）limg(x)=ablimf（x)g（x）= limf（x)lim

13、g（x）=ablim k（x）=k lim f（x)=kalim=（b0）limf（x)=limf（x）n=an基本極限公式（1）limc=c(2）,（3），(4）1.約分，求極限答 答02。當(dāng)時(shí)型的極限答3 計(jì)算極限答0一般地，有計(jì)算極限 答3。無(wú)窮小的性質(zhì)求極限等于a。0b. c。1d.2 答a4。第個(gè)重要極限等于a。0b.c。1d。3答d等于a。0b.1 c. d。 答a若存在，且，則 答 15。第個(gè)重要極限求極限答 等于（)a。b。e c. d。 答d計(jì)算答e6。求極限的逆問題（1)當(dāng)時(shí)，己知極限值求函數(shù)式中待定系數(shù)例1。若，求a，b的值。答 型未定式.a=3，b=-2.(2）當(dāng)x時(shí)，

14、己知極限值求函數(shù)式中待定系數(shù)（一）27若，求a，b的值.答 型a=-1，b=1。設(shè)，則k=_。答7。無(wú)窮小量當(dāng)x0時(shí),下列函數(shù)為無(wú)窮小的是(）a. b。c。 d.2x1答 b當(dāng)x0時(shí)，是x的（）a。高階無(wú)窮小 b。低階無(wú)窮小c。同階無(wú)窮小，但不等價(jià) d.等價(jià)無(wú)窮小答c當(dāng)x0時(shí)，與為等價(jià)無(wú)窮小，則必有a=_.答第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求（1）理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法（2）會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn).（3）掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用介值定理推證一些簡(jiǎn)單的命題。（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)

15、利用連續(xù)性求極限主要知識(shí)內(nèi)容（一）函數(shù)連續(xù)的概念1、函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量的改變量趨近于0時(shí),相應(yīng)的函數(shù)也趨近于0，即或則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)處連續(xù)。函數(shù)y=f（x)在點(diǎn)連續(xù)也可作如下定義。定義2設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=f（x)的極限值存在，且等于處的函數(shù)值，即則稱函數(shù)y=f(x）在點(diǎn)連續(xù)，此時(shí)有定義3設(shè)函數(shù)y=f（x)，如果，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)處左連續(xù);如果，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)處連續(xù),則f（x）在點(diǎn)處左連續(xù)也右連續(xù)。2、函數(shù)在區(qū)間a，b上連續(xù)定義如果

16、函數(shù)f(x）在區(qū)間a,b上的每一點(diǎn)x處都連續(xù)，則稱f（x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，并稱f（x）為a，b上的連續(xù)函數(shù)。這里，f（x）在左端點(diǎn)a連續(xù)，是指滿足關(guān)系：在右端點(diǎn)b連續(xù)，是指滿足關(guān)系：即f（x)在左端點(diǎn)a處是右連續(xù)，在右端點(diǎn)b處是左連續(xù)?？梢宰C明:初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3、函數(shù)的間斷點(diǎn)定義：如果函數(shù)f（x)在點(diǎn)處不連續(xù)則稱點(diǎn)為f(x）一個(gè)間斷點(diǎn).由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知，如果f（x)在點(diǎn)處有下列三種情況之一,則點(diǎn)是f(x）一個(gè)間斷點(diǎn)。（1）在點(diǎn)處，f（x）沒有定義；（2）在點(diǎn)處，f（x)的極限不存在；（3）雖然在點(diǎn)處f（x）有定義，且存在,但.(二）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)由于函數(shù)

17、的連續(xù)性是通過(guò)極限來(lái)定義的，因而由極限的運(yùn)算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。定理（四則運(yùn)算）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在處皆連續(xù)，則在處連續(xù)在處連續(xù)若，則在處連續(xù)。定理（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)u=g（x）在處連續(xù)，y=f(u）在處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=fg（x）在處連續(xù)。在求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí),如果u=g(x）,在處極限存在，又y=f（u)在對(duì)應(yīng)的處連續(xù)。則極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)交換.即定理(反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)y=f(x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少)，則它的反函數(shù)也在對(duì)應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加(或嚴(yán)格單調(diào)減少）。（三)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f

18、(x），有以下幾個(gè)基本性質(zhì).這些性質(zhì)以后都要用到。定理(有界性定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則f（x）必在a,b上有界。定理（最大值和最小值定理)如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值m和最小值m.定理（介值定理)如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為m和m，則對(duì)于介于m和m之間的任何實(shí)數(shù)c，在a，b上至少存在一個(gè)，使得推論如果函數(shù)f（x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且f（a）與f（b)異號(hào)，則在a，b內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn),使得，（四)初等函數(shù)的連續(xù)性由函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定理知，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算而得的函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。又由于，基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，可以得到下列重要結(jié)論.定理:初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。利用初等函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論可知：如果f(x)是初等函數(shù)，且是定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則例1.點(diǎn)的連續(xù)性的逆問題（1）設(shè)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=f（x）.若f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則f（0）等于_。a。1 b。0 c。1 d。2