北師大版高中數(shù)學(xué)選修二項(xiàng)式定理二教案

1、1.51二項(xiàng)式定理教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：進(jìn)一步掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式過(guò)程與方法：能解決二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題情感、態(tài)度與價(jià)值觀：教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生充分體驗(yàn)到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問(wèn)題的解決方法。教學(xué)重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的掌握及運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的掌握及運(yùn)用授課類型：新授課課時(shí)安排：3課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：二項(xiàng)式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識(shí)的具體運(yùn)用，是學(xué)習(xí)概率的重要基礎(chǔ)這部分知識(shí)具有較高應(yīng)用價(jià)值和思維訓(xùn)練價(jià)值中學(xué)教材中的二項(xiàng)式定理主要包括：定理本身，通項(xiàng)公式，楊輝三角，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)等

2、通過(guò)二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生掌握有關(guān)知識(shí)，同時(shí)在求展開(kāi)式、其通項(xiàng)、證恒等式、近似計(jì)算等方面形成技能或技巧；進(jìn)一步體會(huì)過(guò)程分析與特殊化方法等等的運(yùn)用；重視學(xué)生正確情感、態(tài)度和世界觀的培養(yǎng)和形成二項(xiàng)式定理本身是教學(xué)重點(diǎn)，因?yàn)樗呛竺嬉磺薪Y(jié)果的基礎(chǔ)通項(xiàng)公式，楊輝三角，特殊化方法等意義重大而深遠(yuǎn)，所以也應(yīng)該是重點(diǎn)二項(xiàng)式定理的證明是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)這是因?yàn)?，證明中符號(hào)比較抽象、需要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用組合數(shù)的性質(zhì)2、需要用到不太熟悉的數(shù)學(xué)歸納法在教學(xué)中，努力把表現(xiàn)的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生，以發(fā)揮他們的自主精神；盡量創(chuàng)造讓學(xué)生活動(dòng)的機(jī)會(huì)，以讓學(xué)生在直接體驗(yàn)中建構(gòu)自己的知識(shí)體系；盡量引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)展和創(chuàng)造意識(shí)，以使他們能在再創(chuàng)造的

3、氛圍中學(xué)習(xí)教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：(a+b)2=a2+2ab+b2=c0a2+c1ab+c2b2；222(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=c0a3+c1a2b+c2ab2+c3b33333(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)的各項(xiàng)都是4次式，即展開(kāi)式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)：a4，a3b，a2b2，ab3，b4，展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)：上面4個(gè)括號(hào)中，每個(gè)都不取b的情況有1種，即c0種，a4的系數(shù)是c0；44恰有1個(gè)取b的情況有c1種，a3b的系數(shù)是c1，恰有2個(gè)取b的情況有c2種，a2b2的系數(shù)444是c2，恰有3個(gè)取b的情況有c3種，ab3的系數(shù)是c3，有4都取b的情況有

4、c4種，b4的系4444數(shù)是c4，4(a+b)4=c0a4+c1a3b+c2a2b2+c3a3b+c4b444444二、講解新課：二項(xiàng)式定理：(a+b)n=c0an+c1anb+nn+cran-rbr+n+cnbn(nn*)n(a+b)n的展開(kāi)式的各項(xiàng)都是n次式，即展開(kāi)式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)：an，anb，an-rbr，bn，展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)：每個(gè)都不取b的情況有1種，即c0種，an的系數(shù)是c0；nn恰有1個(gè)取b的情況有c1種，anb的系數(shù)是c1，nn恰有r個(gè)取b的情況有cr種，an-rbr的系數(shù)是cr，nn有n都取b的情況有cn種，bn的系數(shù)是cn，nn(a+b)n=c0an+c1anb+nn

5、+cran-rbr+n+cnbn(nn*)，n這個(gè)公式所表示的定理叫二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式，它有n+1項(xiàng)，各項(xiàng)的系數(shù)cr(r=0,1,nn)叫二項(xiàng)式系數(shù)，cran-rbr叫二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用tnr+1表示，即通項(xiàng)tr+1=cran-rbrn+crxr+二項(xiàng)式定理中，設(shè)a=1,b=x，則(1+x)n=1+c1x+xnnn三、講解范例：1例1展開(kāi)(1+)4xx4x4xxx11111解一：(1+)4=1+c1()+c1()2+c3()3+()4=1+44641+xx2x3x4解二：(1+)4=()4(x+1)4=()4x4+c1x3+c1x2+c3x+1xxx11144

6、4=1+4641+xx2x3x4例2展開(kāi)(2x-1x)6解：(2x-1x)6=1x3(2x-1)6=1x3(2x)6-c1(2x)5+c2(2x)4-c3(2x)3+c2(2x)2-c1(2x)+16666660121=64x3-192x2+240x-160+-+xx2x3例3求(x+a)12的展開(kāi)式中的倒數(shù)第4項(xiàng)解：(x+a)12的展開(kāi)式中共13項(xiàng)，它的倒數(shù)第4項(xiàng)是第10項(xiàng)，t9+1=c9x12-9a9=c3x3a9=220x3a91212例4求（1）(2a+3b)6，（2）(3b+2a)6的展開(kāi)式中的第3項(xiàng)解：（1）t2+1=c2(2a)4(3b)2=2160a4b2，6（2）t2+1=c

7、2(3b)4(2a)2=4860b4a26點(diǎn)評(píng)：(2a+3b)6，(3b+2a)6的展開(kāi)后結(jié)果相同，但展開(kāi)式中的第r項(xiàng)不相同x例5（1）求(+33x)9的展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)；（2）求(x+33x)9的展開(kāi)式的中間兩項(xiàng)3x解：tr+1x3=cr()9-r(93)r=cr32r-9x9-2r，9（1）當(dāng)9-32r=0,r=6時(shí)展開(kāi)式是常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)為t=c633=2268；79x（2）(+33x)9的展開(kāi)式共10項(xiàng)，它的中間兩項(xiàng)分別是第5項(xiàng)、第6項(xiàng)，t=c438-9x9-12=5942x315，t=c5310-9x9-2=378x369（例61）求(1+2x)7的展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)；1（2）求(x-

8、)9的展開(kāi)式中x3的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)x解：(1+2x)7的展開(kāi)式的第四項(xiàng)是t3+1=c3(2x)3=280x3，7(1+2x)7的展開(kāi)式的第四項(xiàng)的系數(shù)是280xx1（2）(x-)9的展開(kāi)式的通項(xiàng)是tr+11=crx9-r(-)r=(-1)rcrx9-2r，999-2r=3，r=3，x3的系數(shù)(-1)3c3=-84，x3的二項(xiàng)式系數(shù)c3=8499例7求(x2+3x-4)4的展開(kāi)式中x的系數(shù)分析：要把上式展開(kāi)，必須先把三項(xiàng)中的某兩項(xiàng)結(jié)合起來(lái)，看成一項(xiàng)，才可以用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，然后再用一次二項(xiàng)式定理，也可以先把三項(xiàng)式分解成兩個(gè)二項(xiàng)式的積，再用二項(xiàng)式定理展開(kāi)解：（法一）(x2+3x-4)4=(x2+3

9、x)-44=c0(x2+3x)4-c1(x2+3x)34+c2(x2+3x)242-c3(x2+3x)43+c444，44444顯然，上式中只有第四項(xiàng)中含x的項(xiàng)，展開(kāi)式中含x的項(xiàng)的系數(shù)是-c3343=-7684（法二）：(x2+3x-4)4=(x-1)(x+4)4=(x-1)4(x+4)4=(c0x4-c1x3+c2x2-c3x+c4)(c0x4+c1x34+c2x242+c3x43+c444)4444444444展開(kāi)式中含x的項(xiàng)的系數(shù)是-c344+c343=-76844(例8已知f(x)=1+2x)m+1+4x)n(m,nn*)的展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)為36，求展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)最小值分析

10、：展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是關(guān)于m,n的關(guān)系式，由展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)為36，可得2m+4n=36，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于m或n的二次函數(shù)求解解：(1+2x)m+(1+4x)n展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為c12x+c14x=(2c1+4c1)xmnmn(2c1+4c1)=36，即m+2n=18，mn(1+2x)m+(1+4x)n展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為t=c222+c242=2m2-2m+8n2-8n，mnm+2n=18，m=18-2n，t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n=16n2-148n+612=16(n2-3715337n+)，當(dāng)n=448時(shí)，t取最小值，但nn*，24x)n的展開(kāi)式中

11、，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列，n=5時(shí)，t即x2項(xiàng)的系數(shù)最小，最小值為272，此時(shí)n=5,m=8例9已知(x-1（1）證明展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)22解：由題意：2c1n11=1+c2()2，即n2-9n+8=0，n=8(n=1舍去）n(x)1cr)r=(-)rcrx2x-4=(-1)r8x422rrztr+1=cr88-r(-124x88-rr16-3r0r8若t4r+1是常數(shù)項(xiàng)，則16-3r=0，即16-3r=0，rz，這不可能，展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；若tr+1是有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)16-3r4為整數(shù)，82560r8,rz，r=0,4,8，即展開(kāi)式中有三項(xiàng)有理項(xiàng)，分

12、別是：t=x4，t=15例10求0.9986的近似值，使誤差小于0.001351x，t=x-29解：0.9986=(1-0.002)6=c0+c1(-0.002)1+66+c6(-0.002)6，6展開(kāi)式中第三項(xiàng)為c20.0022=0.00006，小于0.001，以后各項(xiàng)的絕對(duì)值更小，可忽略6不計(jì)，0.9986=(1-0.002)6c0+c1(-0.002)1=0.998，66一般地當(dāng)a較小時(shí)(1+a)n1+na四、課堂練習(xí)：1.求(2a+3b)6的展開(kāi)式的第3項(xiàng).2.求(3b+2a)6的展開(kāi)式的第3項(xiàng).)的展開(kāi)式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，并求第4項(xiàng)的系數(shù).3.寫出(3x-4.求(x3+2x123

13、x)n的展開(kāi)式的第r+1項(xiàng).75.用二項(xiàng)式定理展開(kāi)：（1）(a+3b)5；（2）(x2-)5.2x6.化簡(jiǎn)：（1）(1+1111x)5+(1-x)5；（2）(2x2+3x-2)4-(2x2-3x-2)47()展開(kāi)式中的第3項(xiàng)為106，求x8求x-展開(kāi)式的中間項(xiàng)512nx答案：1.t2+1=c2(2a)6-2(3b)2=2160a4b262.t2+1=c2(3b)6-2(2a)2=4860a2b461rrn-2r)r=-cx323x23.tr+1=cr(3x)n-r(-n1n4.展開(kāi)式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)c3=35，第4項(xiàng)的系數(shù)c323=280775.（1）(a+3b)5=a5+5a43b+10

14、a33b2+10a2b+5ab3b+b3b2；（2）(x26.（1）(1+215xxx-)5=x2x-xx+5x-20+40-32x328xx2x3x)5+(1-x)5=2+20x+10x2；.-1-111（2）(2x2+3x2)4-(2x2-3x2)4=192x+432x7.x5(+xlgx)展開(kāi)式中的第3項(xiàng)為c25x3+2lgx=106x3+2lgx=1052lg2x+3lgx-5=0lgx=1,lgx=-52x=10,x=1010008.x-展開(kāi)式的中間項(xiàng)為(-1)ncnx12n2n五、小結(jié)：二項(xiàng)式定理的探索思路:觀察歸納猜想證明；二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的特點(diǎn)六、課后作業(yè)：p36習(xí)題1.3

15、a組1.2.3.4七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）八、教學(xué)反思：(a+b)=這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)的，其中cr（r=0,1,2,n）叫做，叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的n通項(xiàng)，它是展開(kāi)式的第項(xiàng)，展開(kāi)式共有個(gè)項(xiàng).掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，并能用它們解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題。培養(yǎng)歸納猜想，抽象概括，演繹證明等理性思維能力。教材的探求過(guò)程將歸納推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合起來(lái)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的極好載體，教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生充分體驗(yàn)到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問(wèn)題的解決方法。二項(xiàng)式定理是指(ab)nanc1an1bc2an2b2nn

16、cranrbrn23cnbn這樣一個(gè)展開(kāi)式的公式.它是(a+b)=a2+2ab+b2，(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3等等展開(kāi)式的n一般形式，在初等數(shù)學(xué)中它各章節(jié)的聯(lián)系似乎不太多，而在高等數(shù)學(xué)中它是許多重要公式的共同基礎(chǔ)，根據(jù)二項(xiàng)式定理的展開(kāi)，才求得y=xn的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)=nxn1，同時(shí)lim(1n1n)n=ey=1xxi2.718281也正是由二項(xiàng)式定理的展開(kāi)規(guī)律所確定，而e在高等數(shù)學(xué)中的地位更是舉足輕重，概率中的正態(tài)分布，復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式e=cos+isin，微分方程中二階變系數(shù)方程及高階常系數(shù)方程的解由e的指數(shù)形式來(lái)表達(dá).且直接由e的定義建立的y=lnx的導(dǎo)數(shù)公式1與積分公式

17、=dxlnx+c是分析學(xué)中用的最多的公式之一.而由y=xn的各階導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)建立f(x0)fn(x)n!(x21!(xx0)+0x0)n+f(n1)x(xx)(n1)!000(xx)n1(0，1)以及由此建立的冪級(jí)數(shù)理論，更是廣泛深入到高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中.怎樣使二項(xiàng)式定理的教學(xué)生動(dòng)有趣4正因?yàn)槎?xiàng)式定理在初等數(shù)學(xué)中與其他內(nèi)容聯(lián)系較少，所以教材上教法就顯得呆板，單調(diào)，課本上先給出一個(gè)(a+b)用組合知識(shí)來(lái)求展開(kāi)式的系數(shù)的例子.然后推廣到一般形式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，因?yàn)樽C明寫得很長(zhǎng)，上課時(shí)的板書(shū)幾乎占了整個(gè)黑板，所以課必然上得累贅，學(xué)生必然感到被動(dòng).那么多的算式學(xué)生看都不及細(xì)看，記也感到吃力，又怎能發(fā)揮主體作用？怎樣才能使得在這節(jié)課上學(xué)生獲得主動(dòng)？采用課前預(yù)習(xí)；自學(xué)輔導(dǎo)；還是學(xué)生討論，或讀，議、講，練，或目標(biāo)教學(xué)，還是設(shè)置發(fā)現(xiàn)情境？看來(lái)這些辦法遇到真正困難時(shí)都會(huì)無(wú)能為力，因?yàn)檫@些方法都無(wú)法改變算式的冗