和差化積與積化和差,球缺

1、和差化積與積化和差，球缺積化和差公式：sin a sin B =cos( a - B )-cos( a +B )/2 (注意：此時(shí) 差的余弦 在和的余弦 前面) 或?qū)懽鳎簊in a sinB=- cos( a+B )-cos( a - B )/2 (注意：此時(shí)公式前有 負(fù)號(hào))cosa cosB=cos(a-B)+COS(a+ B )/2sina cosB=sin(a+B)+sin(a- B )/2cosa sinB=sin(a+B)-sin(a- B )/2證明：積化和差恒等式可以通過展開角的和差恒等式的右手端來證明。即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明：sin a sin B =-1

2、/2-2sina sin B =-1/2(cosa cos B -sin a sin B )-(cos a cos B +sin a sin B )=-1/2cos(a + B )-cos( a - B ) 其他的3個(gè)式子也是相同的證明方法(參見和差化積)作用積化和差公式可以將兩個(gè)三角函數(shù)值的積化為另兩個(gè)三角函數(shù)值的和乘以常數(shù)的形式，所 以使用積化和差公式可以達(dá)到降次的效果。在歷史上，對(duì)數(shù)出現(xiàn)之前，積化和差公式被用來將乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算，運(yùn)算需要利用三角函數(shù)表。運(yùn)算過程：將兩個(gè)數(shù)通過乘、除10的方幕化為0到1之間的數(shù)，通過查表求出對(duì)應(yīng)的反三角函數(shù)值，即將原式化為10Ak*sin a sin

3、B的形式，套用積化和差后再次查表求三角函數(shù)的值，并最后利用加減算出結(jié)果。對(duì)數(shù)出現(xiàn)后，積化和差公式的這個(gè)作用由更加便捷的對(duì)數(shù)取代。記憶方法積化和差公式的形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn)，下面指出了各自的簡單記憶方法 結(jié)果除以2這一點(diǎn)最簡單的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是-1,1，其和差的值域應(yīng)該是-2,2，而積的值域確是-1,1，因此除以2是必須的。也可以通過其證明來記憶，因?yàn)檎归_兩角和差公式后，未抵消的兩項(xiàng)相同而造成有系數(shù)2，如:cos( a - B )-cos( a + B ) =(cos a cos B +sin a sin B )-(cos a cos

4、B -sin a sin B ) =2sin a sin B 故最后需要除以 2。使用同名三角函數(shù)的和差無論乘積項(xiàng)中的三角函數(shù)是否同名，化為和差形式時(shí)，都應(yīng)是同名三角函數(shù)的和差。這一 點(diǎn)主要是根據(jù)證明記憶，因?yàn)槿绻皇峭呛瘮?shù)，兩角和差公式展開后乘積項(xiàng)的形式都不 同，就不會(huì)出現(xiàn)相抵消和相同的項(xiàng)，也就無法化簡下去了。使用哪種三角函數(shù)的和差仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開中含有兩對(duì)同名三角函數(shù)的乘積， 正弦的展開則是兩對(duì)異名三角函數(shù)的乘積。所以反過來，同名三角函數(shù)的乘積，化作余弦的和 差；異名三角函數(shù)的乘積，化作正弦的和差。是和還是差？這是積化和差公式的使用中最容易出錯(cuò)的一項(xiàng)

5、。規(guī)律為：“小角”B以cos B的形式出現(xiàn)時(shí)，乘積化為和；反之，則乘積化為 差。由函數(shù)的奇偶性記憶這一點(diǎn)是最便捷的。如果B的形式是cos B，那么若把B替換為-B，結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的，也就是含a +B和a - B的兩項(xiàng)調(diào)換位置對(duì)結(jié)果沒有影響，從而結(jié)果的形式應(yīng)當(dāng)是和；另一種情況可以類似說明。正弦-正弦積公式中的順序相反/負(fù)號(hào)這是一個(gè)特殊情況，完全可以死記下來。當(dāng)然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如0, n 內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。因?yàn)檫@個(gè)區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以cos( a +B )不大于cos( a - B )。但是這時(shí)對(duì)應(yīng)的 a和B在0, n 的范圍內(nèi)，其正弦的乘積應(yīng)大于等于0,所以要

6、么反過來把cos( a - B )放到cos( a +B )前面，要么就在式子的最前面加上負(fù)號(hào)。和差化積公式:sina +si nB =2si n(a + B )/2 cos( a -B )/2sina -sinB =2cos(a + B )/2 sin ( a -B )/2cosa +cosB =2cos(a + B )/2 c os ( a -B )/2cosa -cosB =-2si n(a + B )/2 sin(a-B )/2【注意右式刖的負(fù)號(hào)】證明:sina +si nB =2s in(a + B )/2 cos( a-B )/2的證明過程因?yàn)閟in( a+ B )=sina co

7、s B +cos a sinB，sin( a - B )=sin a cos B - cos a sin B , 將以上兩式的左右兩邊分別相加，得 :sin( a + B )+sin( a - B )=2sina cos B ,設(shè) a + B = B, a - B = 那么：a =( 0 + )/2, B = (B - ) /2把 a , B 的值代入，即得 :sin0 +sin =2sin ( 0 + )/2 cos( 0 - ) /2 正切的和差化積tana tan B =sin(a B )/(cosa cosB)(附證明)cota cot B =sin(B a )/(sina sinB)

8、tana+cot B =cos(a -B )/(cos asin B)tana-cot B =-cos(a+ B )/(cosa sinB )證明：左邊 =tan a tan B =sin a /cos a sin B /cos B =(sin a cos B cos a sin B )/(cos a cos B ) =sin( a B )/(cos a cos B )=右邊等式成立注意事項(xiàng)在應(yīng)用和差化積時(shí)，必須是一次同名三角函數(shù)方可實(shí)行。若是異名，必須用誘導(dǎo)公式 化為同名；若是高次函數(shù)，必須用降幕公式 降為一次口訣：正加正，正在前，余加余，余并肩 ；正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦 ；反之亦然

9、生動(dòng)的口訣：帥+帥=帥哥；帥-帥=哥帥；咕+咕=咕咕；哥-哥=負(fù)嫂嫂;反之亦然 記憶方法和差化積公式的形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn)，下面指出了各自的簡單記憶 方法。結(jié)果乘以2這一點(diǎn)最簡單的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是-1,1，其積的值域也應(yīng)該是-1,1，而和差的值域卻是-2,2，因此乘以2是必須的。也可以通過其證明來記憶，因?yàn)檎归_兩角和差公式后，未抵消的兩項(xiàng)相同而造成有系數(shù)2，如:cos( a - B )-cos( a +B )=(cos a cos B +sin a sin B )-(cos a cos B -sin a sin B )=2sin a

10、sin B故最后需要乘以 2。 只有同名三角函數(shù)能和差化積無論是正弦函數(shù)還是余弦函數(shù)，都只有同名三角函數(shù)的和差能夠化為乘積。這一點(diǎn)主要是 根據(jù)證明記憶，因?yàn)槿绻皇峭呛瘮?shù)，兩角和差公式展開后乘積項(xiàng)的形式都不同，就不 會(huì)出現(xiàn)相抵消和相同的項(xiàng)，也就無法化簡下去了。乘積項(xiàng)中的角要除以 2在和差化積公式的證明中，必須先把a(bǔ)和B表示成兩角和差的形式，才能夠展開。熟知要使兩個(gè)角的和、差分別等于a和B，這兩個(gè)角應(yīng)該是(a +B )/2和(a - B )/2，也就是乘積項(xiàng)中角的形式。注意和差化積和積化和差的公式中都有一個(gè)“除以2”，但位置不同；而只有和差化積公式“乘2”。使用哪兩種三角函數(shù)的積這一點(diǎn)較好

11、的記憶方法是拆分成兩點(diǎn)，一是是否同名乘積，二是“半差角”(a - B )/2的三角函數(shù)名。是否同名乘積，仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開中含有兩對(duì)同名 三角函數(shù)的乘積，正弦的展開則是兩對(duì)異名三角函數(shù)的乘積。所以，余弦的和差化作同名三角 函數(shù)的乘積；正弦的和差化作異名三角函數(shù)的乘積。(a - B )/2的三角函數(shù)名規(guī)律為：和化為積時(shí)，以COS( a - B )/2的形式出現(xiàn)；反之，以sin ( a - B )/2的形式出現(xiàn)。由函數(shù)的奇偶性記憶這一點(diǎn)是最便捷的。如果要使和化為積，那么a和B調(diào)換位置對(duì)結(jié)果沒有影響，也就是若把 (a - B )/2替換為(B - a )/2，結(jié)果應(yīng)當(dāng)

12、是一樣的，從而(a - B )/2的形式是COS( a - B )/2 ；另一種情況可以類似說明。余弦-余弦差公式中的順序相反 /負(fù)號(hào)這是一個(gè)特殊情況，完全可以死記下來。當(dāng)然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如(0, n 內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。因?yàn)檫@個(gè)區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以當(dāng)a大于B時(shí)，COS a小于COS B。但是這時(shí)對(duì)應(yīng)的(a +B )/2和(a - B )/2在(0, n )的范圍內(nèi)，其正弦的乘積應(yīng)大于0，所以要么反過來把COS B放到cos a前面，要么就在式子的最前面加上負(fù)號(hào)。球缺球缺的面積=2n Rh (不包括截面的面積)球缺的體積=n hA2(R-h/3).(R是球的半徑,h是球缺的高)球缺質(zhì)心：勻質(zhì)球缺的質(zhì)心位于它的中軸線上，并且與底面的距離為：c = (4R-h)h/(12R-4h)=(dA2+2hA2)h/(3dA2+4hA2)(其中，h為球缺的高，R為大圓半徑，d 為球缺的底面直徑。)用高等數(shù)學(xué) 定積分來計(jì)算的方法：已知：球半徑 R,球缺高H。我們就可以 得到球缺的體積為：V=n H2(R-H/3)證明過程：由于圓方