導(dǎo)數(shù)求凹凸性

1、第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性的判定方法如果函數(shù)在上單調(diào)增加（單調(diào)減少）,那么它的圖形是一條沿軸正向上升（下降）的曲線.這時(shí)曲線的各點(diǎn)處的切線斜率是非負(fù)的（是非正的）,即此可見,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的關(guān)系.反過來,能否用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定函數(shù)的單調(diào)性呢？(或)由定理(函數(shù)單調(diào)性的判定法)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).(1)如果在(2)如果在內(nèi)內(nèi),那么函數(shù),那么函數(shù)在在上單調(diào)增加;上單調(diào)減少.證明只證(1)（2）可類似證得）在上任取兩點(diǎn),應(yīng)用拉格朗日中值定理,得到.由于在上式中即,那么也有,因此,如果在,于是內(nèi)導(dǎo)數(shù)保持正號(hào),從而，因此函數(shù)例3-19判定函數(shù)在在上單調(diào)增加.證

2、畢上的單調(diào)性.解因?yàn)樵趦?nèi),所以由判定法可知函數(shù)在上單調(diào)增加.例3-20討論函數(shù)解由于且函數(shù)的單調(diào)性.的定義域?yàn)榱?得,因?yàn)樵趦?nèi),所以函數(shù)在上單調(diào)減少;又在內(nèi),所以函數(shù)在上單調(diào)增加.例3-21討論函數(shù)的單調(diào)性.解:顯然函數(shù)的定義域?yàn)?而函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為所以函數(shù)在又因?yàn)橐驗(yàn)闀r(shí),時(shí),處不可導(dǎo).,所以函數(shù)在,所以函數(shù)在上單調(diào)減少;上單調(diào)增加.說明:如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù),那么只要用方程的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù)的定義區(qū)間,就能保證在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號(hào),因而函數(shù)例3-22.確定函數(shù)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào).的單調(diào)區(qū)間.解該函數(shù)的定義域?yàn)?而列表,令,得.

3、+-+函數(shù)f(x)在區(qū)間例3-23討論函數(shù)和內(nèi)單調(diào)增加,在區(qū)間的單調(diào)性.上單調(diào)減少.解函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為:上單調(diào)減少;,除時(shí),外,在其余各點(diǎn)處均有因此函數(shù)在區(qū)間因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以函數(shù)在及上都是單調(diào)增加的.從而在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)增加的.其在處曲線有一水平切線.說明:一般地,如果在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零,在其余各點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí),那么該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.例3-24證明:當(dāng)時(shí),.在證明:令因?yàn)楫?dāng),故時(shí),則,因此,在上單調(diào)增加,從而當(dāng)時(shí),又由于即,也就是,().二、函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)在給出凸性嚴(yán)格定義之前，從直觀上看一下函數(shù)圖形凸性的幾何特征，如圖所示，圖形上任意弧段位

4、于所張弦的下方圖形上任意弧段位于所張弦的上方定義3-6-1設(shè)在區(qū)間i上連續(xù),如果對(duì)i上任意兩點(diǎn),恒有那么稱在i上的下凸函數(shù);如果恒有那么稱在i上的上凸函數(shù).函數(shù)的上凸下凸的性質(zhì)叫做函數(shù)的凸性二、判定函數(shù)的凸性的充分條件定理設(shè)在上連續(xù),在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),那么(1)若在(2)若在內(nèi)內(nèi),則,則在在上是下凸的;上是上凸的.證明只證(1)(2)的證明類似).設(shè),記.由拉格朗日中值公式,得,兩式相加并應(yīng)用拉格朗日中值公式得,即拐點(diǎn):連續(xù)曲線確定曲線(1)確定函數(shù)(2)求出在二階導(dǎo)數(shù),所以在上的圖形是凹的.上凸與下凸的分界點(diǎn)稱為這曲線的拐點(diǎn).的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟:的定義域;(3)求使二階導(dǎo)

5、數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);(4)判斷或列表判斷,確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn);注:根據(jù)具體情況（1）、（3）步有時(shí)省略.例3-34判斷曲線解:因?yàn)?的凸性.令得,當(dāng)當(dāng)時(shí),時(shí),所以曲線在,所以曲線在內(nèi)為上凸的;內(nèi)為下凸的.例3-35求曲線解:(1)函數(shù)(2)(4)列表判斷:的拐點(diǎn)及凸性區(qū)間.的定義域?yàn)?,;(3)解方程,得,;在區(qū)間拐點(diǎn).和上曲線是下凸的,在區(qū)間上曲線是上凸的.點(diǎn)和是曲線的例3-36問曲線是否有拐點(diǎn)？解,.當(dāng)時(shí),例3-37求曲線,在區(qū)間的拐點(diǎn).內(nèi)曲線是下凸的,因此曲線無拐點(diǎn).解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?2),;(3)函數(shù)無二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為(4)判斷:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),因此,點(diǎn);是曲線的拐點(diǎn).拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)在（a，b）上可導(dǎo)，a,b上連續(xù)，則必有一a,b使得f()*(b-a)=f