專題11分式的基本概念和基本性質(zhì)

1、專題11 分式的基本概念和基本性質(zhì)考點一 分式的概念【方法點撥】（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式（2）因為0不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0（3）分式是兩個整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分數(shù)線可以理解為除號，還兼有括號的作用（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是AB的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡（5）分式是一種表達形式，如x+1x+2是分式，如果形式都不是AB的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）（x+2），它只表示一種除法運

2、算，而不能稱之為分式，但如果用負指數(shù)次冪表示的某些代數(shù)式如（a+b）2，y1，則為分式，因為y1=1y僅是一種數(shù)學上的規(guī)定，而非一種運算形式【典例剖析】1（2018秋常德期末）在1x，3x+y，12，2xy，-x+13中，分式有（）A1個B2個C3個D4個【點撥】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式【解析】解：在1x，3x+y，12，2xy，-x+13中分式有1x，3x+y兩個，故選：B2（2019秋任城區(qū)期中）下列各式中不是分式的是（）A2xx+yB12C1x2Dx3x-1【點撥】根據(jù)分式的定義對四個選項進行逐一分析即可【解析】解：A、分母中含

3、有未知數(shù)，故是分式，故本選項錯誤；B、分母中不含有未知數(shù)，故不是分式，故本選項正確；C、分母中含有未知數(shù)，故是分式，故本選項錯誤；D、分母中含有未知數(shù)，故是分式，故本選項錯誤故選：B3（2018秋錯那縣期末）在1x、13、x2+12、5+y、a+1m中分式的個數(shù)有（）A2個B3個C4個D5個【點撥】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式【解析】解：分式有在1x、a+1m共2個故選：A4（2019鄆城縣模擬）一組按規(guī)律排列的式子：2a，-5a2，10a3，-17a4，26a5，其中第7個式子是，第n個式子是（用含的n式子表示，n為正整數(shù)）【點撥】觀察

4、分母的變化為a的1次冪、2次冪、3次冪n次冪；分子的變化為：2、5、10、17n2+1；分式符號的變化為：+、+、（1）n+1【解析】解：2a=（1）212+1a1，-5a2=（1）322+1a2，10a3=（1）432+1a3，第7個式子是50a7，第n個式子為：(-1)n+1n2+1an故答案是：50a7，(-1)n+1n2+1an5（2018秋雞東縣期末）當x時，分式2x+1x2的值為正【點撥】同號為正，異號為負分母0【解析】解：分式2x+1x2的值為正，即2x+1x20，解得x-12，因為分母不為0，所以x0故當x-12且x0時，分式2x+1x2的值為正6觀察給定的分式：1x，2x2，

5、4x3，8x4，16x5，猜想并探索規(guī)律，那么第n個分式是【點撥】先看分子，后面一項是前面一項的2倍（第一項是1，第二項是2，第n項是2n1）；再看分母，后面一項是前面一項的x倍（第一項是x，第二項是x2，第n項是xn）；據(jù)此可以找尋第n個分式的通式【解析】解：先觀察分子：1、21、22、23、2n1；再觀察分母：x、x1、x2、xn；所以，第n個分式2n-1xn；故答案是：2n-1xn7給定下面一列分式：x3y，-x5y2，x7y3，-x9y4，（其中x0）（1）把任意一個分式除以前面一個分式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出給定的那列分式中的第7個分式【點撥】根據(jù)題中所給的

6、式子找出規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律找出所求式子【解析】解：（1）-x5y2x3y=-x2y；x7y3（-x5y2）=-x2y規(guī)律是任意一個分式除以前面一個分式恒等于-x2y；（2）由式子：x3y，-x5y2，x7y3，-x9y4，發(fā)現(xiàn)分母上是y1，y2，y3，故第7個式子分母上是y7，分子上是x3，x5，x7，故第7個式子是x15，再觀察符號發(fā)現(xiàn)第偶數(shù)個為負，第奇數(shù)個為正，第7個分式應該是x15y7考點二 分式有意義、分式無意義、分式值為0【方法點撥】1分式有意義的條件（1）分式有意義的條件是分母不等于零（2）分式無意義的條件是分母等于零（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號（4）分式的值為負數(shù)的條

7、件是分子、分母異號2分式的值為零的條件分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零注意：“分母不為零”這個條件不能少【典例剖析】1（2019秋伊通縣期末）若分式1x-5有意義，則x的取值范圍是（）Ax5Bx5Cx5Dx5【點撥】根據(jù)“分式有意義分母不為零”列式求解即可【解析】解：根據(jù)題意得，x50，解得x5故選：A2（2019秋鎮(zhèn)原縣期末）下列分式中，無論x取何值，分式總有意義的是（）A15x2B1x2+1C1x3+1Dx+2x【點撥】根據(jù)分母不為零分式有意義，可得答案【解析】解：A、x0時分式無意義，故A錯誤；B、無論x取何值，分式總有意義，故B正確；C、當x1時，分式無意義，故C錯誤；D、當

8、x0時，分式無意義，故D錯誤；故選：B3（2019秋官渡區(qū)期末）若分式x2-1x2-x的值為0則x的值為（）A1B1C1D0【點撥】根據(jù)分式的值為0的條件列出關于x的不等式組，求出x的值即可【解析】解：分式x2-1x2-x的值為0，x2-1=0x2-x0，解得x1故選：B4（2019秋嘉祥縣期末）若分式x2-4x-2的值為0，則x的值為（）A2B2C0D2【點撥】根據(jù)分式值為零條件可得x240，且x20，再解即可【解析】解：根據(jù)分式值為零條件：x240，且x20，解得：x2，故選：B5（2019秋襄州區(qū)期末）當x1時，分式x+11-x有意義【點撥】分式有意義，分母不等于零【解析】解：當分母1x

9、0，即x1時，分式x+11-x有意義故答案是：16（2019秋大冶市期末）當x為2時，分式3x-62x+1的值為0【點撥】分式的值是0的條件是，分子為0，分母不為0【解析】解：3x60，x2，當x2時，2x+10當x2時，分式的值是0故答案為27（2019春江陰市期末）當x2時，分式x2-4x+2的值為零【點撥】要使分式的值為0，必須分式分子的值為0并且分母的值不為0【解析】解：由分子x240x2；而x2時，分母x+22+240，x2時分母x+20，分式?jīng)]有意義所以x2故答案為：28（2019賀州）要使分式1x+1有意義，則x的取值范圍是x1【點撥】根據(jù)分式有意義的條件列出關于x的不等式，求出

10、x的取值范圍即可【解析】解：分式1x+1有意義，x+10，即x1故答案為：x19下列分式，當x取何值時有意義（1）2x+13x+2；（2）3+x22x-3【點撥】要使分式有意義，分母不能為0，根據(jù)此條件求得x的取值范圍【解析】解：（1）要使分式有意義，則分母3x+20，解得：x-23；（2）要使分式有意義，則分母2x30，x32考點三 分式的基本性質(zhì)【方法點撥】1分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變2分式中的符號法則：分子、分母、分式本身同時改變兩處的符號，分式的值不變【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問題（1）分式中的系數(shù)化整問題：當分子、分母的

11、系數(shù)為分數(shù)或小數(shù)時，應用分數(shù)的性質(zhì)將分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)（2）解決分式中的變號問題：分式的分子、分母及分式本身的三個符號，改變其中的任何兩個，分式的值不變，注意分子、分母是多項式時，分子、分母應為一個整體，改變符號是指改變分子、分母中各項的符號（3）處理分式中的恒等變形問題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的【典例剖析】1（2019秋太仆寺旗期末）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式-aa-b可變形為（）Aa-a-bB-aa+bCaa+bD-aa-b【點撥】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案【解析】解：原式=-aa-b=ab-a，故選：D2（2019秋郯城縣期末）將分式x2x+y中的x、

12、y的值同時擴大2倍，則分式的值（）A擴大2倍B縮小到原來的12C保持不變D無法確定【點撥】根據(jù)已知得出(2x)22x+2y=2x2x+y，求出后判斷即可【解析】解：將分式x2x+y中的x、y的值同時擴大2倍為(2x)22x+2y=2x2x+y，即分式的值擴大2倍，故選：A3（2019秋蒙陰縣期末）把分式xx2+y2（x0，y0）中的分子分母的x、y都同時擴大為原來的2倍，那么分式的值將是原分式值的（）A2倍B4倍C一半D不變【點撥】把分式xx2+y2（x0，y0）中的分子分母的x、y都同時擴大為原來的2倍，就是用x變成2x，y變成2y用2x，2y代替式子中的x、y，看所得的式子與原式之間的關系

13、【解析】解：2x(2x)2+(2y)2=2x4x2+4y2=2x4(x2+y2)=12xx2+y2，所以分式的值將是原分式值的一半故選：C4（2018秋通川區(qū)期末）已知：x6=y4=z3（x、y、z均不為零），則x+3y3y-2z=3【點撥】本題可設x6k，y4k，z3k，將其代入分式即可【解析】解：設x6k，y4k，z3k，將其代入分式中得：x+3y3y-2z=18k6k=3故答案為35（2019春吳江區(qū)期末）已知：x4=y3=z2，則x-y+3zx=74【點撥】由x4=y3=z2，得x：y：z4：3：2，令x、y、z的值分別為4k，3k，2k，代入直接求得結果【解析】解：令x4k，y3k，

14、z2k，代入x-y+3zx=4-3+64=74故答案為：746（2019春越城區(qū)期末）已知m=x-yx把公式變形成已知m，y，求x的等式【點撥】把y與m看做已知數(shù)表示出x即可【解析】解：方程去分母得：mxxy，移項合并得：（m1）xy，解得：x=y1-m，故答案為：x=y1-m7（2018秋高淳區(qū)期末）ba=-ab()【點撥】分式的基本性質(zhì)是指分式的分子和分母同時乘以或除以一個不為零的數(shù)或整式，分式的值不變據(jù)此可知：分子由b變?yōu)閍b是分子b乘以a得來的，故分母也得乘以a，問題可求【解析】解：由題意，分式的分母分子同時乘以一個不為0的數(shù)或式時，分式的值不變，分子乘以a，則分母也要乘以a，即ba=

15、-ab-a2故答案為：a28（杜爾伯特縣期末）根據(jù)變化完成式子的變形：3x2-3xyxy-y2=3x()【點撥】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式有意義，則可對分子、分母先提取公因式，再化簡解答【解析】解：提取公因式，得，3x2-3xyxy-y2=3x(x-y)y(x-y)，分式有意義，則y0且xy0，化簡得，原式=3x；故答案為：y9（2018秋豐臺區(qū)期末）小強在做分式運算與解分式方程的題目時經(jīng)常出現(xiàn)錯誤，于是他在整理錯題時，將這部分內(nèi)容進行了梳理，如圖所示：請你幫小強在圖中的括號里補寫出“通分”和“去分母”的依據(jù)【點撥】分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結果仍得等式【解析】解：異分母分式通過通分，可以轉(zhuǎn)化為同分母分式，依據(jù)為：分式的基本性質(zhì)；分式方程通過去分母，可以轉(zhuǎn)化為整式方程，依據(jù)為：等式的基本性質(zhì)故答案為：分式的基本性質(zhì)；等式的基本性質(zhì)10不改變分式的值，把下列各式的分子與分母