數(shù)列極限的例題和習(xí)題

1、33第1章 函數(shù)的極限和連續(xù)函數(shù)第1-7節(jié) 數(shù)列極限的例題和習(xí)題下面的例題和習(xí)題都是數(shù)列極限理論中的著名習(xí)題，初學(xué)者能夠完全讀懂其中例題的證明是不容易的，能夠獨(dú)立完成后面那些習(xí)題就更不容易.因此，你可以先粗讀一下(因?yàn)椴还苣阕x懂多少，都暫時不會影響到你學(xué)習(xí)微積分)，有興趣的讀者等有空時或假期中再去細(xì)讀它.讀一讀它，你會在做題方法上受到嚴(yán)格的訓(xùn)練. 稱一個數(shù)列為無窮小量，即，用“”說法，就是它滿足條件：任意給定正數(shù)，都有對應(yīng)的正整數(shù)，當(dāng)時，. 稱一個數(shù)列為無窮大量，即，用“”說法，就是它滿足條件：任意給定正數(shù)，都有對應(yīng)的正整數(shù)，當(dāng)時，.特別，就是它滿足條件：任意給定正數(shù)，都有對應(yīng)的正整數(shù)，使當(dāng)時

2、，.而，就是它滿足條件：任意給定正數(shù)，都有對應(yīng)的正整數(shù)，使當(dāng)時，.無窮大量與無窮小量是兩個對偶的概念，即當(dāng)時，若是無窮大量，則是無窮小量；若是無窮小量，則是無窮大量. 在第0章(看我做題)中，那些有關(guān)數(shù)列極限的習(xí)題，如果說可以憑借直覺和四則運(yùn)算規(guī)則能夠做出來的話，那么下面這些結(jié)論，就必須用“”說法才能夠證明.你看一看其中的證明，可以學(xué)習(xí)到如何用“”說法做數(shù)列極限證明題的方法.例1 設(shè)有數(shù)列.證明：若有極限，則算術(shù)平均值的數(shù)列也有極限且.證 設(shè). 考慮任意給定正數(shù). 因?yàn)椋杂姓麛?shù)使. 于是，再取正整數(shù)足夠大，使當(dāng)時，右邊第一項(xiàng)也小于. 這樣，當(dāng)時，就會有，即證明了有極限請注意：有極限，不一

3、定有極限！考慮數(shù)列【應(yīng)用】作為例1的應(yīng)用，例如 ； .例2 若且有極限，則幾何平均值的數(shù)列也有極限且.證 根據(jù)極限單調(diào)性，必有. 首先設(shè)，為任意給定的正數(shù).先取正整數(shù)使，則 (你知道為什么嗎？見第0章題33)因此，必有正整數(shù)，使當(dāng)時，即【注】假若你知道“幾何平均值不超過算術(shù)平均值”的話, 根據(jù)例1的結(jié)論, 則有所以.其次，設(shè)，為任意給定的正數(shù)(不妨認(rèn)為).因?yàn)椋杂姓麛?shù)使從而有讓，則得 (你知道為什么嗎？見第0章題33)由于正數(shù)可以任意地小，故有，即【應(yīng)用】作為上述結(jié)論的應(yīng)用，若且有極限，則也有極限且這是因?yàn)檎埬愀鶕?jù)，求極限：(答案：)； (答案：). 例3 設(shè)有數(shù)列. 若，則必有單調(diào)增大

4、數(shù)列，使且； 若，則必有單調(diào)減小數(shù)列，使且.證 下面證明.你可用類似的方法證明.設(shè). 根據(jù)數(shù)列極限的定義，必有正整數(shù)使；同理，必有正整數(shù)使. 一般地，必有正整數(shù)使現(xiàn)在，當(dāng)時，?。划?dāng)時，??；一般地，當(dāng)時，取.顯然，數(shù)列是單調(diào)增大的且； 另一方面，由于所以有(見第0章題32)即.【注】這里是根據(jù)數(shù)列極限的定義, 構(gòu)造出了一個滿足題中要求的數(shù)列.在數(shù)學(xué)中, 稱這種證明方法為“構(gòu)造性證明”.例4 海因定理(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)(1)有極限的充分必要條件是：對于以為極限的任何數(shù)列，都有極限;(2)有極限的充分必要條件是：對于任何數(shù)列，都有極限.證 為簡單起見，下面證明結(jié)論(1).你可用類似的方法證

5、明結(jié)論(2).設(shè)為給定的任意正數(shù).若，則有正數(shù)，() 當(dāng)時，有又因?yàn)榍?，所以有正整?shù)，當(dāng)時，；根據(jù)結(jié)論()，即. 反之，設(shè)上面(1)中的條件滿足.(反證法)假若不是函數(shù)在點(diǎn)的極限，用“”的話說，就是：至少有一個正數(shù)，不論取正數(shù)多么小，總有對應(yīng)的點(diǎn)，使 ，但.于是，當(dāng)取正數(shù)時，就會有相對應(yīng)的點(diǎn)，使，但.這說明，雖然有，但不是數(shù)列的極限，這與假設(shè)矛盾.【注】海因定理就像是架在函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的一座“橋梁”，溝通了兩者之間的關(guān)系.因此，不僅可以把數(shù)列極限看作函數(shù)極限的特例，而且函數(shù)極限的某些結(jié)論，根據(jù)海因定理，可以用數(shù)列極限的相應(yīng)結(jié)論來證明.在有的微積分教科書中，先講數(shù)列極限的理論，然后根據(jù)海

6、因定理，把有關(guān)數(shù)列極限的結(jié)論轉(zhuǎn)移到函數(shù)極限上.回答問題 一個數(shù)列的前面有限個項(xiàng)(如，對該數(shù)列是否有極限或有極限時的極限值有影響嗎？ 正數(shù)數(shù)列的極限一定是正數(shù)嗎？若且有極限與，則有還是有？ 有界數(shù)列一定有極限嗎？無界數(shù)列一定沒有極限嗎？ 若數(shù)列和都沒有極限，那么數(shù)列與一定也沒有極限嗎？ 若數(shù)列有極限，而數(shù)列沒有極限，那么你對數(shù)列是否有極限，可以做出什么結(jié)論？ 若，則必有嗎？反之如何？答案：沒有；不一定，例如正數(shù)數(shù)列的極限是；有界數(shù)列不一定有極限，例如就沒有極限；無界數(shù)列一定沒有極限，因?yàn)橛袠O限的數(shù)列是有界數(shù)列；不一定，例如，則與都有極限；一定沒有極限.(反證法)若有極限，則也有極限，與數(shù)列沒有極

7、限矛盾.是，因?yàn)椋环粗怀闪?習(xí)題提示和選解1.下面的習(xí)題都出現(xiàn)在第章(看我做題)中，你不會做時，可去再看一下那里的做法. 證明： ； (其中)； ； ； .2.證明： ； ； .提示:用夾擠規(guī)則證.3.證明：若，則也有. 提示：參考例1的證明.4.設(shè)有. 證明：提示：設(shè)，則于是，5.設(shè)且.證明：若有極限，則也有極限提示：設(shè)，則. 于是，6.設(shè)且證明：若有極限，則也有極限 提示：用替換上一題中的.7.施篤茲(stolz)定理 若數(shù)列與滿足條件： , 且; 有極限;則也有極限，且.證 令，則且再令，則 （）根據(jù)假設(shè)條件，有極限，而根據(jù)上式()和題6，則有極限【注】作為施篤茲定理的應(yīng)用，則有(為正

8、整數(shù))8.設(shè)有數(shù)列.證明：若，則證 設(shè)為任意給定的正數(shù).因?yàn)?，所以有正整?shù)，使（）于是，當(dāng)時，因此，當(dāng)時，從而有再取正整數(shù)足夠大，使當(dāng)時，. 于是，當(dāng)時，即.9.若正項(xiàng)級數(shù)收斂，且通項(xiàng)單調(diào)減小，證明.證 因?yàn)槭諗浚杂嗪?(見下注)對于，由于通項(xiàng)單調(diào)減小，所以有，即 于是，當(dāng)時，任意給定正數(shù)，先取足夠大，使，再取正整數(shù)，則當(dāng)時，即【注】設(shè)級數(shù)，余和 則在求方程的近似解時，常常會得到疊代數(shù)列（逐次逼近數(shù)列）.當(dāng)它收斂時，它能夠逐步接近精確解.因此，就需要研究疊代數(shù)列的收斂性（不必求出數(shù)列的極限值），有時還可以進(jìn)一步求出疊代數(shù)列的極限值.例如，10.研究數(shù)列的收斂性.若收斂，試求極限. 設(shè)和為已

9、知實(shí)數(shù).令解 ，一般地， . 將以上這些等式依次相加，則得即. 因此， 設(shè). 提示:一方面，；另一方面，對于任何，即與具有相同的符號.因此，數(shù)列是單調(diào)增大或單調(diào)減小的有界數(shù)列. 答案：. 設(shè)實(shí)數(shù).提示:首先指出，假如有極限，在兩端取極限，則得二次方程解得. 因此，當(dāng)時，數(shù)列沒有極限.剩下來就是討論的情形.在這種情形下，且. 答案：.11.設(shè). 數(shù)列和由下式所確定：證明它們有公共極限 稱它為數(shù)和的算術(shù)-幾何平均數(shù)證 因?yàn)?，所以?又因?yàn)?，因此? 我們用相同的方法，可以證明一般的不等式根據(jù)單調(diào)有界原理，有極限 和 在兩端讓，則得. 因此，即我們就把這個公共極限值記成.【注】德國數(shù)學(xué)家高斯求出了這個極限值，即，其中（橢圓積分,見第6章）12.證明數(shù)列有極限.證 根據(jù)單調(diào)有界原理，只要證明它是單調(diào)減小有下界就行了.事實(shí)上， 即.其次，因?yàn)?，所以把這些同向不等式依次相加，則得不等式因此，13.證明：