第6章第5節(jié)數(shù)學(xué)歸納法

1、課時作業(yè)A 組 基礎(chǔ)對點練1(2017 德州模擬 )用數(shù)學(xué)歸納法證明“1 222 2n2 2n 3 1”，在驗證 n1 時，左邊計算所得的式子為 ()A 1B12C1222D122223解析：當 n1 時，左邊 1222 23.答案： D2(2017 常德模擬 )數(shù)列 an 中，已知 a11，當 n2 時， anan 1 2n1，依次計算 a2，a3，a4 后，猜想 an 的表達式是 ()A 3n2Bn2C 3n1D4n3解析：計算出 a11，a24，a3 9， a416.可猜想 ann2.答案： B3(2017 沈陽調(diào)研 )用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3 (n 1)3(n 2)3(nN* ) 能被

2、9 整除”，利用歸納法假設(shè)證明nk1 時，只需展開 ()A (k3)3B(k2)3C (k 1)3D(k 1)3(k 2)3解析：假設(shè) nk 時，原式 k3 3 2)3能被9整除，當1時，(k(k 1)(kn k 1)3(k 2)3 (k3)3 為了能用上面的歸納假設(shè)，只須將 (k3)3 展開，讓其出現(xiàn) k3 即可答案： A4(2017 太原質(zhì)檢 )平面內(nèi)有n 條直線，最多可將平面分成f(n)個區(qū)域，則f(n)的表達式為 ()A n1B2nn2n22C.2Dn n 1解析： 1 條直線將平面分成11 個區(qū)域； 2 條直線最多可將平面分成1(1 2) 4 個區(qū)域； 3 條直線最多可將平面分成1(

3、1 2 3)7 個區(qū)域；n 條直線1(123 n)1n n1n2n2最多可將平面分成22個區(qū)域答案： C5對于不等式2)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：nnn1(nN時，2111，不等式成立(1)當 n 11(2)假設(shè)當N 且 k1)時，不等式成立即k2kk1，則當 nk1n k(k時，k1 2 k 1 k2 3k2k23k 2 k2 k2 2 (k 1) 1，所以當 n k1 時，不等式成立，則上述證法()A過程全部正確Bn1 驗得不正確C歸納假設(shè)不正確D從 nk 到 n k 1 的推理不正確解析：在 nk 1 時，沒用 nk 時的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法從n k 到 nk 1 的推理不正確

4、答案： D6 已知 n 為 正偶 數(shù)， 用數(shù) 學(xué)歸 納法 證明1 111 1234n12 1 1 1 時，若已假設(shè) n k(k 2，且 k 為偶數(shù) )時命題為真， 則還n2 n42n需要用歸納假設(shè)再證 n_時等式成立解析： nk(k2，且 k 為偶數(shù) )的下一個偶數(shù)為 k2，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟可知，應(yīng)填 k 2.答案： k2n項和為n，且對任意的自然數(shù) n 都有：7(2015 淮北三校聯(lián)考 )設(shè)數(shù)列 a 的前 nS(Sn1)2 n n，通過計算1， 2， 3，猜想Sn_.a SS SS解析： 由 (S11)2211)2221)21得： 1 ；由 22123SS 2(S(SS )S得： S3；

5、由 (S3n (S3S2)S3 得： S3 .猜想 Sn.4n 1n答案： n18(2017 三亞模擬 )用數(shù)學(xué)歸納法證明123 n2n4 n2，則當 nk12時左端應(yīng)在 nk 的基礎(chǔ)上加上的項為 _解析：當 n k 時，左端為 123 k (k1) (k2) k2，則當 nk 1 時，左端為 123 k2(k2 1) (k22) (k 1)2，故增加 (k2 1)(k22) (k1)2.答案： (k2 1)(k22) (k1)29設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，且方程 x2 anx an0 有一根為 Sn1(nN* )(1)求 a1，a2；(2)猜想數(shù)列 Sn 的通項公式，并給出證明解

6、析： (1)當 n1 時，方程 x2 1 10有一根為11，a xaS 1 a 121(a11) a1(a1 1)a10，解得 a12.21當 n2 時，方程 x a2x a20 有一根為S21a1a21a22，a212 2a2 1 2 ，解得212a2a 0a6.(2)證明：由題意知 (Sn 1)2 an(Sn 1)an0，當 n2 時， anSnSn1，代入上式整理得SnSn12Sn10，解得 Sn1.2Sn1由 (1)得 S1a112，112S2 a1a2 2 63.猜想 Snn(nN* )n1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論當 n1 時，結(jié)論成立假設(shè) n k(kN* ， k1)時結(jié)論成立，

7、即 Skk，k1當 nk 1 時， Sk111k1k.2Sk2k2k1即當 nk1 時結(jié)論成立由知 Snn對任意的正整數(shù) n 都成立n1111131*10已知 f(n)1233343 n3，g(n)22n2， n N.(1)當 n1,2,3 時，試比較 f(n)與 g(n)的大小關(guān)系；(2)猜想 f(n)與 g(n)的大小關(guān)系，并給出證明解析： (1)當 n1 時， f(1)1，g(1) 1，所以 f(1) g(1)；911當 n2 時， f(2)8， g(2)8 ，所以 f(2)g(2)；251312當 n3 時， f(3) 216，g(3) 216，所以 f(3)g(3)(2)證明：由 (

8、1)猜想 f(n) g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明當 n1,2,3 時，不等式顯然成立假設(shè)當 nk(k 3， kN* )時不等式成立111131即 1233343 k322k2，那么，當 nk 1 時，f(k1)f(k)1311k1322k2k1 3，111因為2 2k2k 1 32 k1k313k 1 2 k 1 32k22 k1 3k20，312g(k1)所以 f(k1)22 k1由可知，對一切nN* ，都有 f(n) g(n)成立B 組能力提速練2*)1數(shù)列 xn 滿足 x10，xn 1 xnxn c(n N(1)證明： xn 是遞減數(shù)列的充分必要條件是c0；1(2)若 0c4，證明

9、數(shù)列 xn 是遞增數(shù)列證明： (1)充分性：若 c0，由于 xn1 x2n xncxncxn，數(shù)列 xn 是遞減數(shù)列必要性：若 xn 是遞減數(shù)列，則x2x1，且 x10.2又 x2 x1x1cc，c 0.故 xn 是遞減數(shù)列的充分必要條件是c0.1(2)若 0c4，要證 xn 是遞增數(shù)列2即 xn1 xn xn c0，即證 xnc對任意 n1 成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當 0c 4時， xnc對任意 n1 成立1當 n1 時， x1 0c2，結(jié)論成立假設(shè)當 nk(k 1， kN* )時結(jié)論成立，即xkc.1因為函數(shù) f(x) x2 x c 在區(qū)間 ，2內(nèi)單調(diào)遞增，所以 xk1f(xk)f(

10、c) c，k1當n k 1 時， x c成立由知， xn c對任意 n1，nN* 成立2因此， xn1xn xn cxn，即 xn 是遞增數(shù)列nnnN*，點 (n，2(2017 濰坊模擬 )等比數(shù)列 a 的前 n 項和為 S .已知對任意的nx r(b 0，且 b1，b，r 均為常數(shù) )的圖象上S )均在函數(shù) yb(1)求 r 的值；(2)當 b2 時，記 bn2(log2an 1)(nN* )b1 121n 1證明：對任意的 n N*bb n1成立，不等式b1 b2 bn解析：(1)由題意， Snbnr，當 n2 時， Sn1bn1r，所以 an SnSn1 bn1(b 1)，由于 b0，且 b 1，所以 n2 時，an 是以 b 為公比的等比數(shù)列， 又 a1 b r，a2 b(b 1)，a2 b，即b b1b，解得 r 1.ab r1(2)證明：由 (1)知 an2n1，因此 bn2n(nN* )，所證不等式為21 412n12 4 2nn1.3當 n1 時，左式 2，右式2，左式右式，所以結(jié)論成立假設(shè) n k 時結(jié)論成立，即21 412k1k1，2 4 2k 則當 nk1 時，21 41