2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：最值模型之胡不歸模型解讀與提分訓(xùn)練（全國版）

專題33最值模型之胡不歸模型

胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬

考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，

方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點到線的距離垂線段最短。

例題講模型］

模型1.胡不歸模型（最值模型）

模型解讀

從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖

然從他此刻位置A到家8之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙

子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”

看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的

一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.

模型證明

一動點尸在直線"N外的運(yùn)動速度為％,在直線MN上運(yùn)動的速度為匕，且匕〈匕，4、5為定點,

點C在直線MN上，確定點C的位置使好++的值最小.（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）。

ACBC—1BC+^AC，記左=V工,，即求BC+fc4c的最小直

1)---+---

匕匕K

2）構(gòu)造射線AD使得sinNZMN=Z,瓷=k,C〃=fc4C,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.

3）過8點作BHLAD交MN于點C,交AD于H點,此時2C+C8取到最小值，即BC+姑C最小.

【解題關(guān)鍵】在求形如“必+女尸中的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與小2相等的線段，將“B4+d2”型問題

轉(zhuǎn)化為“E4+P。'型.（若Q1,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。

【最值原理】垂線段最短。

模型運(yùn)用

例1.（24-25九年級上?安徽合肥?階段練習(xí)）如圖，在VABC中，ZA=15°,Afi=10,P為AC邊上的一個

動點（不與A、。重合），連接8尸，則交AP+P5的最小值是（）

2

A.5^2B.5^3C.—D.8

例2.（23-24九年級上?湖南婁底?階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,E,尸分別是邊AD和對角線AC

4

上的動點，連接砂，記NBAC=a,若tana="則尸￡+PCcos。的最小值為（）

A.3B.4C.5D.2.4

例3.（2024?陜西渭南?二模）如圖，在菱形ABCD中，對角線4C、9相交于點。，AC=8,BD=6,P是

3

對角線AC上的動點，則BP+gA尸的最小值為.

例4.（2023?云南昆明?統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD邊長為4,點E是8邊上一點，且NABE=75。.P

是對角線8。上一動點，則+尸的最小值為（）

A.4B.4拒C.忘了D.72+76

例5.（23-24九年級上?江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，A3是。。的直徑，CE切。。于點C交的延長線于點

E.設(shè)點。是弦AC上任意一點（不含端點），若NCE4=3O。，BE=4,則CD+2O￡＞的最小值為（）

C

A.2班B.6C.4D.4右

例7.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=-gx+2與x軸，y軸分別交于A,8兩點，點。是線

段A8上一動點，點H是直線y=-gx+2上的一動點，動點￡（僅0）,F（m+3,0）,連接3E,DF,HD.當(dāng)

3E+D尸取最小值時，39+5DH的最小值是.

例8.（2024?山東濟(jì)南?一模）實踐與探究

【問題情境】（1）①如圖1，RtAABC,?B90?,ZA=60°,D,E分別為邊AB,AC上的點，DE//BC,

An

^.BC=2DE,則二一=______;②如圖2,將①中的VADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30。，則￡>E,3c所在直線較

AB

小夾角的度數(shù)為.

【探究實踐】（2）如圖3,矩形ABCD,AB=2,AD=2^3,E為邊AD上的動點，/為邊BC上的動點，BF=2AE,

連接E廠，作BHLEF于H點、,連接CH.當(dāng)CH的長度最小時，求8〃的長.

【拓展應(yīng)用】（3）如圖4,RtAABC,ZACB=90°,ZCAB=60°,AC=石，。為A3中點，連接8,E,F

分別為線段3DCD上的動點，且DF=2BE,請直接寫出AP+士叵EF的最小值.

3

圖1圖2圖3圖4

例9.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí))如圖，二次函數(shù)>=行，-6后+5g的圖象交x軸于4、8兩

點，交y軸于點C,連接BC.(1)直接寫出點2、C的坐標(biāo)，B；C.

(2)點尸是y軸右側(cè)拋物線上的一點，連接尸8、PC.若APBC的面積156，求點P的坐標(biāo).

(3)設(shè)E為線段2C上任意一點(不含端點)，連接AE,一動點M從點A出發(fā)，沿線段AE以每秒1個單位

速度運(yùn)動到E點，再沿線段EC以每秒2個單位的速度運(yùn)動到C后停止，求點M運(yùn)動時間的最小值.

習(xí)題練模型

1.(2024.山東淄博.?？家荒?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是(。，2),點C的坐標(biāo)是(0,-2),點

8(x,0)是x軸上的動點，點8在無軸上移動時，始終保持AABP是等邊三角形(點P不在第二象限)，連接PC,

A.4石B.4C.2A/3D.2

2.(2024?四川德陽?二模)如圖，已知拋物線y=a%2+fcr+c與無軸交于A(l,0),C(-3,0)兩點,與y軸交于點

M3).若「為y軸上一個動點，連接則爭P+”的最小值為()

3.(2024?山東?？家荒?如圖，AB=AC,,C(1,0),。為射線A。上一點，一動點尸從A出

發(fā),運(yùn)動路徑為A-D-C,在上的速度為4個單位/秒，在C。上的速度為1個單位/秒，則整個運(yùn)動時

4.（2023?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題）如圖，。。是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4.過點8作

于點E,點P為線段BE上一動點（點P不與&E重合），則"+的最小值為

5.（2023?遼寧錦州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,ZABC=3Q°,AC=4,按下列步

驟作圖：①在AC和上分別截取AT＞、AE,使AD=AE.②分別以點。和點E為圓心，以大于的

長為半徑作弧，兩弧在/5AC內(nèi)交于點③作射線A"交BC于點?若點尸是線段AF上的一個動點,

6.（2022?湖北武漢?九年級期末）如圖，團(tuán)ABCD中NA=60。，AB=6,AD=2,尸為邊CO上一點，則

也PD+2PB的最小值為

7.（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考二模）已知AABC中，BC=6cm,ZA=60°,則43+1二LAC的最大值為

2

6cm

BC

8.（2023?陜西西安??？级＃┤鐖D，在RhABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AB=8,。、/分別是邊AB、

上的動點，連接CD,過點A作AE±CD交BC于點E,垂足為G,連接GF,則GF+^-FB的最小值為

2

A

9.（2023上?四川成都?九年級校考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,點E,尸分別在邊ADBC

上，且AE=3,沿直線所翻折，點A的對應(yīng)點大恰好落在對角線AC上，點B的對應(yīng)點為"，點M為線

10.（2023?浙江寧波?九年級開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=*x-正分別交x軸、y

軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為.

11.（2023?四川成都?九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=2,E是AC上一個動點，連接。瓦，

過點C作AC的垂線/,過點。作/）廣，四交/于點F過點。作DGLEF于點G,tanNEDG=0,點打

是AD中點，連接HE,則HE+qEC的最小值為.

H

AD

12.（2023春?廣東廣州?九年級校考階段練習(xí)）如圖，菱形ABCO的邊長為5,對角線的長為4君，尸為

上一動點，則的最小值等于.

13.（2023?廣東珠海??？既＃┤鐖D，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,點O是斜邊AB上

的動點，則CO+走AD的最小值為.

2

14.（2024?湖北黃岡?模擬預(yù)測）如圖，在中，ABAC=90°,AB=2,AC=4后，點。是3c邊上的

動點，連接4。，則3AD+OC的最小值為.

15.（2024?天津紅橋?二模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，等腰直角三角形ABC的頂點A在

格點上，ZCAB=90°,以A3為直徑的半圓與邊5c的交點。在網(wǎng)格線上.

CD

（1）胃的值等于.；（2）若P為邊AC上的動點，當(dāng).PC+2PB取得最小值時，請用無刻度

DB

的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點P,并簡要說明點尸的位置是如何找到的（不要求證明）.

16.（23-24八年級下.四川綿陽.階段練習(xí)）如圖，直線y=gx-2分別交x軸，V軸于點A,點8,點C在V

軸正半軸上，且OC=O4,點。（-2,m）在直線AC上，點尸是x軸上的一個動點，設(shè)點尸橫坐標(biāo)為九

（1）求直線AC的函數(shù)解析式；（2）連接尸C,PD,若△（?￡）「面積等于VABC面積的;，求f的值；

⑶求上AP+2尸的最小值.

2

17.（2024?四川德陽?中考真題）如圖，拋物線y=/-尤+c與尤軸交于點A（-l,0）和點8,與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)0<x42時，求y=/-x+c的函數(shù)值的取值范圍；（3）將拋物線的頂點向下平移

1個單位長度得到點〃，點P為拋物線的對稱軸上一動點，求PA+好PM的最小值.

45

18.（2023?山東濟(jì)南?統(tǒng)考二模）如圖①，在矩形。48c中，OA=4,OC=3,分別以O(shè)C、。4所在的直線為x

k

軸、y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，連接。3,反比例函數(shù)y=—。＞0）的圖象經(jīng)過線段。2的中點。，并與矩

x

形的兩邊交于點E和點/，直線/：廣質(zhì)+b經(jīng)過點￡和點尺

（1）寫出中點。的坐標(biāo),并求出反比例函數(shù)的解析式；（2）連接OE、OF,求AOEF的面積；

（3）如圖②，將線段繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，使得點B的對應(yīng)點a恰好落在x軸的正半軸上，連

19.（2023?吉林長春?統(tǒng)考一模）（1）【問題原型】如圖①，在AABC,AB=AC=5,BC=6,求點C到A3

的距離.

（2）【問題延伸】如圖②，在URC,AB=AC=10,BC=12.若點M在邊BC上，點尸在線段40上，

連結(jié)CP,過點尸作尸于。，則CP+PQ的最小值為.

（3）【問題拓展】如圖（3）,在矩形ABCD中，AB=2百.點E在邊上，點M在邊上，點尸在線段

CM上，連結(jié)若N3CM=30。，則CF+2EF的最小值為.

圖①圖②圖③

專題33最值模型之胡不歸模型

胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬

考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，

方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點到線的距離垂線段最短。

例題講模型］

模型1.胡不歸模型（最值模型）

模型解讀

從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖

然從他此刻位置A到家8之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙

子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”

看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的

一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.

模型證明

一動點尸在直線"N外的運(yùn)動速度為％,在直線MN上運(yùn)動的速度為匕，且匕〈匕，4、5為定點,

點C在直線MN上，確定點C的位置使好++的值最小.（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）。

ACBC—1BC+^AC，記左=V工,，即求BC+fc4c的最小直

1)---+---

匕匕K

2）構(gòu)造射線AD使得sinNZMN=Z,瓷=k,C〃=fc4C,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.

3）過8點作BHLAD交MN于點C,交AD于H點,此時2C+C8取到最小值，即BC+姑C最小.

【解題關(guān)鍵】在求形如“必+女尸中的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與小2相等的線段，將“B4+d2”型問題

轉(zhuǎn)化為“E4+P。'型.（若Q1,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。

【最值原理】垂線段最短。

模型運(yùn)用

例1.（24-25九年級上?安徽合肥?階段練習(xí)）如圖，在VABC中，ZA=15°,Afi=10,P為AC邊上的一個

動點（不與A、C重合），連接則比AP+PB的最小值是（）

2

【分析】以AP為斜邊在AC下方作等腰直角A4DP，過2作BE，AD于E,通過解直角三角形可得BE的長,

再根據(jù)。尸=A尸?sin45°=變AP,A,P+PB=DP+PB>BE,據(jù)此即可解答.

22

【詳解】解：如圖，以AP為斜邊在AC下方作等腰直角ZW）?,過B作5E_LAT）于E,連接80

B

???NPAD=45°,ZBAC=15°,/.ABAD=60°,BE=ABsin60o=5^3

?.-DP=APsin450=—AP,:.—AP+PB=DP+PB>BE,.?.走AP+P8的最小值為5石.故選：B.

222

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，點到直線的距離，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

例2.（23-24九年級上.湖南婁底.階段練習(xí)）如圖，在矩形ABC。中，AB=3,尸分別是邊AD和對角線AC

4

上的動點，連接EP,記NH4C=a,若tana=§,則丑石+PCcosa的最小值為（）

A.3B.4C.5D.2.4

【答案】A

【分析】本題考查了三角函數(shù)的定義，矩形的判定和性質(zhì).過點尸作于點〃，交AD于點G,求得

PCcosa=PH,根據(jù)垂線段最短，知當(dāng)點石與點G重合時，尸E+PCcosa有最小值，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：過點「作3c于點”，交AD于點G,

D

C

四邊形ABCD是矩形，??.NB=/BAG=90°,四邊形ABHG是矩形，:、PH〃NB、：.Z.HPC=ZBAC=a,

4BC4/--------------

VAB=3,tan<z=-,—=-,BC=4,AC=飛AB?+BC?=5，

3AB3

A53

cosa==—=cosZ.HPC,PCcosa=PH,

AC5

當(dāng)點E與點G重合時，尸E+PC-cosa有最小值，最小值為G8的長，

VGH=AB=3,；.PE+PC-costz的最小值為3,故選：A.

例3.（2024?陜西渭南?二模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、8。相交于點。，AC=8,BD=6,P是

3

對角線AC上的動點，貝I8尸+《A尸的最小值為.

BC

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，過點P作連接BE,由菱形的

性質(zhì)可得。4=《AC=4,0D;BD=3,AC±BD,則由勾股定理可得45=5,解直角三角形得到

22

333

sinZOAD--,則尸E=A尸6也/叢石:^人尸，進(jìn)而得到當(dāng)8、P、E三點共線，且3ELAD時，BP+-AP^.

小，最小值為BE的長，據(jù)此利用等面積法求出BE的長即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過點P作PE2AD,連接BE,

;在菱形ABCD中，對角線AC、加）相交于點。，AC=8,BD=6,P

OA」AC=4,OD=LBD=3,AC±BD,：.AD^^O^C+OD1=5>sinZOAD=—

22AD5

33

???在Rt^APE中，PE=AP-sinZPAE=~，ABP+-AP=BP+PE,

3

.?.當(dāng)8、P、E三點共線，且時，BP+gAP最小，最小值為BE的長，

1124

???此時有立［力形=A。?5E=—ACB。，5BE=—x6x8,BE=—,

M225

.?.成+3豹尸的最小值為2三4，故答案為：y24

例4.（2023?云南昆明?統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD邊長為4,點E是CO邊上一點，且NABE=75。.P

是對角線8。上一動點，則4尸+38尸的最小值為（）

A.4B.4&C.D.72+76

【答案】D

【分析】連接AC,作尸GLBE,證明當(dāng)+尸取最小值時，A,P,G三點共線，且AGL8E,此時最

小值為AG,再利用勾股定理，30。所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出結(jié)果.

【詳解】解：連接AC,作PGL3E

：ABCD是正方形且邊長為4,/.ZABO=45°,AC1BD,49=20，

VZABE=15°,；.NP3G=30°,PG=-BP,

2

.?.當(dāng)AP+g^P取最小值時，A,P,G三點共線，且AG,座，此時最小值為AG,

VZABE=15°,AGLBE,：.ZBAG=15°,VZBAO=45°,：.ZPAO=30°,

設(shè)OP=b,貝IJAP=26,/.Z?2+（2A/2）2=（2Z?）2,解得：6=半，

設(shè)PG=a,則3P=2。，?:BO=2五,，2。+6=2應(yīng)，解得：。=&一左

/.AG=AP+PG=2b+a=y/2+y[6,故選：D

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，動點問題，勾股定理，30。所對的直角邊等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是

證明當(dāng)AP+g^P取最小值時，A,P,G三點共線，且AGLBE,此時最小值為AG.

例5.（23-24九年級上?江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，A3是。。的直徑，CE切。。于點C交AB的延長線于點

E.設(shè)點。是弦AC上任意一點（不含端點），若NCEA=30。，BE=4,則CD+2C?的最小值為（）

C

D

A.2A/3B.6C.4D.4A/3

【答案】D

【分析】作OF平分/AOC,交。。于尸，連接AF、CF、DF,過點。作DH_LOC于H,根據(jù)切線的性

質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得NCOE=60。，求得NAOC=120。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得

ZA(9F=ZC(9F=60o,根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得OE=2OC,求得0c=4,根據(jù)等邊三角形

的判定和性質(zhì)可得AF=AO=OC=FC,根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)可得AC平分ZFAO,根據(jù)角平分線的性質(zhì)

和全等三角形的判定和性質(zhì)可得DF=D0,根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求得Z.OCA=Z.OAC=30°,

根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)可求得CD=2DH,推得CD+2OD=2(DH+FD),根據(jù)垂線段最短可得，當(dāng)下、

D、H三點共線時，W/+FD的值最小，即用_LAC時，CD+2OD的值最小，根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)

可求得9=26,即可求解.

【詳解】解：作/AOC的角平分線。/，交。。于b，連接AF、CF、DF,過點。作DH_LOC于H,如

圖：

：OC_LCE,NOCE=90。，又：ZCE4=30°,AZCOE=180°-90°-30°=60°,ZAOC=180°-60°=120°,

OF平分ZAOC,則ZAOF=ZCOF=-ZAOC=-xl20°=60°,

22

VZCEO=30°,ZOCE=90°,：.OC=^OE,即OE=2OC,

XVOE=OB+BE=OC+BE,BE=4,：.2OC=OC+4,：.OC=4,即圓的半徑為4,

VOA=OF=OC,ZAOF=ZCOF=60°,：.^AOF,ACO尸是等邊三角形，

Z.AF=AO=OC=FC,四邊形AOC尸是菱形，AC平分/E4O,AZFAC=ZOAC,

又?；AF=AO,AD=AD,△■EW絲△OAO(SAS),/.DF=DO,

180°-ZAOC180°-120°

VOA^OC,：.ZOCA=ZOAC==30°,

22

OH=OC.sinN￡>CH=OC.sin30o=，C,即CD=2?！保?/p>

2

CD+2OD=2DH+2OD=2（DH+OD）=2（DH+FD）.若使CD+2OD的值最小，即DA/+Q的值最小,

當(dāng)尸、D、H三點共線時，DH+FD=FH,此時DH+FD的值最小，即破_LAC時，CD+2OD的值最小，

此時，F(xiàn)H=OF-sinZFOH=OF-sin60°=^-OF=2^3,CD+2OD=2（DH+FD）=2FH=4』,故選：D.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，等

邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角，特殊角的銳角三角

函數(shù)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是明確當(dāng)下、D、H三點共線時，DH+FD的值最小，即CD+2OD的值

最小.

例7.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=-gx+2與左軸，y軸分別交于48兩點，點。是線

4

段A2上一動點，點X是直線＞=-耳光+2上的一動點，動點￡（僅0）,F（m+3,0）,連接BE,DF,HD.當(dāng)

3E+D戶取最小值時，3BH+5DH的最小值是.

【分析】作出點C（3,-2）,作于點。，交x軸于點凡此時出T+D產(chǎn)的最小值為C。的長，利用解

直角三角形求得利用待定系數(shù)法求得直線8的解析式，聯(lián)立即可求得點。的坐標(biāo)，過點。作

軸于點G,此時33"+5?！ǖ淖钚≈凳?DG的長，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：：直線丁=x+2與x軸，y軸分別交于A,2兩點，.?.3（0,2）,A（6,0）,

作點B關(guān)于x軸的對稱點B'（O,-2），把點？向右平移3個單位得到C（3,-2）,

作CDLAB于點。，交無軸于點E過點8'作？石〃8交無軸于點E,則四邊形EFC3'是平行四邊形,

此時，BE=B'E=CF,8￡+￡＞尸=。b+￡）尸=?！辏居凶钚≈?，作CP_Lx軸于點P,

貝|JCP=2,OP=3,VZCFP=ZAFD,：.ZFCP=ZFADf：.tanZFCP=tanZ/71Z),

即竺2

,PFQ,=2，:.PF、,則尸pOL設(shè)直線。。的解析式為>="+%

PCOA26

3k+b=-2

k=3

則工+63解得b=_U，..?直線。的解析式為y=311,

13

39

y=3x-llx=——

1；,即。397

聯(lián)立，解得;過點。作。軸于點G,

y=--x+2而'歷

-3y=—

10

3

直線y=_gx+2與X軸的交點為則%=“°2+0笈="sinZOB2=-^=|=|,

3）2BQ￡5

2

HG=BHsinZGBH=3BH+5DH=51^|=5（HG+DH）=5DG,

3939an

即3BH+5D〃的最小值是5DG=5x7K=?，故答案為：

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形，利用軸對稱求最短距離，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所

學(xué)知識解決問題.

例8.（2024.山東濟(jì)南.一模）實踐與探究

【問題情境】（1）①如圖1，RtAABC,?B90?,ZA=60°,D,E分別為邊AB,AC上的點，DE//BC,

AF）

且8c=2￡>E,則二一=______；②如圖2,將①中的VADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30。，則DE,3c所在直線較

AB

小夾角的度數(shù)為.

【探究實踐】（2）如圖3,矩形ABCD,AB=2,4）=2百，E為邊AD上的動點，歹為邊8c上的動點，BF=2AE,

連接E尸，作BHLEF于H點,連接CH.當(dāng)CH的長度最小時，求3”的長.

【拓展應(yīng)用】（3）如圖4,RtAABC,ZACB=90°,ZCAB=60°,AC=5。為A3中點，連接CO,E,F

分別為線段3DCD上的動點，SLDF=2.BE,請直接寫出AF+友的最小值.

3

圖1圖2圖3圖4

【答案】(1)①;；②30。；(2)2；(3)713

【分析】(1)①由OE〃得出AADE^AABC,再由相似三角形的性質(zhì)即可得解；②延長DE交BC于F,

令A(yù)B交DE于G,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理計算即可得出答案；

(2)延長3AFE,相交于點G,連接AH,AC.由矩形的性質(zhì)可得AE〃跳',BC=AD=2^3,證明

AGAESQBF,由相似三角形的性質(zhì)得出點A為GB中點，由直角三角形的性質(zhì)得出AH=：=AB=2,當(dāng)

AH,C,三點共線時CH取得最小值，證明出△AB"為等邊三角形，即可得解；

(3)分別過點。和8作垂線，兩線相交于點尸，連接尸E、PF、PA,則NCDP=NP3E=90。，證明

△PBESAPDF,得出NPEB=NPFD,再證明出尸、E、D、/四點共圓，得出NPEE=NPD5=30。，

ZPEF=ZPDF=90°,解直角三角形得出/=即可得出A尸+在防=4/+尸尸24尸，最后由

33

勾股定理計算即可得出答案.

【詳解】解：(1)①???OE〃3C,??.△ADES/VIBC,.?.當(dāng)=段=黑=1,故答案為：

ABBC2DE22

由①可得/D=NABC=90。，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ZDAB=30°,

ZAGD=90°-ZDAG=60°,:.ABGF=ZAGD=6Q°,ZBFG=90°-ZBGF=30°,

DE,3c所在直線較小夾角的度數(shù)為30。，故答案為：30°；

(2)延長3AFE,相交于點G,連接AH,AC.

,??四邊形ABCD是矩形，，4￡〃3尸，BC=AD=2^,：.ZGAE=ZGBF,

GAAEAE1

,:ZG=NG,；.AGAESAGBF,：.—=—=——=-,二點A為G5中點，:.BG=2AB=4,

GBBF2AE2

；BH_LEF于點、H,...在RtAB"G中，AH=-=AB=2,

2

?.?在AAHC中，CH>AC-AH,且AC,A”為定值，，當(dāng)AH,C,三點共線時CH取得最小值，

VtanZCAB=—=y/3,：.ZCAB=60°,此時AABH為等邊三角形，.?.3H=AB=2.

AB

(3)如圖，分別過點。和B作垂線，兩線相交于點P,連接PE、PF、PA,則/CDP=/PBE=90。,

C

圖4

???RtAABC,ZACB=90°,ZCAB=60°,AC=5。為AB中點,

CD=AD=BD=-AB,ZABC=90°-ZG4B=30°,AB=2AC=243,

2

.?.AACZ)為等邊三角形，，ZAr)C=60。，BD=AD=AC=5

i2

NPDB=1800-ZADC-NCDP=30。，：.PB=^PD,PB?+BD2=DP?，；.PB。+(超)-=(2PB?,PB=1,

-：DF=2BE,"PBESAPDF,:.ZPEB=ZPFD,:.NPED+NPFD=180。,:.P,E、D、尸四點共圓，

:.NPFE=NPDB=30°,ZPEF=ZPDF=90°,在Rt△尸瓦中，cosZPFE=cos30°=—=—,

PF2

2J32J3

:.PF=^—EF,AF+—!—EF=AF+PF>AP,

33

222

在RtAAPB中，AP=yjAB+PB=#⑹+F=J13,AF+^EF的最小值為岳.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、圓的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定

與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運(yùn)用，添加

適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵.

例9.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí))如圖，二次函數(shù)>=6/一6抬％+56的圖象交x軸于A、8兩

點，交y軸于點C,連接8c.(1)直接寫出點8、C的坐標(biāo)，B；C.

(2)點尸是y軸右側(cè)拋物線上的一點，連接尸8、PC.若△PBC的面積15百，求點P的坐標(biāo).

(3)設(shè)E為線段BC上任意一點(不含端點)，連接AE,一動點M從點A出發(fā)，沿線段AE以每秒1個單位

速度運(yùn)動到E點，再沿線段EC以每秒2個單位的速度運(yùn)動到C后停止，求點M運(yùn)動時間的最小值.

【答案】⑴（5,0）,（。,5碼（2）（2,-3⑹或（3T⑹或（6,5西⑶點M的運(yùn)動時間的最小值為7秒

【分析】（1）根據(jù)拋物線計算即可；（2）利用同底等高的三角形面積相等構(gòu)造與BC平行直線，找到與拋物

線的交點尸；（3）如圖，在無軸上取一點G,連接CG,使得N3CG=30。，作ENLCG于N.作AN」CG

FC1

于N'交BC于E'.由點M的運(yùn)動時間f=AE+k，EN=-EC,推出點/的運(yùn)動時間/=AE+EN,根據(jù)

22

垂線段最短可知，當(dāng)A,E,N關(guān)系，點N與N'重合，點E與￡重合時，點M的運(yùn)動時間最少.由此即可

解決問題；

【詳解】（1）解：當(dāng)x=0時，S

當(dāng)＞=0時，也-6瓜+56=0,解得：占=1,%=5,故答案為：（5,0）,（0,5石）；

（2）解：設(shè)x軸上點。，使得△D3C的面積156,.?.；應(yīng)＞。。=156,解得：%）=6,

???C（O,5A/3）,3（5,0）,則可求直線3C解析式為：＞=-氐+5有，故點。坐標(biāo)為（—1,0）或（11,0）,

當(dāng)。坐標(biāo)為（-1,0）時，過點。平行于BC的直線/與拋物線交點為滿足條件的P,

則可求得直線/的解析式為：y=-島-6,

求直線/與拋物線交點得：瓜2-6后+5若=一屈一百，解得：±=2,々=3,

則尸點坐標(biāo)為（2,-36）或（3,-4君），同理當(dāng)點D坐標(biāo)為（11,0）時，直線/的解析式為『-后+llg,

求直線/與拋物線交點得：V3x2-6A/3X+5A/3=~^3x+1173,解得：玉=-1（舍棄），％=6,

則點尸坐標(biāo)為（6,54）,綜上滿足條件P點坐標(biāo)為：（2,-3向或（3—6）或（6,5間；

(3)解：如圖，在x軸上取一點G,連接CG,使得NBCG=30。，作ENLCG于N.作4V」CG于V交

BC于E'.

tanZBCO=—=—,.*.ZBCO=30°,.\ZGCO=60°,

OC3

/.OG=6OC=15，，直線CG的角星析式為x+573,

3

pr1

■.?點M的運(yùn)動時間f=AE+—丁，EN=-EC,.,.點/的運(yùn)動時間/=AE+￡7V,

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)4E,N關(guān)系，點N與N'重合，點￡與9重合時，點M的運(yùn)動時間最少.

由題意A(l,0),，AG=14,，AN'=gAG=7,.?.點M的運(yùn)動時間的最小值為7秒，此時E(3,2百).

【點睛】本題為代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)圖象性質(zhì)、一次函數(shù)圖象性質(zhì)及圓的有關(guān)性質(zhì)是解答本

題的關(guān)鍵.

習(xí)題練模型

1.（2024.山東淄博.?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是（。，2）,點C的坐標(biāo)是（0,-2）,點

8（x,0）是x軸上的動點，點8在無軸上移動時，始終保持AABP是等邊三角形（點P不在第二象限），連接PC,

求得AP+gpC的最小值為（）

A.4A/3B.4C.2也D.2

【答案】C

【分析】如圖1所示，以O(shè)A為邊，向右作等邊AAO。，連接尸。，過點。作OELOA于E,先求出點。的

坐標(biāo)，然后證明"AO四人物。得到NPZM=NB04=9O。，則點P在經(jīng)過點。且與垂直的直線上運(yùn)動，

當(dāng)點P運(yùn)動到y(tǒng)軸時，如圖2所示，證明此時點尸的坐標(biāo)為（0,-2）從而求出直線P。的解析式；如圖3

所示，作點A關(guān)于直線尸。的對稱點G,連接尸G,過點尸作PPLy軸于尸，設(shè)直線PD與x軸的交點為X,

先求出點〃的坐標(biāo)，然后證明/8CO=30。，從而得到AP+gpC=GP+尸產(chǎn)，則當(dāng)G、P、B三點共線時，

GP+PF有最小值，即AP+[PC有最小值，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出點G在x軸上，則OG即為所求.

【詳解】解：如圖1所示，以。4為邊，向右作等邊AA。。，連接PD,過點D作于E,

?.,點A的坐標(biāo)為（0,2）,：.OA=OD=1,：.OE=AE=1,:.DE=<OD-OE，=邪,...點。的坐標(biāo)為（￡1）；

?.,△A2P是等邊三角形，AA。。是等邊三角形，：.AB=AP,ZBAP=60°,AO=AD,ZOAD=60°,

ZBAP+ZR\O=ZDAO+ZPAO,即NBAO=/B4。，ABAO^AB4D(SAS),AZPDA=ZBOA=90°,

：.點P在經(jīng)過點。且與AD垂直的直線上運(yùn)動，

當(dāng)點P運(yùn)動到y(tǒng)軸時，如圖2所示，此時點P與點C重合,

?.?△A3P是等邊三角形，BOLAP,.?.AOPOZ,.?.此時點P的坐標(biāo)為(0,-2),

6k+b=l.\k=6

設(shè)直線PD的解析式為y=kx+b直線PD的解析式為y=瓜-2；

b=-2[b=-2

如圖3所示，作點A關(guān)于直線PD的對稱點G,連接PG,過點尸作PFLy軸于F,連接CG,設(shè)直線PD與

x軸的交點為“，，點H的坐標(biāo)為［竽，。］,.,211/05=察=￥，.?./OCH=30。，=

由軸對稱的性質(zhì)可知AP=GP,：.AP+^PC=GP+PF,

...當(dāng)G、P、尸三點共線時，GP+尸尸有最小值，即AP+^PC有最小值，

2

：A、G兩點關(guān)于直線尸。對稱，且/AOC=90。，.?.AQ=GQ,即點。為AG的中點，

?.,點A的坐標(biāo)為(0,2),點。的坐標(biāo)為(6,1),

-：AC=4,ZCAG=60°,；.ZkACG是等邊三角形，VOC=OA,：.OG±AC,即點G在無