第82煉求二項(xiàng)式的展開(kāi)項(xiàng)

1、第 82 煉 求二項(xiàng)式展開(kāi)后的某項(xiàng)一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、二項(xiàng)式a bnNn展開(kāi)式nCn0anCn1an 1bCn2an2b2C nr an r brCnn bna b，從恒等式中我們可以發(fā)現(xiàn)這樣幾個(gè)特點(diǎn)（1） ann 1b 完全展開(kāi)后的項(xiàng)數(shù)為（2）展開(kāi)式按照 a 的指數(shù)進(jìn)行降冪排列，對(duì)于展開(kāi)式中的每一項(xiàng)，a,b 的指數(shù)呈此消彼長(zhǎng)的特點(diǎn)。指數(shù)和為n（3）在二項(xiàng)式展開(kāi)式中由于按a 的指數(shù)進(jìn)行降冪排列，所以規(guī)定“+ ”左邊的項(xiàng)視為 a ，右邊的項(xiàng)為 b ，比如：nnx 的指數(shù)x 1 與 1 x 雖然恒等，但是展開(kāi)式卻不同，前者按1的指數(shù)降冪排列。如果是nabn降冪排列，后者按a b ，則視為進(jìn)行展開(kāi)（4

2、）二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tr 1Cnr an r br（注意是第 r1項(xiàng)）2、二項(xiàng)式系數(shù)：項(xiàng)前面的Cn0 , Cn1 ,Cnn 稱為二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n二項(xiàng)式系數(shù)的來(lái)源：多項(xiàng)式乘法的理論基礎(chǔ)是乘法的運(yùn)算律（分配律，交換律，結(jié)合律），所以在展開(kāi)時(shí)有這樣一個(gè)特征：每個(gè)因式都必須出項(xiàng)，并且只能出一項(xiàng)，將每個(gè)因式所出的對(duì)于 anb 相乘，對(duì)于 an r br項(xiàng)乘在一起便成為了展開(kāi)時(shí)中的某項(xiàng)。b 可看作是 n 個(gè) a意味著在這 n 個(gè) a b 中，有 nr 個(gè)式子出 a ，剩下 r 個(gè)式子出 b ，那么這種出法一共有 Cnr 種。所以二項(xiàng)式展開(kāi)式的每一項(xiàng)都可看做是一個(gè)組合問(wèn)題。而二項(xiàng)式系數(shù)便是

3、這個(gè)組合問(wèn)題的結(jié)果。3、系數(shù)：是指該項(xiàng)經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后項(xiàng)前面的數(shù)字因數(shù)注：（ 1）在二項(xiàng)式定理中要注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)。二項(xiàng)式系數(shù)是展開(kāi)式通項(xiàng)公式中的Cnr ，對(duì)于確定的一個(gè)二項(xiàng)式，二項(xiàng)式系數(shù)只由r 決定。而系數(shù)是指展開(kāi)并化簡(jiǎn)后最后項(xiàng)前2x5面的因數(shù)，其構(gòu)成一方面是二項(xiàng)式系數(shù)，同時(shí)還有項(xiàng)本身的系數(shù)。例如：1展開(kāi)式中第三項(xiàng)為 T33，其中 C52 為該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)， 而 T3C522x380x3C52 2x 1212化簡(jiǎn)后的結(jié)果80 為該項(xiàng)的系數(shù)（2）二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念不同，但在某些情況下可以相等：當(dāng)二項(xiàng)式中每項(xiàng)的系數(shù)均為 1 時(shí)（排除項(xiàng)本身系數(shù)的干擾）x5，則展開(kāi)后二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)相同。例

4、如1展開(kāi)式的第三項(xiàng)為 T3C52312 ，可以計(jì)算出二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)均為10x3、有理項(xiàng)：系數(shù)為有理數(shù), 次數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)，比如2x2 , 1就是有理項(xiàng)，而 3 x,5x 就不是5x有理項(xiàng)。4、 annb 與 ab的聯(lián)系：首先觀察他們的通項(xiàng)公式：a bnCnr an r brn： TrCnr an rbrr： Tr 1a b11 Cnr an r br兩者對(duì)應(yīng)項(xiàng)的構(gòu)成是相同的，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)。其絕對(duì)值相等。 所以在考慮a bnabn系數(shù)的絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為求系數(shù)的問(wèn)題5、二項(xiàng)式系數(shù)的最大值：在Cn0, Cn1 , ,Cnn 中，數(shù)值最大的位于這列數(shù)的中間位置。若n 為奇數(shù)（

5、共有偶數(shù)項(xiàng)） ，則最大值為中間兩個(gè)，例如n5 時(shí)，最大項(xiàng)為 C52C53 ，若 n 為偶數(shù)（共有奇數(shù)數(shù)項(xiàng)） ，則最大值為中間項(xiàng)，例如n6時(shí)，最大項(xiàng)為 C63證明：在 Cn0 ,Cn1 ,Cnn 中的最大項(xiàng)首先要比相鄰的兩項(xiàng)大，所以不妨設(shè)最大項(xiàng)為Cnr ，則有n!n!11CnrCnr 1r ! n r !r 1 ! nr 1 !rn 1 rCnrCnr 1n!n!11r ! n r !r 1 ! nr 1 !n rr 1rn12n 1n1所以解得：即n12rr22所以當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)（ n2k1 ），不等式變?yōu)?k1 rk ，即 r k1或 rk 為中間項(xiàng)當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)（ n2k ），不等式變

6、為 k1rk+ 1，即 rk 為中間項(xiàng)226、系數(shù)的最大值：由于系數(shù)受二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)自身系數(shù)影響，所以沒(méi)有固定的結(jié)論，需要計(jì)算所得，大致分為兩種情況：n_ _ 型：不妨設(shè)項(xiàng) Tr 1 的系數(shù)為 Pr 1，則理念與二項(xiàng)式系數(shù)最值類似，最大值首先要Pr 1Pr，再根據(jù)通項(xiàng)公式代入解不等式即可比相鄰項(xiàng)大，所以有Pr 1Pr2n_型：其展開(kāi)式的特點(diǎn)為項(xiàng)的符號(hào)有正有負(fù)，所以在解決此類問(wèn)題時(shí)有兩種方法：一種是只選取其中的正項(xiàng)進(jìn)行比較，但序數(shù)相隔。即Pr 1Pr1 ，在運(yùn)算上較為復(fù)雜；一種Pr 1Pr3是先考慮系數(shù)絕對(duì)值的最大值，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為_(kāi)n的最大值問(wèn)題， 然后在考慮符號(hào)確定系數(shù)最大值。x8例 1：

7、二項(xiàng)式1展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是_23 x方法一：思路：考慮先求出此二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x 的指數(shù)為 0，求出 r 的值再代入計(jì)算即可x8 r1r18 r1 rrrr8rx 33解： Tr 1 C8221 C8xx依題意可得： 8r1 r0r632常數(shù)項(xiàng)為 T71167C862x18個(gè) x1方法二：思路：對(duì)中的 8因式所出的項(xiàng)進(jìn)行分配，若最后結(jié)果為23 x23 x常數(shù)項(xiàng)，則需要兩個(gè)式子出x ，六個(gè)式子出1相乘，23 x26所以常數(shù)項(xiàng)為： C82 x1723 x答案： 7小 煉 有 話 說(shuō) ：通過(guò)本題說(shuō)明求二項(xiàng)式展開(kāi)式中某項(xiàng)的兩種主流方法：一是通過(guò)通項(xiàng)公式，先化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式，再利用題目中所求項(xiàng)的特

8、征求出r 的值，進(jìn)而求解；二是分析展開(kāi)式中每一項(xiàng)構(gòu)成的本質(zhì)， 即每一個(gè)因式僅出一項(xiàng)， 然后相乘得到， 從而將尋找所求項(xiàng)需要的出項(xiàng)方案，將其作為一個(gè)組合問(wèn)題求解。例 2：在x21x6的展開(kāi)式中，x3 的系數(shù)是 _思路一：考慮二項(xiàng)展開(kāi)的通項(xiàng)公式：Tr 1C6r x26 rx 1 rC6r x2 6r rC6r x12 3r由所求可得： 123r3r 3T4C63 x320x3思路二：可將其視為6 個(gè)因式出項(xiàng)的問(wèn)題，若要湊成x3 ，需要 3 個(gè) x2， 3個(gè)1x33x2313所以該項(xiàng)為： C620xx答案： 20小 煉 有 話 說(shuō) ：利用二項(xiàng)式定理求某項(xiàng)， 通常兩種思路： 一種是利用二項(xiàng)式展開(kāi)的通項(xiàng)

9、公式，結(jié)合條件求出 r 的值再求出該項(xiàng)；另一種是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為因式如何安排出項(xiàng)的問(wèn)題。例 3：若二項(xiàng)式x1x7的展開(kāi)式中的第四項(xiàng)等于7，則 x 的值是 _思路：條件中涉及到項(xiàng)的序數(shù)，那么只能考慮利用通項(xiàng)公式：Tr 1 C7r x7 r 1x3， T4 C73 x4 131項(xiàng)中 r7 ，解得： xx5r，第四答案： x159例 4：已知x1的展開(kāi)式中 x3 項(xiàng)的系數(shù)為21，則實(shí)數(shù) a 的值為 _ax2思路：先利用通項(xiàng)公式求出x3 的項(xiàng)，在利用系數(shù)的條件求出a 的值即可rr解： Tr 1C9r x9 r1C9r1x9 2 r9 2r3 r3axa3 13848 42 1 a2x33T4C9 aa3

10、xa32答案： a2例 5：已知二項(xiàng)式 ( x2) n 的展開(kāi)式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和是16，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是_x思路：要想求得展開(kāi)式的某項(xiàng)， 首先要先確定 n 的取值，先利用二項(xiàng)式系數(shù)和求出n ：2n162)4 展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為C42 x2 22即 n4，再求 ( x24xx答案： 24例 6： 1 xx25x4 項(xiàng)的系數(shù)為 _1 x 的展開(kāi)式中，思路：已知表達(dá)式展開(kāi)式中的每一項(xiàng)由兩部分相乘而成，要想湊得x4 ，不妨從其中一個(gè)式子切入進(jìn)行分類討論（以1xx2 為例）1：1xx2出 1，則151 C541x44x出 x4，該項(xiàng)為：5x2：1xx2出 x ，則1x512310x4出 x3 ，該項(xiàng)

11、為： x C53x3：1xx2出 x21x52 ，該項(xiàng)為： x2 C5213210 x4，則出 xx綜上所述：合并后的x4項(xiàng)的系數(shù)為 5例 7： x2x10展開(kāi)式中 x3 項(xiàng)的系數(shù)為（1）A.210B.210C. 30D. 30思路：本題不利于直接展開(kāi)所有項(xiàng)，所以考慮將其轉(zhuǎn)化為10 個(gè)因式如何分配所出項(xiàng)的問(wèn)題：若要湊成 x3 有以下幾種可能：（1）： 1 個(gè) x2 ， 1 個(gè)x ，8 個(gè) 1，所得項(xiàng)為： C101 x2 C91x C88 1890x3（2）： 3 個(gè)x ， 7 個(gè) 1，所得項(xiàng)為： C1033C7717120x3x所以 x3 項(xiàng)的系數(shù)為210答案： A124例 8：二項(xiàng)式4 x展

12、開(kāi)式中，有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有（）項(xiàng)xA. 3B.4C. 5D. 7思路：有理項(xiàng)是指變量的指數(shù)是整數(shù)，所以考慮從通項(xiàng)公式入手：124124r1r63 r4 xC24r, 24， r 的取值只需要x 4x 2C24r x4，其中 r0,1, 2,x讓 63 r Z ，則 r0,4,8,12,16,20,24，所以共有 7 個(gè)有理項(xiàng)4小 煉 有 話 說(shuō) ：在整理通項(xiàng)公式時(shí)可將x 的根式（或倒數(shù)）轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，方便進(jìn)行化簡(jiǎn)。例 9：二項(xiàng)式8展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 _2x 18展 開(kāi) 式 的 通 項(xiàng) 公 式 為 Tr 128 r C8r x8 r ， 其 系 數(shù) 設(shè) 為 Pr 1 ， 即思 路 ： 考

13、慮 2x 1Pr 1 =28 r C8r，若要 Pr1 最大，則首先要大于相鄰項(xiàng)，即Pr1Pr，代入解得 r的范圍PrPr 21即可確定出 r 的值，從而求出該項(xiàng)解： Tr 1C8r8r28 r C8r x8 r2x1r設(shè) Tr 1 項(xiàng)的系數(shù)為 Pr1 =28r C8rPr 1Pr28 r C8r8 r1若 Pr 1最大，則2C8r 1Pr 1Pr 228 r C8r28 r +1 C8r +128r8!29r8!12r ! 8 r !r 1 ! 9 r !r9r28r8!27r8!21r ! 8 r !r 1 ! 7 r !8 rr 1解得：2r3r2 或 r 3經(jīng)檢驗(yàn)：系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)3T41792x5答案： 1792 x5例 10：已知2109g x0 a1 a x 2 a x1 ,0 a xh xb， 若b xb x 90119101 x 1 2 x1 x g x h x ，則 a9（）A. 0B.10219C.10218D.3218110g x中，與 a9 相關(guān)的最思路：由條件中恒等式的特點(diǎn)可得對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，在x高次項(xiàng)為 x19a ，等式左邊 x1919C191818，而右邊 x19，故以此為突破口求的系數(shù)為229的系數(shù)為 a9a10C1099a10C109919C1918181 ，所以 a9122 ，只需再求出a10 即可，同樣選取含 a10x20，左