第2章靜力平衡

1、第2章 靜力平衡,1.1 力的基本概念 1.2 力矩與力偶 1.3 力系的平衡 1.4 重心與形心,2.1 力的基本概念,力是物體之間的相互作用，其效果使物體運動狀態(tài)和形狀大小發(fā)生改變。 實踐證明，力對物體的作用效應取決于以下三個要素： (1) 力的大小。指物體間相互作用的強弱程度。國際單位制(si)中，力的單位為牛頓(n)或千牛頓(kn)。 (2) 力的方向。通常包含力的方位和指向兩個含義。例如重力的方向是“鉛垂向下”，“鉛垂”是指力的方位；“向下”是說力的指向。 (3) 力的作用點。力的作用點是指力在物體上作用的位置。 力系：物體所受的一群力總稱為力系。,2.1.1 力和力系的概念,力是一

2、矢量，用數(shù)學上的矢量記號來表示，如圖。,f,一、二力平衡公理,作用于剛體上的兩個力平衡的充分與必要條件是這兩個力大小相等、方向相反、作用線在一條直線上。,二力體：只在兩個力作用下平衡的剛體叫二力體。,二力桿,2.1.2 靜力學基本公理,推論 (力在剛體上的可傳性),作用于剛體上某點的力，可沿其作用線移動到剛體內(nèi)任意一點，而不改變該力對剛體的作用效應。,=,=,二、加減平衡力系公理,在作用于剛體上的已知力系上，加上或減去任意一個平衡力系，不會改變原力系對剛體的作用效應。,作用于物體上同一點的兩個力可合成為作用于同一點的一個合力。合力的大小與方向由原兩力為鄰邊而作出的平行四邊形的對角線來確定。,f

3、1,f2,r,矢量表達式：r= f1+f2,即，合力為原兩力的矢量和。,三、力的平行四邊形法則,四、三力平衡匯交定理 一剛體受不平行的三力作用而平衡時，此三力的作用線必共面且匯交于一點。,五、作用力和反作用力定律,兩個物體間的相互作用的一對力，總是大小相等，方向相反，作用線相同，并分別而且同時作用于這兩個物體上。,例 吊燈,2.1.3 力的分解與合成 平面匯交力系是簡單力系，是研究復雜力系的基礎。平面匯交力系的合成有兩種方法。 1、幾何法用力的三角形法則或力的多邊形法制求合力的方法，是一種定性的粗略的計算方法。 （1）兩個匯交力的合成,（2） 多個共點力的合成,用幾何法求匯交力系合力時，應注意

4、分力首尾相接， 合力是從第一力的箭尾指向最后一力的箭頭。,b) 力三角形,d) 力多邊形,（1）力的分解, 若 ，與軸同向，取正；反之取負；, 若 ，與軸同向，取正；反之取負。,若已知 和 ，則力的大小和方位角為：,（2）力的合成：,2、解析法定量計算合力的大小和方向的方法,（3）合力投影定理：合力在任一軸上的投影等于各分 力在該軸上之投影的代數(shù)和。,表示合力r與 x軸所夾的銳角， 合力的指向由x、y的符號判定。,由合力投影定理有： rx=x1+x2+xn=x ry=y1+y2+yn=y,合力：,【例1】 試分別求出圖2-6中各力的合力在x軸和y軸上投影。已知,，,，,，各力方向如圖所示。,【

5、解】 可得出各力的合力在x、y軸上的投影為,（1）固定鉸支座,約束特點：只能限制物體上下、左右的平動，而不能限制物體的轉(zhuǎn)動（雙向約束）。,反力方向：方位是兩分力正交（如 、 ，或 、 等）；指向可以假設。,2.1.4 支座的約束與反力,（2）可動鉸支座,約束特點：只能限制物體沿法線方向的平動（單向約束）。,反力方向：方位為沿其法線，指向可以假設。,3）固定端支座,p,p,約束特點：既限制物體的平動，又限制物體的轉(zhuǎn)動。,反力方向：限制平動，用約束反力（ 如 xa 、ya ）表示，指向可以假設； 限制轉(zhuǎn)動，用約束反力偶（如 ma ）表示，轉(zhuǎn)向可以假設。,2.1.4 物體的受力分析, 畫受力圖,非自

6、由體,自由體（主動力約束反力）,步驟：,（1）取研究對象，簡稱取體；,（2）標力：主動力照搬，約束反力按類型來畫。,要求：,（1）熟練掌握；,（2）絕對正確：, 不錯畫（約束反力的作用點為接觸點，方向由約束類型確定。）, 不多畫（每個力應找到施力體）；, 不少畫（先畫主動力，后畫約束反力）；,【例4】一端為固定鉸鏈，另一端為可動鉸鏈的梁稱之為簡支梁，其上作用有 一均勻分布的荷載 q（簡稱均布荷載），試畫出梁的受力圖。,【解】1.研究對象：梁ab。,2.畫受力圖 標力。,（1）主動力：均布荷載 q（照搬）,（2）約束反力： （按約束類型來畫）, 固定鉸鏈 a：xa、ya （指向可設）；, 可動鉸

7、鏈 b：yb（指向可設）。,【例5】試畫出懸臂梁的受力圖，梁的自重不計。,2.2 力矩與力偶 2.2.1力矩 在力的作用下，物體將發(fā)生移動和轉(zhuǎn)動。力的轉(zhuǎn)動效應用力矩來衡量，即力矩是衡量力轉(zhuǎn)動效應的物理量。,討論力的轉(zhuǎn)動效應時，主要關心力矩的大小與轉(zhuǎn)動方向，而這些與力的大小、轉(zhuǎn)動中心（矩心）的位置、動中心到力作用線的垂直距離（力臂）有關。,力的轉(zhuǎn)動效應力矩 m 可由下式計算：,m = fp d,式中：fp 是力的數(shù)值大小，d 是力臂，力矩的正負號規(guī)定只要在同一問題中統(tǒng)一即可，習慣上力矩的正負號往往以順時針方向為正，逆時針方向為負。常用單位是 kn-m 。力矩用帶箭頭的弧線段表示。,集中力引起的力

8、矩直接套用公式進行計算；對于均布線荷載引起的力矩，先計算其合力，再套用公式進行計算。,力矩的特性 1、力作用線過矩心，力矩為零； 2、力沿作用線移動，力矩不變。,合力矩定理 一個力對一點的力矩等于它的兩個分力對同一點之矩的代數(shù)和。,例 1 求圖中荷載對a、b兩點之矩,(a),(b),解：,圖（a）： ma = - 82 = -16 kn m mb = 82 = 16 kn m,圖（b）： ma = - 421 = -8 kn m mb = 421 = 8 kn m,例 2 求圖中力對a點之矩,解：將力f沿x方向和y方向等效分解為兩個分力，由合力矩定理得：,由于 dx = 0 ，所以：,2.2.

9、2 力偶和力偶矩,力偶 大小相等的二個反向平行力稱之為一 個力偶。,力偶的作用效果是引起物體的轉(zhuǎn)動，和力矩一樣，產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應。,式中：f 是力的大??； d 是力偶臂，是力偶中兩個力的作用線之間的距離； 正負號規(guī)定與力矩統(tǒng)一。常用單位為 knm 。,力偶的轉(zhuǎn)動效應用力偶矩表示，它等于力偶中任何一個力的大小與力偶臂d 的乘積，加上適當?shù)恼撎?，?力偶的圖例,力偶特性一： 力偶的轉(zhuǎn)動效應與轉(zhuǎn)動中心的位置無關，所以力偶在作用平面內(nèi)可任意移動。,力偶特性二： 力偶的合力為零，所以力偶的效應只能與轉(zhuǎn)動效應平衡，即只能與力偶或力矩平衡，而不能與一個力平衡。,力偶系的合成,作用在一個物體上的一組力偶稱為一個

10、力偶系。力偶系的合成結(jié)果為一個合力偶m。 即：,力偶系的平衡,顯然，當物體平衡時，合力偶必須為零， 即：,上式稱為力偶系的解析平衡條件。,2.2.3 力之平移定理,問題：力在剛體上可沿其作用線滑動，但能否平行搬動？,結(jié)論：,且,作用在 a 點的力 ，是否可以平行移動至 b 點變成 ？,力偶矩為 m,2.3.1 力系之平衡條件,剛體 平衡,（1）二力之平衡,兩個力 f1、f2,等值（f1f2） 反向、共線,2.3力系的平衡,（2）三力之平衡,若剛體在三力f1、f2、f3作用下平衡，且 f1、f2 匯交 于o 點，則 f3 必過 o點。,三個不平行之力, 三個共點力并非一定是平衡力系，故三力平衡條

11、件并非充分；, 若三力平衡，其合力 r0，則三力所構(gòu)成力之三角形必自行封閉。,注意：,2.3.2 力系的平衡方程,1)平面任意力系之平衡方程,設平面任意力系 f1、f2、fn ，當該力系平衡時，則有,（各分力在 x 軸上投影之代數(shù)和為零）,（各分力在 y 軸上投影之代數(shù)和為零）,（各分力對任意點 o 之矩代數(shù)和為零）,基 本 式,獨立的平衡方程數(shù),2）平面匯交力系之平衡方程,設平面匯交力系 f1、f2、fn 交于 o 點，此時只能合成一個合力，不可能存在 合力偶。若取匯交點 o 為矩心，則 自然滿足。當該力系平衡時，有,基 本 式,2.3.3 平衡方程的應用,【例1】試求簡支梁 a、b 兩處的

12、約束反力。,【解】1.研究對象：ab 梁,a 處（xa，ya ） ， b 處yb。,2.受力分析：,均布荷載 q ，,3.列式求解：,（1）基本式,（2）二矩式,校核：,【解】 1.研究對象：外伸梁。,2. 受力分析：如圖示。,3. 列式求解：,4.驗算：把已知的各力對a點取矩， 看是否滿足,故計算正確無誤。,驗算：,【例2】已知外伸梁的 m = 6knm，q = 4kn/m，p =12kn，求 a、b 支座反力。,討論：若用二矩式，則情況如何？,【例5】如圖所示三鉸剛架，試求 a、e 處的支座反力。,【解】1.取整體為研究對象，受力如圖所示，則,（a）,2.取 cde 剛架為研究對象，受力如

13、圖所示，則,由（a）式,3.驗算（略）,2.3.4 求支座反力的簡易法,ya=123/4=9kn,yb=121/4=3kn,ya=121/3=4kn,yb=122/3=8kn,p=yb4/6,q=yb4/5,180kn,ya=yb=202+50/2=65kn,4,ya1=40kn,yb1=20kn,ya2=60kn,yb2=120kn,ya=100kn,yb=140kn,m=40knm,ya1=30kn,yb1=10kn,ya2=yb2=10kn,2.4 重心 2.4.1 重心的概念 地球上的任何物體都受到地球引力的作用，這個力稱為物體的重力?？蓪⑽矬w看作是由許多微小部分組成，每一微小部分都受

14、到地球引力的作用，這些引力匯交于地球中心。但是，由于一般物體的尺寸遠比地球的半徑小得多，因此，這些引力近似地看成是空間平行力系。這些平行力系的合力就是物體的重力。由實驗可知，不論物體在空間的方位如何，物體重力的作用線始終是通過一個確定的點，這個點就是物體重力的作用點，稱為物體的重心。,重心,形心,2.4.2 重心和形心的關系,1）重心,重心越低，穩(wěn)定性越好,2）形心,幾何形體之中心,2.4.3 物體重心的坐標公式 為確定物體重心的位置，將它分割成n個微小塊，各微小塊重力分別為gl、g2、gn，其作用點的坐標分別為(x1、y1、z1)、(x2、y2、z2)(xn，yn、zn)，各微小塊所受重力的

15、合力w即為整個物體所受的重力g gi，其作用點的坐標為c(xc，yc、zc)。則：,2.4.4 形心位置的確定,1）平面圖形的形心,設任意一個平面圖形的面積為 a，各微小部分的 面積分別為 a1、 a1、 an，c 點為平面圖形 的形心 。,形心 坐標 公式,2）用對稱性確定形心,球,3）用分割法確定形心,復雜均質(zhì)體,【例1】求圖示均質(zhì) l 形板的形心 c 位置。,單位:mm,【解】,a1 600 mm2,a2 800 mm2,x15 mm,y130 mm,x250mm,y25 mm,4）用負面積法確定形心,均質(zhì)體,面積為負值,【例 2】如圖所示圓形平面，半徑為 r，被挖去 一個半徑為 r 的小圓，兩圓心之距離為 a，求該平面圖 形的形心位置。,又設小圓的面積為 a2，形心坐標為 x2、y2 。則,分布荷載可分為均布荷載和非均