線面平行與面面平行

1、第2課時(shí) 線面平行與面面平行考綱鏈接1.了解空間線面、面面平行的有關(guān)概念2.理解直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系的性質(zhì)與判定，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)用.【課前自主探究】 教材回歸基礎(chǔ)重現(xiàn)：1直線與平面平行的判定定義法：證明直線與平面無(wú)公共點(diǎn)（反證法）.判定定理：如果_和平面內(nèi)的一條直線平行，則直線和平面平行.面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個(gè)平面.2直線與平面平行的性質(zhì)： 定義：如果一條直線和一個(gè)平面平行，,則直線與平面無(wú)公共點(diǎn)性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和_平行3平面與平面平行的判定定義法：證明兩個(gè)平

2、面沒(méi)有公共點(diǎn)（反證法）.判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的_分別和另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面相互平行.推論：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別和另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線（相交）平行，那么這兩個(gè)平面相互平行.垂直于同一直線的兩個(gè)平面相互平行.4平面與平面平行的性質(zhì)：.定義 ： 如果兩個(gè)平面平行, 則兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn).性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么_5兩個(gè)平行平面間的距離 兩個(gè)平行平面的_的長(zhǎng)度叫做兩個(gè)平行平面間的距離基礎(chǔ)重現(xiàn)答案：1. 平面外的一條直線；2. 交線；3. 兩條相交直線4. 所得的兩條交線平行5. 公垂線段思維升華：1.線線、線面、面面平行的轉(zhuǎn)換_線線平行 線面平行

3、 面面平行2解答或證明線面、面面平行的有關(guān)問(wèn)題，常常要作_或輔助平面.思維升華答案：1. 面面平行性質(zhì)定理 2. 輔助線 基礎(chǔ)自測(cè)1.下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是 .若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則l；若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都平行；如果兩條平行直線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條直線也與這個(gè)平面平行；若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn).答案：1解析：正確的命題僅是2下列說(shuō)法正確的有_一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面互相平行；兩個(gè)平面垂直于同一條直線，則這兩個(gè)平面互相平行；兩個(gè)平面垂直于同一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相平行；兩

4、個(gè)平面同時(shí)平行于某一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相平行；答案：3如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面 位置關(guān)系為 _答案：平行或相交4. (2010宿遷模擬題)設(shè)是空間的不同直線或不同平面，下列條件中能保證“若，且，則”為真命題的是 .（填所正確條件的代號(hào)）為直線； 為平面；為直線，為平面； 為直線，為平面.答案：5.（2010山東高考題改編）在空間，下列命題正確的有_個(gè).平行直線的平行投影重合.平行于同一直線的兩個(gè)平面平行.垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行.垂直于同一平面的兩條直線平行答案：1.解析：由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可以得出命題是正確的.【

5、課堂師生共探】 經(jīng)典例題題型一 直線與平面平行的判定與性質(zhì)例題1 如圖所示，正方體abcda1b1c1d1中，側(cè)面對(duì)角線ab1，bc1上分別有兩點(diǎn)e，f，且b1e=c1f.求證：ef平面abcd.分析：要證ef平面abcd，思路有兩種：一是利用線面平行的判定定理，即在平面abcd內(nèi)確定ef的平行線；二是利用面面平行的性質(zhì)定理，即過(guò)ef作與平面abcd平行的平面.證明 方法一 分別過(guò)e，f作emab于m，fnbc于n，連接mn.bb1平面abcd，bb1ab，bb1bc，embb1，fnbb1，emfn.又b1e=c1f，em=fn，故四邊形mnfe是平行四邊形，efmn.又mn平面abcd，e

6、f平面abcd，所以ef平面abcd.方法二 過(guò)e作egab交bb1于g，連接gf，則，b1e=c1f，b1a=c1b，fgb1c1bc，又egfg=g，abbc=b，平面efg平面abcd，而ef平面efg，ef平面abcd.點(diǎn)評(píng)：判斷或證明線面平行的常見(jiàn)途徑：利用線面平行的定義（無(wú)公共點(diǎn)）；線面平行的判定定理；面面平行的性質(zhì)定理abcdep變式訓(xùn)練：（2010福建泉州一中模擬卷改編）右圖為一簡(jiǎn)單組合體，其底面為正方形，平面，/.求證：/平面；證明：，同理可得bc/平面pda，又，題型二 平面與平面平行的判定與性質(zhì)例題2 已知p為abc所在平面外一點(diǎn)，g1、g2、g3分別是pab、pcb、p

7、ac的重心.（1）求證：平面g1g2g3平面abc；（2）求ssabc.分析：要證明平面g1g2g3平面abc，可以通過(guò)面面平行的判定定理，兩條相交直線，都平行平面abc.證明（1）如圖所示，連接pg1、pg2、pg3并延長(zhǎng)分別與邊ab、bc、ac交于點(diǎn)d、e、f，連接de、ef、fd，則有pg1pd=23， pg2pe=23，g1g2de.又g1g2不在平面abc內(nèi)，g1g2平面abc.同理g2g3平面abc.又因?yàn)間1g2g2g3=g2，平面g1g2g3平面abc.（2）解由（1）知=，g1g2=de.又de=ac，g1g2=ac. 同理g2g3=ab，g1g3=bc.g1g2g3cab，

8、其相似比為13，ssabc=19.點(diǎn)評(píng)：證明面面平行，一般可利用面面平行的判定定理，將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化線線平行.值得 注意的是，不能直接通過(guò)得出平面g1g2g3與平面abc.平行，而通過(guò)兩條相交直線都和平面abc平行.變式訓(xùn)練：如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中,o為底面abcd的中心，p是dd1的中點(diǎn)，設(shè)q是cc1上的點(diǎn),問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)q在什么位置時(shí)，平面d1bq平面pao？解析： 當(dāng)q為cc1的中點(diǎn)時(shí)，平面d1bq平面pao.q為cc1的中點(diǎn)，p為dd1的中點(diǎn)，qbpa.p、o為dd1、db的中點(diǎn)，d1bpo.又popa=p，d1bqb=b，d1b平面pao，qb平面

9、pao，平面d1bq平面pao.題型三 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例題3 如圖所示，平面平面，點(diǎn)a，c，點(diǎn)b，d,點(diǎn)e，f分別在線段ab，cd上，且aeeb=cffd.（1）求證：ef；（2）若e，f分別是ab，cd的中點(diǎn)，ac=4，bd=6，且ac，bd所成的角為60，求ef的長(zhǎng).分析：（1）首先判斷a、b、c、d未必共面，可以對(duì)其是否共面進(jìn)行討論.若這四點(diǎn)共面,可通過(guò)ef/bd來(lái)證得ef，若這四點(diǎn)不共面，可過(guò)a、c、d作輔助平面交于dh,在ah取一個(gè)合適點(diǎn)g，進(jìn)而通過(guò)平面efg平面來(lái)證得ef.（2）求線段的長(zhǎng)可以將其放到三角形中去解三角形.（1）證明 當(dāng)ab，cd在同一平面內(nèi)時(shí)，由，平面平面abd

10、c=ac，平面平面abdc=bd，acbd，aeeb=cffd，efbd，又ef,bd,ef.當(dāng)ab與cd異面時(shí)，設(shè)平面acd=dh，且dh=ac.，平面acdh=ac，acdh，四邊形acdh是平行四邊形，在ah上取一點(diǎn)g，使aggh=cffd，又aeeb=cffd，gfhd，egbh，又eggf=g，平面efg平面.ef平面efg，ef.綜上，ef.（2）解 如圖所示，連接ad，取ad的中點(diǎn)m，連接me，mf.e，f分別為ab，cd的中點(diǎn)，mebd，mfac，且me=bd=3，mf=ac=2，emf為ac與bd所成的角（或其補(bǔ)角），emf=60或120，在efm中由余弦定理得，ef=，即e

11、f=或ef=.點(diǎn)評(píng)：線線、線面、面面平行之間常常需要直接或間接轉(zhuǎn)化，不少問(wèn)題還需要我們多次轉(zhuǎn)化，才能實(shí)現(xiàn)；立體幾何中問(wèn)題的解決還需要平面幾何知識(shí)的運(yùn)用，事實(shí)上復(fù)雜的立體幾何問(wèn)題最終是在一個(gè)或幾個(gè)平面中得以解決的.變式訓(xùn)練：如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，e、f、g、h分別是bc、cc1、c1d1、a1a的中點(diǎn).求證：（1）bfhd1；（2）eg平面bb1d1d；（3）平面bdf平面b1d1h.解析： （1）如圖所示，取bb1的中點(diǎn)m，易證四邊形hmc1d1是平行四邊形，hd1mc1.又mc1bf，bfhd1.（2）取bd的中點(diǎn)o，連接eo，d1o，則oe dc，又d1g dc，o

12、e d1g，四邊形oegd1是平行四邊形，ged1o.又d1o平面bb1d1d，eg平面bb1d1d.（3）由（1）知d1hbf，又bdb1d1，b1d1、hd1平面hb1d1，bf、bd平面bdf，且b1d1hd1=d1，dbbf=b，平面bdf平面b1d1h.高考新題零距離（2010陜西文高考題） 如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形pa平面abcd，ap=ab，bp=bc=2，e，f分別是pb,pc的中點(diǎn).(1)證明：ef平面pad；(2)求三棱錐eabc的體積v.證明：(1)在pbc中，e，f分別是pb，pc的中點(diǎn)，efbc.又bcad,efad,又ad平面pad,ef平面p

13、ad,ef平面pad. (2)連接ae,ac,ec,過(guò)e作egpa交ab于點(diǎn)g,則bg平面abcd,且eg=pa.在pab中，ad=ab,pab,bp=2,ap=ab=,eg=.sabc=abbc=2=,ve-abc=sabceg=.典型錯(cuò)誤警示1.線面平行關(guān)系判定時(shí),對(duì)兩直線平行比較關(guān)注,但對(duì)兩條直線分別在平面外、平面內(nèi)的要求比較容易忽視,如：例1證明 ef平面abcd.容易遺漏平面abcd和平面abcd；2.在證明面面平行，容易直接運(yùn)用一個(gè)平面兩條相交直線平行于另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線而得到結(jié)論，而不是通過(guò)線線平行過(guò)渡到線面平行再到面面平行.如例2中直接運(yùn)用qbpa， d1bpo平面pao

14、/平面qbd1.典型錯(cuò)題反思反思是自覺(jué)地對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)進(jìn)行分析、總結(jié)、評(píng)價(jià)和調(diào)控的過(guò)程，是一種自我挑戰(zhàn)、自我完善和自我超越，是優(yōu)化解法、深化思維的有效手段，是高效的學(xué)習(xí)方法、最佳的糾錯(cuò)手段，是走出“題海”的最有效途徑. 請(qǐng)整理出本課時(shí)的典型錯(cuò)誤，找出錯(cuò)因，并從審題、知識(shí)、方法和策略的層面進(jìn)行反思！我的錯(cuò)題：錯(cuò)因：反思：學(xué)以致用第2課時(shí) 線面平行與面面平行 基礎(chǔ)級(jí)1以下命題正確的有_兩個(gè)平面可以只有一個(gè)交點(diǎn) 一條直線與一個(gè)平面最多有一個(gè)公共點(diǎn)兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，它們可能相交 兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，它們一定重合答案：.解析：兩個(gè)平面有一個(gè)交點(diǎn)，則有經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的一條直線，所以錯(cuò)誤；直線在平面內(nèi)，則直

15、線與平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，所以錯(cuò)誤；若兩個(gè)平面有三個(gè)共線的點(diǎn)，則兩個(gè)平面未必重合.所以錯(cuò)誤.2已知平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線都與平面平行，那么與位置關(guān)系為_(kāi)答案：或與相交.解析：若這無(wú)數(shù)條直線平行，則或與相交；若這無(wú)數(shù)條直線有兩條相交，則.3平面平面，ab、cd是夾在和間的兩條線段，e、f分別為ab、cd的中點(diǎn)， 則ef與的位置關(guān)系是_答案：平行解析：連bc，作bc的中點(diǎn)m，可證明面mef/.從而ef/.4.下列命題，其中真命題的個(gè)數(shù)為 .直線l平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則l；若直線a在平面外，則a；若直線ab,直線b,則a；若直線ab,b,那么直線a就平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線.答案 1解析 、錯(cuò)，對(duì).

16、5.寫(xiě)出平面平面的一個(gè)充分條件 （寫(xiě)出一個(gè)你認(rèn)為正確的即可）.答案 存在兩條異面直線a,b,a,b,a,b.解析：面面平行的判定.6.對(duì)于不重合的兩個(gè)平面與，給定下列條件：存在平面，使得，都垂直于；存在平面，使得，都平行于；存在直線l,直線m,使得lm；存在異面直線l、m，使得l,l,m,m.其中，可以判定與平行的條件有 （寫(xiě)出符合題意的序號(hào)）.答案 解析 由線面位置關(guān)系不難知道正確.7.已知平面平面,=l,點(diǎn)a,al,直線abl,直線acl,直線m,m,則下列四種位置關(guān)系中,一定成立的是 .abmacm abac答案 解析 m，m，=l，ml.abl，abm.故一定正確.acl，ml，acm

17、.從而一定正確.a，abl，l，b.ab，l.ab.故也正確.acl，當(dāng)點(diǎn)c在平面內(nèi)時(shí)，ac成立，當(dāng)點(diǎn)c不在平面內(nèi)時(shí)，ac不成立.故不一定成立.8.設(shè)有直線m、n和平面、.下列命題不正確的是 （填序號(hào)）.若m,n,則mn若m，n,m,n,則若，m，則m若,m,m,則m答案 解析 若，m，n，可知m,n,但m與n可以相交，所以不對(duì)；若mn，即使有m,n,m,n, 與也可以相交，所以不對(duì)；若，中仍有不與垂直的直線，例如與的交線，故不對(duì)；若，則在中可作與垂直的直線n,又m，則mn，又m，所以m，故正確.升華級(jí)9求證： 兩個(gè)相交平面分別過(guò)兩條平行直線, 則它們的交線和這兩條平行直線平行.解析：如圖,

18、a， a/b , b， a/又a, = l , a/ l ,又 a/b， a/b/ l .bacdpqo10（2010姜堰中學(xué)月考）如圖四邊形是菱形，平面， 為的中點(diǎn). 求證：平面；解析：設(shè) ,連 . 為菱形， 為中點(diǎn)，又為中點(diǎn). . 又 , 11（2010江蘇省屆百校聯(lián)考改編）在在四棱錐oabcd中，底面abcd為菱形，e為oa的中點(diǎn)，f為bc的中點(diǎn)，求證：ef/平面ocd證明：取中點(diǎn)，連接,則，是菱形，為的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，我的錯(cuò)題：錯(cuò)因：反思：第三課時(shí) 線面垂直與面面垂直考綱鏈接1.了解線面垂直的概念，能正確判斷空間線面、面面垂直的位置關(guān)系；2.能運(yùn)用線面、面面垂直的判定和性質(zhì)來(lái)

19、證明線面、面面垂直，能求簡(jiǎn)單的線面角和二面角和點(diǎn)面距離.【課前自主探究】 教材回歸基礎(chǔ)重現(xiàn)1.直線與平面垂直判定（1）定義：若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的_垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直.（2）如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.（3）判定定理：如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.2.直線與平面垂直的性質(zhì)：（1）一條直線和一個(gè)平面垂直,那么該直線與平面內(nèi)所有直線垂直.（2）性質(zhì)定理： 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_.3.平面與平面垂直的判定（1）定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直.（2）如果一個(gè)平面

20、經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的_，那么這兩個(gè)平面互相垂直.（3）一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè).4.平面與平面垂直的性質(zhì)： （1）兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.（2）如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，_.（3）如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.5.二面角及二面角的平面角(1)半平面： 一條直線把平面分成兩個(gè)部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 ： _叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成.6.空間的幾

21、種距離點(diǎn)到平面的距離：面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和_間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.直線和平面的距離：定義一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離.平行平面的距離：個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線.公垂線夾在兩個(gè)平行平面間的部分，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段.兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度叫做這兩個(gè)平行平面的距離.基礎(chǔ)重現(xiàn)答案：1. 任何一條直線2. 平行3. 一條垂線4. 在第一個(gè)平面內(nèi)5. 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形6.垂足思維升華：1三種垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化線線垂直判定性質(zhì)判定判定性質(zhì)性質(zhì)面面垂直2求點(diǎn)面距離、

22、線面距離、平行平面距離常用的方法：（1)直接利用定義求;（2)利用兩平面互相垂直的性質(zhì).即如果已知點(diǎn)在已知平面的垂面上，則已知點(diǎn)到兩平面交線的距離就是所求的點(diǎn)面距離;（3)等體積法.其步驟是：在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；_；由v=求出h即為所求.線面距、平行平面距離：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線(面)距離，通過(guò)解三角形或體積法求解之.思維升華答案：1.線面垂直2.求出此三棱錐的體積v和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積s； 基礎(chǔ)自測(cè)1.給出下列四個(gè)命題：若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直；若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線與平面垂直；若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂

23、直于兩底邊所在的直線；若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線.其中正確的命題共有 個(gè).答案 2.解析 與線面垂直的定義及判定定理相對(duì)照，、為真，中兩線可能不相交，中兩線不相交，故不正確.2.(2010無(wú)錫模擬)已知直線m、n和平面、滿(mǎn)足mn，m，則n與平面的關(guān)系為 .答案 n,或n.解析 n與的位置關(guān)系各種可能性都有.當(dāng)n時(shí)，作nn,且nm=o,則n與m確定平面,設(shè)= l,則有ml,又mn,所以ln,ln,n；當(dāng)n時(shí)，顯然成立.3.(2010年南京市高三情況調(diào)查卷)下列命題中，真命題是_ .如果一條直線與一個(gè)平面垂直,則這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直pabc

24、.如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行.如果一條直線垂直于平面的兩直線，則垂直于這個(gè)平面.如果兩平面垂直，則一平面的直線垂直于另一個(gè)平面答案： 4.如圖，bc是rabc的斜邊，ap平面abc，連結(jié)pb、pc，則圖中共有直角三角形 個(gè).pabco答案：45.如圖，ab是圓o的直徑，c是異于a、b的圓周上的任意一點(diǎn)，pa垂直于圓o所在的平面， 則bc和pc所成角為 答案： 【課堂師生共探】 經(jīng)典例題題型一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1如圖所示，已知pa矩形abcd所在平面，m，n分別是ab，pc的中點(diǎn). （1）求證：mncd；（2）若pda=45.求證：mn平面pcd.分析：要證明mn

25、平面pcd，只要證明mn與平面pcd內(nèi)兩條相交直線垂直.證明 （1）連接ac，an，bn，pa平面abcd，paac，在rtpac中，n為pc中點(diǎn)，an=pc.pa平面abcd，pabc，又bcab，paab=a，bc平面pab，bcpb，從而在rtpbc中，bn為斜邊pc上的中線，bn=pc.an=bn，abn為等腰三角形，又m為底邊的中點(diǎn)，mnab，又abcd，mncd.（2）連接pm、cm,pda=45，paad，ap=ad.四邊形abcd為矩形.ad=bc，pa=bc.又m為ab的中點(diǎn)，am=bm.而pam=cbm=90,pm=cm.又n為pc的中點(diǎn)，mnpc.由（1）知，mncd，p

26、ccd=c,mn平面pcd.點(diǎn)評(píng)：在線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化中, 平面在其中起著至關(guān)重要的作用, 應(yīng)考慮線與線、線與面所在的平面特征, 以順利實(shí)現(xiàn)證明需要的轉(zhuǎn)化.變式訓(xùn)練：如圖, ab為o的直徑, c為o上的一點(diǎn), ad面abc , aebd于e , afcd于f.求證： bd面aef.解析： ab為o直徑, c為o上一點(diǎn)， bcac. .題型二 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2 如圖所示，在四棱錐pabcd中，底面abcd是dab=60且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面pad為正三角形，其所在平面垂直于底面abcd，若g為ad邊的中點(diǎn)，（1）求證：bg平面pad；（2）求證：adpb；（3）若e為bc

27、邊的中點(diǎn)，能否在棱pc上找到一點(diǎn)f，使平面def平面abcd，并證明你的結(jié)論.分析：要證明bg平面pad，可通過(guò)平面pad平面abcd來(lái)證明；要探求在pc上是否存在點(diǎn)f，使得平面def平面abcd，只需平面探求pc上是否存在點(diǎn)f，使得平面def平面pgb.（1）證明 在菱形abcd中，dab=60，g為ad的中點(diǎn)，所以bgad，又平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad，所以bg平面pad.（2）證明 連接pg，因?yàn)閜ad為正三角形，g為ad的中點(diǎn)，得pgad，由（1）知bgad，pg平面pgb，bg平面pgb，pgbg=g，所以ad平面pgb，因?yàn)閜b平面pgb，所以adpb.（

28、3）解 當(dāng)f為pc的中點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足平面def平面abcd.證明如下：取pc的中點(diǎn)f，連接de、ef、df，在pbc中，fepb，在菱形abcd中，gbde，而fe平面def，de平面def，efde=e，所以平面def平面pgb，因?yàn)閎g平面pad，所以bgpg又因?yàn)閜gad，adbg=g，pg平面abcd，而pg平面pgb，所以平面pgb平面abcd，所以平面def平面abcd.點(diǎn)評(píng)：（1）線面垂直可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為線線垂直來(lái)證明；（2）探求符合要求的點(diǎn)，可通過(guò)先構(gòu)造垂直的特殊位置上的點(diǎn)或線，然后驗(yàn)證其是否符合條件，如果符合要求，則反過(guò)來(lái)直行證明.變式訓(xùn)練：（2010江寧區(qū)模擬）如圖所示，在直四棱

29、柱abcda1b1c1d1中， db=bc，dbac，點(diǎn)m是棱bb1上一點(diǎn).（1）求證：b1d1/平面a1bd；（2）求證：mdacabcda1b1c1d1mnn1o（3） 試確定點(diǎn)m的位置，使得平面dmc1平面cc1d1d解析：（1）b1d1/bd 而bd平面a1bd，bd平面a1bd， b1d1/平面a1bd.（2）ac平面b1bd而md平面b1bd， mdac.（3）當(dāng)點(diǎn)m為棱bb1的中點(diǎn)時(shí)，可使得平面dmc1/平面cc1d1d取dc的中點(diǎn)n，d1c1的中點(diǎn)n1，連結(jié)nn1交dc1于o，連結(jié)om.n是dc的中點(diǎn)，bd=bcbndc又平面abcd平面dcc1d1=dc,平面abcd平面dc

30、c1d1，bn平面dcc1d1.又可知o是nn1的中點(diǎn)，bm/on且bm=on，即bmon是平行四邊形，bn/omom平面cc1d1d又om平面dmc1，平面dnc1平面cc1d1d.題型三 線面角的求法例3 如圖所示，在四棱錐pabcd中，底面為直角梯形，adbc，bad=90，pa底面abcd，且pa=ad=ab=2bc，m、n分別為pc、pb的中點(diǎn).（1）求證：pbdm；（2）求bd與平面admn所成的角.分析：線面角關(guān)鍵是找出直線bd在平面admn內(nèi)的射影，即只要找出過(guò)直線bd上某一點(diǎn)且和平面admn垂直的垂線問(wèn)題便迎刃而解！解析：（1）n是pb的中點(diǎn)，pa=pb，anpb.bad=9

31、0，adab.pa平面abcd，paad.paab=a，ad平面pab，adpb.又adan=a，pb平面admn.dm平面admn，pbdm.（2）連接dn，pb平面admn，bd在平面admn上的射影為nd，bdn是bd與平面admn所成的角，在rtbdn中，sinbdn=，bdn=30,即bd與平面admn所成的角為30.點(diǎn)評(píng)：作出直線和平面所成角的關(guān)鍵是作垂線，找射影變式訓(xùn)練：abc和dbc所在平面互相垂直，且abbcbd，abcdbc120求ad與平面dbc所成的角；abdce解析：作aebc交bc的延長(zhǎng)線于e，由面abc面bcd知ae平面bcd，ade即為所求，在abe中，abc=

32、120abe=60，ae=，同理在bde中，de=,則ae=de，則ade45,即ad與平面dbc所成的角為45.題型四 點(diǎn)到平面的距離例5 （2010江蘇高考題）如圖，在四棱錐p-abcd中，pd平面abcd，pd=dc=bc=1，ab=2，abdc，bcd=900.(1) 求證：pcbc；(2) 求點(diǎn)a到平面pbc的距離.分析：一方面可以通過(guò)abdc且ab=2dc，將點(diǎn)a到平面pbc的距離轉(zhuǎn)化為d到平面pbc的距離的2倍.過(guò)d作pc的垂線便可以解決；另一方面也可以運(yùn)用等體積法，將距離轉(zhuǎn)化為平面pbc上的高.（1）證明：因?yàn)閜d平面abcd，bc平面abcd，所以pdbc.由bcd=900，

33、得cdbc，又pddc=d，pd、dc平面pcd，所以bc平面pcd.因?yàn)閜c平面pcd，故pcbc.（2）（方法一）分別取ab、pc的中點(diǎn)e、f，連de、df，則：易證decb，de平面pbc，點(diǎn)d、e到平面pbc的距離相等.又點(diǎn)a到平面pbc的距離等于e到平面pbc的距離的2倍.由（1）知：bc平面pcd，所以平面pbc平面pcd于pc，因?yàn)閜d=dc，pf=fc，所以dfpc，所以df平面pbc于f.易知df=，故點(diǎn)a到平面pbc的距離等于.（方法二）體積法：連結(jié)ac.設(shè)點(diǎn)a到平面pbc的距離為h.因?yàn)閍bdc，bcd=900，所以abc=900.從而ab=2，bc=1，得的面積.由pd

34、平面abcd及pd=1，得三棱錐p-abc的體積.因?yàn)閜d平面abcd，dc平面abcd，所以pddc.又pd=dc=1，所以.由pcbc，bc=1，得的面積.由，得，故點(diǎn)a到平面pbc的距離等于.點(diǎn)評(píng)：求點(diǎn)到平面的距離的方法： 確定點(diǎn)在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作線面垂直及某些特殊性質(zhì) 轉(zhuǎn)化法即化歸為相關(guān)點(diǎn)到平面的距離或轉(zhuǎn)化為線面距或轉(zhuǎn)化為面面距來(lái)求.(3) 等體積法：利用三棱錐的體積公式，建立體積相等關(guān)系求出某底上的高，即點(diǎn)面距.高考新題零距離（2010山東高考題）在如圖所示的幾何體中，四邊形abcd是正方形，平面abcd，pdma，e、g、f分別為mb、pb、pc的中點(diǎn)，且ad

35、pd2ma.（1）求證：平面efg平面pdc；（2）求三棱錐pmab與四棱錐pabcd的體積之比.解析：(1)由已知平面abcd，pdma，所以平面abcd，又平面abcd，所以因?yàn)樗倪呅蝍bcd為正方形,所以又,因此，平面pdc在中，因?yàn)間、f分別為pb、pc的中點(diǎn)，所以gfbc，因此平面pdc又平面efg所以平面efg平面pdc（2）因?yàn)槠矫鎍bcd，四邊形abcd為正方形，不妨設(shè)ma1,則pdad2所以由于面mab，且pdma，所以da即為點(diǎn)p到平面mab的距離，三棱錐，所以：1：4.典型錯(cuò)誤警示1證明線面垂直時(shí)，容易忽視直線垂直與平面內(nèi)兩條直線相交的條件.如遺漏條件pccd=c,2找線

36、面角時(shí)不知道找線在平面內(nèi)的射影，關(guān)鍵是不知道找出平面的垂線.在求線面角時(shí),需要作、證、算三個(gè)步驟，同學(xué)們?cè)诮忸}過(guò)程中容易忽視“證”這個(gè)過(guò)程.如例3的第2問(wèn)的解答中，遺漏“pb平面admn，bd在平面admn上的射影為nd”這個(gè)環(huán)節(jié).典型錯(cuò)題反思反思是自覺(jué)地對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)進(jìn)行分析、總結(jié)、評(píng)價(jià)和調(diào)控的過(guò)程，是一種自我挑戰(zhàn)、自我完善和自我超越，是優(yōu)化解法、深化思維的有效手段，是高效的學(xué)習(xí)方法、最佳的糾錯(cuò)手段，是走出“題海”的最有效途徑. 請(qǐng)整理出本課時(shí)的典型錯(cuò)誤，找出錯(cuò)因，并從審題、知識(shí)、方法和策略的層面進(jìn)行反思！我的錯(cuò)題：錯(cuò)因：反思：學(xué)以致用 第三課時(shí) 線面垂直與面面垂直 基礎(chǔ)級(jí)1已知a平面, b

37、, 則a與b的位置關(guān)系是 答案：ab.解析：直線垂直于平面,則該直線垂直于平面內(nèi)所有直線.2.直線a與平面a斜交，則在平面a內(nèi)與直線a垂直的直線有 條.答案：無(wú)數(shù)條解析：直線a與平面a斜交，設(shè)斜足為，則過(guò)必可作一條直線l與直線a垂直，從而a內(nèi)與l平行的直線都與a垂直.3.(2010江蘇揚(yáng)州模擬卷) 給定空間中的直線l及平面a，條件“直線l與平面a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面a垂直”的_條件答案：必要非充分.解析：直線l與平面a內(nèi)平行線垂直時(shí)，直線l與平面a未必垂直.4.已知a、b是兩條不重合的直線, 、是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：若a,a,則；若，則；,a,b,則ab；若

38、，=a, =b，則ab.其中正確命題的序號(hào)是 .答案 解析 根據(jù)線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)可知正確.5.(2010年廣州市高三模擬)已知：直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直，：直線與平面垂直則是的_條件答案： 必要不充分解析： 當(dāng)直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條平行直線垂直, 則直線與平面未必垂直,但直線與平面垂直,則直線與平面內(nèi)所有直線垂直6.(2010南通模擬卷) 已知直線l，m，n，平面，則“”是“”的 條件.（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一） 答案：充分不必要.解析： 通過(guò)來(lái)證明,必須要具備m，n是平面的兩條相交直線.7（2010江蘇宿遷模擬）設(shè)為兩個(gè)不重合

39、的平面，是兩條不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：若，則；若相交且不垂直，則不垂直；若，則n；若，則其中所有真命題的序號(hào)是答案：解析：，又，則.8p是abc所在平面外一點(diǎn)，o是p點(diǎn)在平面a上的射影,若pa、pb、pc兩兩互相垂直，則o是abc的 心.答案：垂心. 解析：因?yàn)閜a、pb、pc兩兩互相垂直，所以pa平面pbc，所以pabc，又因?yàn)閛a是pa在面abc內(nèi)的射影，且bc在面abc內(nèi)，所以oabc，同理可得，obac，ocab，所以o是abc的垂心. 升華級(jí)9如圖, 正方體abcd-a1b1c1d1的棱長(zhǎng)為1，m、n分別為面對(duì)角線ad1、bd上的點(diǎn), 且am=bn=x .(1) 求證： mn

40、ad ；(2)當(dāng)x為何值時(shí), mn的長(zhǎng)取得最小值, 并求出這個(gè)最小值.解析： (1)在面ad1內(nèi)過(guò)m作mrad, 垂足為r , 則mr面abcd , 連結(jié)rn , 則rnad,過(guò)m、n分別作mqdd1 , npcd , 垂足分別為q、p, 因?yàn)閙d1=nd, 所以mq/rd/np, mq=rd=np, 故mnpq是平行四邊形, mn/pq , mn/平面cdd1c1.ad面cdd1c1 , qp面cdd1c1 , adpq , mn/pq , admn. (2) mn2=mr2+rn2=(x, 當(dāng)x =時(shí),即m、n分別為ad1、bd的中點(diǎn)時(shí), mnmin = .10如圖, 四棱錐p-abcd底

41、面為一直角梯形, baad , cdad , cd=2ab, pa面abcd, e為pc中點(diǎn).(1)證明： eb/面pad ； (2)若pa=ad , 證明be平面pdc.解析： (1)取pd中點(diǎn)q , 連aq、eqqe/cd , cd/ab，qe/ab , 又qe=cd=ab abeq是平行四邊形,be/aq , 又aq平面pad, be/平面pad (2)pa底面abcd , cdpa . 又cdad, cd平面pad , aqcd.若pa=ad , q為pd中點(diǎn), aqpd , aq平面pcd.be/aq , be平面pcd .11. (2010鹽城模擬)如圖，在直四棱柱中，分別是的中點(diǎn)

42、.a1b1c1abcd1def（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.解析：（1）連接ac，則ac，而分別是的中點(diǎn)，所以efac，則ef，故平面（2）因?yàn)槠矫?，所以，又，則平面又平面，所以平面平面我的錯(cuò)題：錯(cuò)因：反思：課時(shí)4 空間幾何體的表面積與體積考綱鏈接1.了解球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積公式；2會(huì)求直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的表面積和體積.【課前自主探究】 教材回歸基礎(chǔ)重現(xiàn)：1. 側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱, 把直棱柱的側(cè)面沿一條側(cè)棱剪開(kāi)后展在一個(gè)平面上, 展開(kāi)圖的面積就是棱柱的側(cè)面積，其公式是：s直棱柱側(cè)=_； 底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱. 長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、

43、寬、高分別為a、b、c , 則它的體積為： v長(zhǎng)方體=_ ；柱體的體積等于它的底面積s和高h(yuǎn)的積, 即v柱體 =_ .2. 如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形, 并且頂點(diǎn)在底面的正投影是_, 這樣的棱錐為正棱錐, 棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由各個(gè)側(cè)面組成的, 展開(kāi)圖的面積就是棱錐的側(cè)面積.其公式是：s正棱錐側(cè)=_（其中c是棱錐的底面周長(zhǎng)，是棱錐的斜高）； 錐體的體積： v錐體 =_,（其中s為錐體底面積, 高為h .）3. 正棱錐被平行于底面的平面所截, 截面和底之間的部分叫做正棱臺(tái)，其側(cè)面積公式是：s正棱臺(tái)側(cè)=_； （其中c，是分別棱臺(tái)的上、下底面周長(zhǎng)，是棱臺(tái)的斜高）；臺(tái)體的體積： v臺(tái)體 =_, 其中臺(tái)

44、體的上、下面積分別為s、s , h是臺(tái)體的高.4.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式：s圓柱側(cè) =_ s圓臺(tái)側(cè) =_ s圓錐側(cè) =_5.球體的體積： v球 =_, （其中r為球的半徑.）基礎(chǔ)重現(xiàn)答案：1. ch； abc； sh；2.底面中心； ；3. ；h(+s.4.c l； (c+c)l ； c l =.5. r3思維升華：1.常見(jiàn)幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖(1)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖的圖形是矩形.矩形的長(zhǎng)是_,寬是_.(2)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圖形是扇形.扇形的半徑是_,弧長(zhǎng)是_.(3) 圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖的圖形是扇環(huán).扇環(huán)的上下弧長(zhǎng)分別是_2棱錐中平行于底面的截面性質(zhì)（1）所截棱錐的側(cè)面與底面與原棱錐的側(cè)面與

45、底面相似，=_；=_思維升華答案：1. (1)底面圓的周長(zhǎng)； 圓柱的母線長(zhǎng)(2). 圓錐的母線長(zhǎng)； 圓錐的底面周長(zhǎng)；(3). 圓臺(tái)的上下底面的周長(zhǎng).2. 直角三角形2. 對(duì)應(yīng)線段（高、底邊長(zhǎng)、斜高）的比的平方； 對(duì)應(yīng)線段（高、底邊長(zhǎng)、斜高）的比的立方. 基礎(chǔ)自測(cè)1.已知正方體外接球的半徑為,那么正方體的表面積等于 .答案 24解析 設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a,其外接球的直徑為該正方體的體對(duì)角線a,即=a, a=2, s=24.2（2010上海高考題）6.已知四棱椎的底面是邊長(zhǎng)為6 的正方形，側(cè)棱底面，且，則該四棱椎的體積是 .答案：96.解析：根據(jù)棱錐體積公式3.下列不正確的命題的序號(hào)是 .有兩個(gè)面平

46、行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體叫棱錐答案 解析 根據(jù)棱柱、棱錐的定義判斷.4.正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為3,則其體積為 .答案： 解析：底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，則正四棱錐高為，則正四棱錐的體積為5.如果圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角（圓錐軸截面中兩條母線的夾角）是 .答案 60解析設(shè)母線為l,底面半徑為r，則l=2r. =,母線與高的夾角為30.圓錐的頂角為60.【課堂師生共探】 經(jīng)典例題題型一 多面體的表面積及其

47、體積例1 如圖所示，三棱錐abcd一條側(cè)棱ad=8 cm，底面一邊bc=18 cm，其余四條棱的棱長(zhǎng)都是17 cm，求三棱錐abcd的體積.分析：可將該幾何體化整為零，過(guò)ad作直線bc的垂面，將該體積轉(zhuǎn)化為垂面面積與線段bc乘積的三分之一.解 取bc中點(diǎn)m，連接am、dm，取ad的中點(diǎn)n，連接mnac=ab=cd=bd，bcam，bcdm，又amdm=m，bc平面adm，bc=18，ac=ab=db=dc=17.am=dm=4，nmad，mn=8.sadm=mnad=88=32.vabcd=vbadm+vcadm=sadm（bm+cm）=3218=192（cm3）.點(diǎn)評(píng)：將不規(guī)則幾何體劃分為幾

48、個(gè)規(guī)則幾何體，是求復(fù)雜幾何體表面積和體積的有效途徑.變式訓(xùn)練：如圖所示，長(zhǎng)方體abcdabcd中，用截面截下一個(gè)棱錐cadd，求棱錐cadd的體積與剩余部分的體積之比.解析： 設(shè)長(zhǎng)方體底面adda面積為s，高為h，則它的體積為v=sh.而棱錐cadd的底面面積為s，高是h,因此，棱錐cadd的體積vcadd=sh. 余下的體積是sh-sh=sh.所以棱錐cadd的體積與剩余部分的體積之比為15.題型二 旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積例2 如圖所示,半徑為r的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑ab所在直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的表面積(其中bac=30)及其體積.分析：所得幾何體為球里面挖去同底的兩

49、個(gè)圓錐，求其表面積只要求出兩個(gè)圓錐的底面半徑和母線長(zhǎng)，體積可以用球的體積減去上下圓錐的體積.解 如圖所示,過(guò)c作co1ab于o1,在半圓中可得bca=90,bac=30,ab=2r,ac=r,bc=r,co1=r,s球=4r2,=rr=r2,=rr=r2,s幾何體表=s球+=r2+r2=r2,旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的表面積為r2.又v球=r3,=ao1co12=r2ao1=bo1co12=bo1r2v幾何體=v球-（+）=r3-r3=r3.點(diǎn)評(píng)：正確判斷旋轉(zhuǎn)體的形狀是解決問(wèn)題的前提，求旋轉(zhuǎn)體的表面積，要充分利用其軸截面及側(cè)面展開(kāi)圖.變式訓(xùn)練：如圖所示，扇形的中心角為90，其所在圓的半徑為r，弦ab將扇形分成兩個(gè)部分，這兩部分各以ao為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積v1和v2之比為 .答案 11解析： rtaob繞oa旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為圓錐，其體積v1=r3，扇形繞oa旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為半球，其體積v=r3，v2=v-v1=r3-r3=r3，v1v2=11.題型三 組合體的表面積及其體積例3 如圖所示，在等腰梯形a