平行四邊形的性質(zhì)和判定優(yōu)能春季初二同步教材

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第九講 平行四邊形的性質(zhì)和判定知識要點平行四邊形的定義：(1) 定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.(2) 表示：平行四邊形用符號“ 二”來表示.如圖，在四邊形 ABCD中, AB/ DC AD/ BC,那么四邊形 ABCD是平行四邊形.平行四邊形 ABCD己作“二ABCD,讀 作“平行四邊形 ABCD.注意：平行四邊形中的對邊是指無公共點的邊，對角是指不相鄰的角，鄰邊是指有公共端點的邊，鄰角是指有一條公共邊的兩個角而三角形的對邊是指一個角的對邊，對角是指一條邊的對角平行四邊形的性質(zhì)(1) 邊：平行四邊形的對邊平行且相等.(2) 角：平行四邊形的對角相等.(3) 對角

2、線：平行四邊形的對角線互相平分.(4) 對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點為對稱中心.平行四邊形的判定方法(1)定義識別：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.(2)用平行四邊形的判定定理識別：判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.判定定理：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.三角形中位線(1)定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線每個三角形都有三條中位線.(2)三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.第一部分：平行四邊形的性質(zhì)1【例1】 在平行四邊形 ABCD中，已知/ A=

3、40,則/ B=，/ C=，/ D=.【例 2在一“二亠中，/ A / B= 2: 3,則/ B=，/ C=，/ D=.【例3若一個平行四邊形相鄰的兩內(nèi)角之比為2： 3，則此平行四邊形四個內(nèi)角的度數(shù)分別為 【例4 如圖，在6ECD中，/ b= 120, DEL AB,垂足為E, DF丄BC,垂足為F.求/ ADE / EDF, / FDC的度 數(shù).第二部分：平行四邊形的性質(zhì)2【例5】 在平行四邊形 ABCD中，已知AB= 8,周長等于24，貝U BC=,CB, AB.【例6】 已知二讓門的周長為28cm, AB: BC= 3: 4,則AB=,BC=, C*, At.【例7】 6BCD中，周長為

4、20cm,對角線AC交BD于點O,A OAB比厶OBC的周長多4，則邊AB=BC=.【例8】 平行四邊形的邊長等于 5和7,這個平行四邊形銳角的平分線把長邊分成兩條線段長各是 .【例9】 如圖，在二ABCD中, EF/AB , GH/AD, EF與GH交于點O,則該圖中的平行四邊形的個數(shù)共有()A. 7 個 B. 8 個 C. 9 個 D. 11 個【例10】已知平行四邊形的三個頂點的坐標(biāo)分別為0( 0, 0)、A( 2, 0 )、B( 1, 1),則第四個頂點 C的坐標(biāo)是多少?【例11】 如圖，EF過口 ABCD的對角線的交點 O,交AD于E,交BC于F,若AB= 4, BC= 5, OE=

5、 1.5，那么四邊形EFCD的周長是()A.16B.14C.12D.10【例12】如圖，等邊三角形ABC的邊長為a, P為厶ABC內(nèi)一點，且PD/AB,PE/BC,PF/ AC,那么，PD+PE+PF勺值為一個定值.這個定值是多少？請你說出這個定值的來歷【例13】已知，如圖，在ABC中,BD是/ ABC的平分線，DE/BC交AB于E, EF/ AC交BC于F,貝UBE= FC,為什么？第三部分：平行四邊形的性質(zhì)3【例14】一個平行四邊形的一邊長是 8，一條對角線長是 6,則它的另一條對角線 x的取值范圍為 【例15】 如圖，在平行四邊形 ABCD中，已知對角線 AC和BD相交于點0, A0B的

6、周長為15, AB= 6,那么對 角線AC和BD的和是多少？【例16】如圖，已知QAECD的周長為60 cm,對角線AC BD相交于點0, A0B的周長比厶B0C的周長長8cm,求這個四邊形各邊長.【例17】如圖，如果 A0B與 A0D的周長之差為 8,而AB： AD= 3 : 2，那么 二乩二的周長為多少?第四部分：平行四邊形的面積=底乂高【例18】平行四邊形兩鄰邊分別是 4和6，其中一邊上的高是 3,則平行四邊形的面積是 .【例19】平行四邊形鄰邊長是 4 cm和8cm, 邊上的高是5 cm，則另一邊上的高是 .【例 20】 在中，/ A= 30 , AB= 7 cm , AD）= 6 c

7、m，則 虹匚口 =.【例21】 如圖，UAECD中，對角線AC長為10 cm, / CAB= 30 , AB長為6 cm,則口肛CD的面積是【例22】已知平行四邊形 ABCD的周長為36cm,過D作AB, BC邊上的高DE、DF,且 .； cm,甘廠求平行四邊形ABCD勺面積.【例23】如圖，在平行四邊形 ABCD中，過對角線 BD上一點P,作EF/ BC, HG/ AB,若四邊形 AEPH和四邊形CFPG的面積分另為S!和S?，則S,與S,的大小關(guān)系為（）A. S仁S2 B . S1 S2 C. S1 v S2 D .不能確定【例24】國家級歷史文化名城一一襄樊， 風(fēng)光秀麗，花木蔥蘢.某廣場

8、有一個形狀是平行四邊形的花壇（如圖），分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、紫A.紅花、綠花種植面積一定相等B.紫花、橙花種植面積一定相等C.紅花、藍(lán)花種植面積一定相等D.藍(lán)花、黃花種植面積一定相等6種顏色的花.如果有 AB/ EF/ DC,BC/ GH/ AD,那么下列說法中錯誤的是（【例25】如圖，毛梁村有一口呈四邊形的池塘，在它的四個角A、B C、D處均種有一棵大桃樹毛梁村準(zhǔn)備開挖池塘建養(yǎng)魚池，想使池塘面積擴(kuò)大一倍，又想保持桃樹不動，并要求擴(kuò)建后的池塘成平行四邊形的形狀，請問 毛梁村能否實現(xiàn)這一設(shè)想？若能，請你設(shè)計并畫出圖形；若不能，請說明理由（畫圖工具不限，要保留痕跡并簡要說明畫法）。第五部分：

9、平行四邊形判定1【例26】如圖，在 ABC中，DE/ AB, FD/ BC, EF/ AC,則下列說法中正確的有（）個 圖中共有三個平行四邊形； AF=BF, CE=BE AD=CDEF=DE=DF圖中共有三對全等三角形 【例27】下列結(jié)論正確的是（）A. 對角線相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形B. 邊長為5cm,兩條對角線長分別是 4cm和6cm的四邊形是平行四邊形C. 一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形D. 對角線相等的四邊形是平行四邊形【例28】AB如圖所示，/仁/ 2,/ 3=/ 4,問四邊形 ABCD是不是平行四邊形.【例29】如圖，在口ABCD中，E、F分別是BC

10、 AD上的點，且 AE/ CF, AE與CF相等嗎？說明理由4fD血EC【例30】如圖，平行四邊形ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點，連結(jié)AN、DN、BM、CM,且AN、BM交于點P, CM、DN交于點Q.四邊形MGNP是平行四邊形嗎？為什么？【例33】第六部分：平行四邊形判定【例31】能識別四邊形ABCD是平行四邊形的題設(shè)是（）A. AB/ CD, AD=BCB. / A=/ B,/ C=/ DC. AB=CD AD=BCD. AB=AD CB=CD【例32】一個四邊形的邊長依次為 a , b , c , d,且a2+b2+c2+d2= 2ac+2bd ,則這個四邊形是在？ABCD中,

11、分別以 AD BC為邊向內(nèi)作等邊厶ADE和等邊 BCF連接 BE、DF.求證：四邊形 BEDF是平行四邊形.【例34】如圖，分別以厶ABC的三邊為邊長，在BC的同側(cè)作等邊三角形 ABD等邊三角形BCE等邊三角形ACF連接DE EF.求證：四邊形 ADEF是平行四邊形.第七部分：平行四邊形判定 3【例35】如圖，在 ABC中，BD、。丘是厶ABC的中線，BD與CE相交于點0,點F、G分別是BO、CO的中點,連接A0.若A0=6cm，BC=8cm,則四邊形 DEFG的周長是（）A. 14cm B. 18cm C. 24cm D. 28cm【例36】 已知E、F、G H分別為平行四邊形 ABCD各邊

12、的中點，則四邊形 EFGH為.11【例37】 如圖，ABCD中，E、F分別在BA、DC的延長線上，且AE AB,CF=CD,AF和CE的關(guān)系如何?22說明理由【例38】如圖,H是口 ABCD寸角線上的點，且 AG= CH E、F分別是AB, CD的中點.求證：四邊形 EHFG是平行四邊形【例39】如圖，已知，平行四邊形 ABCD中, AE=CF M N分別是DE、BF的中點.求證：四邊形MFNE!平行四邊形.【例40】如圖，已知四邊形 ABCD為平行四邊形，AE!BD于E, CF丄BD于F.(1) 求證：BE=DF(2) 若M、N分別為邊AD BC上的點，且 DM=BN試判斷四邊形 MEN啲形

13、狀(不必說明理由)ABOE【例41】已知：如圖，在？ABCD中，對角線 AC交BD于點O,四邊形AODE1平行四邊形.求證：四邊形四邊形DCOE都是平行四邊形.【例42】如圖，在四邊形 ABCD中, AB=CD BF=DE AE! BD, CF丄BD,垂足分別為 E, F.(1) 求證： ABEA CDF(2) 若AC與 BD交于點 O 求證：AO=CO【例43】如圖，已知 ABC是等邊三角形，點 D F分別在線段BC AB上，/ EFB=60 , DC=EF(1)求證：四邊形 EFCD是平行四邊形;(2)若 BF=EF,求證：AE=AD【例44】如圖所示，已知四邊形 ABCD是平行四邊形，在

14、 AB的延長線上截取 BE=?AB BF=BQ連接CE DF,相交于點M.求證：CD=CM第八部分：平行四邊形判定 4【例45】下面列舉的平行四邊形的判定條件中，不正確的一個是（）A 兩組對邊分別相等B 兩組對角分別相等C 一組對邊平行，一組對角相等D 一組對邊平行，另一組對邊相等【例46】下面判定四邊形是平行四邊形的方法中，錯誤的是（）A. 組對邊平行，另一組對邊也平行B. 組對角相等，另一組對角也相等C. 一組對邊平行，一組對角相等D. 組對邊平行，另一組對邊相等【例47】已知：四邊形 ABCD / A=Z C,Z B=Z D,求證：四邊形ABCD是平行四邊形。第九部分:平行四邊形判定5【

15、例48】延長 ABC的中線 AD至E,使DE=AD連接 BE CE,則ABCE ACBE.【例49】不能判定四邊形 ABCD是平行四邊形的條件是（A. AB=CDAD=BC B . AB/ CD AB=CD C . AB=CD AD/ BCD . AB/ CD AD/ BC【例50】如圖，平行四邊形 ABCD E、F兩點在對角線 BD上 ,且BE=DF 連接 AE EC, CF, FA.求證：四邊形 AECF是平行四邊形.【例51】已知：如圖，AD/ BC, ED/ BF,且AF= CE求證：四邊形 ABCD是平行四邊形.【例52】如圖，在口 ABCD中，0是對角線 AC BD的交點，BEX

16、AC,DF丄AC,垂足分別為E、F.那么0E與OF是否相等？為什么?【例53】已知：如圖，二ABCD勺對角線AC BD交于點0, E、F是AC上的兩點，并且 AE=CF求證：四邊形BFDE是平行四邊形.【例54】如圖，口 ABCD勺對角線 AC BD交于0, EF過點0交AD于E,交BC于F, G是0A的中點，H是0C的中點，四邊形 EGFH是平行四邊形，說明理由【例55】 如圖，已知 D是厶ABC的邊AB上一點，CE/ AB DE交AC于點0,且0A=0C猜想線段 CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.第十部分：三角形中位線的應(yīng)用【例56】如圖所示，DE是 ABC的中位線，BC=8

17、貝U DE=:【例57】如圖所示，在口 ABCD中,對角線AC, BD交于點O, 0E/ BC交CD?于 E, ?若0E=3cm則AD的長為（）.A. 3cm B . 6cm C . 9cm D . 12cm【例58】如圖所示，在 ABC中，AC=6cm BC=8cm AB=10cm D, E, F分別是 AB BC, CA的中點，求 DEF的面積.【例59】 如圖所示,A, B兩點被池塘隔開，在 A, B外選一點C,連接AC和BC,并分別找出AC和BC的中點M N 如果測得MN=20m那么A B兩點間的距離是多少？【例60】如圖：已知D、E、F分別是 ABC各邊的中點,求證：AE與DF互相平

18、分.BE C【例61】如圖所示，在四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD的中點，？則四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么?【例62】如圖，已知四邊形 ABCD中，點E, F, G, H分別是AB CD AC BD的中點，并且點 E、F、G H有在同一條直線上.求證：EF和GH互相平分.【例63】如圖所示，在四邊形 ABCD中, DC/ AB以AD, AC為邊作口 ACED延長DC技EB于F,求證：EF=FB【例64】如圖所示，已知 E為口 ABCD中 DC邊的延長線上的一點，且CE=DC連接AE,分別交BC, BD于點F，G,連接 AC交BD于點0,連接0F,求證：AB=

19、2OF【例65】如圖所示，在ABCD中 ,EF/ AB且交BC于點E,交AD于點F ,連接AE,BF?交于點 M連接CF,DE1交于點 N,求證：MIN/ AD且MNAD2第十一部分：綜合題【例66】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知0為原點，四邊形ABCD為平行四邊形，A、B、C的坐標(biāo)分別是 A(-3,:, B (- 2 , 3 匸)，C (2 , 3 二)，點 D在第一象限.(1)求D點的坐標(biāo);(2)將平行四邊形 ABCD先向右平移 佢個單位長度，再向下平移 血個單位長度所得的四邊形 ABCD四個頂點的坐標(biāo)是多少？ABCD與四邊形 ABCD重疊部分的面積?(3)求平行四邊形【例67】 已知：如

20、圖，在梯形 ABCD中, AD/ BQ AD=24cm BC=30cm點P自點A向D以1cm/s的速度運動，到D點即停止.點 Q自點C向B以2cm/s的速度運動，到 B點即停止，直線 PQ截梯形為兩個四邊形.問當(dāng)P, Q同時出發(fā)，幾秒后其中一個四邊形為平行四邊形？【例68】如圖，在直角梯形 ABCD中, AB/ CD, / BCD=90, AB=AD=10cm BC=8cm點P從點A出發(fā)，以每秒3cm的速度沿折線 ABCD方向運動，點 Q從點D出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段 DC方向向點C運動.已知動點 P、Q 同時發(fā)，當(dāng)點 Q運動到點C時，P、Q運動停止，設(shè)運動時間為 t .(1) 求 CD

21、的長;(2) 當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時，求四邊形PBQD勺周長；(3) 在點P、點Q的運動過程中，是否存在某一時刻，使得 BPQ的面積為20cm2?若存在，請求出所有滿足條件 的t的值；若不存在，請說明理由.1. 如圖所示，在平行四邊形ABC中，對角線AC BD交于點O下列式子中一定成立的是( )A . AC_ BD B . OA=OC C . AC=BD D . AO=OD2. 如圖，平行四邊形的周長為 28cm，厶ABC的周長是22cm，則AC的長為()A. 6cm B . 12cm C. 4cm D . 8cm3.如圖,在平行四邊形 ABCD中,AD=5 AB=3 AE平分/ BAD交BC邊于點E,則線段BE EC的長度分別為A. 2 和 3 B . 3 和 2 C4.平行四邊形ABCD中,.A : B: . C: . D的值可以是A. 4: 3: 3: 4B . 7: 5: 5: 7 C . 4: 3: 2: 1D . 7: 5: 7: 55. 如圖，在平行四邊形 ABCD中，延長BA至E,下列各式不一定成立的是 （）A. 1+. 2=180B . . 2+. 3=180C. 3+. 4=180