平行四邊形的性質(zhì)和判定優(yōu)能春季初二同步教材

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第九講 平行四邊形的性質(zhì)和判定知識(shí)要點(diǎn)平行四邊形的定義：(1) 定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.(2) 表示：平行四邊形用符號(hào)“ 二”來(lái)表示.如圖，在四邊形 ABCD中, AB/ DC AD/ BC,那么四邊形 ABCD是平行四邊形.平行四邊形 ABCD己作“二ABCD,讀 作“平行四邊形 ABCD.注意：平行四邊形中的對(duì)邊是指無(wú)公共點(diǎn)的邊，對(duì)角是指不相鄰的角，鄰邊是指有公共端點(diǎn)的邊，鄰角是指有一條公共邊的兩個(gè)角而三角形的對(duì)邊是指一個(gè)角的對(duì)邊，對(duì)角是指一條邊的對(duì)角平行四邊形的性質(zhì)(1) 邊：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等.(2) 角：平行四邊形的對(duì)角相等.(3) 對(duì)角

2、線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分.(4) 對(duì)稱性：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心.平行四邊形的判定方法(1)定義識(shí)別：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.(2)用平行四邊形的判定定理識(shí)別：判定定理：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.判定定理：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.判定定理：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.三角形中位線(1)定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線每個(gè)三角形都有三條中位線.(2)三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.第一部分：平行四邊形的性質(zhì)1【例1】 在平行四邊形 ABCD中，已知/ A=

3、40,則/ B=，/ C=，/ D=.【例 2在一“二亠中，/ A / B= 2: 3,則/ B=，/ C=，/ D=.【例3若一個(gè)平行四邊形相鄰的兩內(nèi)角之比為2： 3，則此平行四邊形四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為 【例4 如圖，在6ECD中，/ b= 120, DEL AB,垂足為E, DF丄BC,垂足為F.求/ ADE / EDF, / FDC的度 數(shù).第二部分：平行四邊形的性質(zhì)2【例5】 在平行四邊形 ABCD中，已知AB= 8,周長(zhǎng)等于24，貝U BC=,CB, AB.【例6】 已知二讓門的周長(zhǎng)為28cm, AB: BC= 3: 4,則AB=,BC=, C*, At.【例7】 6BCD中，周長(zhǎng)為

4、20cm,對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)O,A OAB比厶OBC的周長(zhǎng)多4，則邊AB=BC=.【例8】 平行四邊形的邊長(zhǎng)等于 5和7,這個(gè)平行四邊形銳角的平分線把長(zhǎng)邊分成兩條線段長(zhǎng)各是 .【例9】 如圖，在二ABCD中, EF/AB , GH/AD, EF與GH交于點(diǎn)O,則該圖中的平行四邊形的個(gè)數(shù)共有()A. 7 個(gè) B. 8 個(gè) C. 9 個(gè) D. 11 個(gè)【例10】已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為0( 0, 0)、A( 2, 0 )、B( 1, 1),則第四個(gè)頂點(diǎn) C的坐標(biāo)是多少?【例11】 如圖，EF過(guò)口 ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn) O,交AD于E,交BC于F,若AB= 4, BC= 5, OE=

5、 1.5，那么四邊形EFCD的周長(zhǎng)是()A.16B.14C.12D.10【例12】如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a, P為厶ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PD/AB,PE/BC,PF/ AC,那么，PD+PE+PF勺值為一個(gè)定值.這個(gè)定值是多少？請(qǐng)你說(shuō)出這個(gè)定值的來(lái)歷【例13】已知，如圖，在ABC中,BD是/ ABC的平分線，DE/BC交AB于E, EF/ AC交BC于F,貝UBE= FC,為什么？第三部分：平行四邊形的性質(zhì)3【例14】一個(gè)平行四邊形的一邊長(zhǎng)是 8，一條對(duì)角線長(zhǎng)是 6,則它的另一條對(duì)角線 x的取值范圍為 【例15】 如圖，在平行四邊形 ABCD中，已知對(duì)角線 AC和BD相交于點(diǎn)0, A0B的

6、周長(zhǎng)為15, AB= 6,那么對(duì) 角線AC和BD的和是多少？【例16】如圖，已知QAECD的周長(zhǎng)為60 cm,對(duì)角線AC BD相交于點(diǎn)0, A0B的周長(zhǎng)比厶B0C的周長(zhǎng)長(zhǎng)8cm,求這個(gè)四邊形各邊長(zhǎng).【例17】如圖，如果 A0B與 A0D的周長(zhǎng)之差為 8,而AB： AD= 3 : 2，那么 二乩二的周長(zhǎng)為多少?第四部分：平行四邊形的面積=底乂高【例18】平行四邊形兩鄰邊分別是 4和6，其中一邊上的高是 3,則平行四邊形的面積是 .【例19】平行四邊形鄰邊長(zhǎng)是 4 cm和8cm, 邊上的高是5 cm，則另一邊上的高是 .【例 20】 在中，/ A= 30 , AB= 7 cm , AD）= 6 c

7、m，則 虹匚口 =.【例21】 如圖，UAECD中，對(duì)角線AC長(zhǎng)為10 cm, / CAB= 30 , AB長(zhǎng)為6 cm,則口肛CD的面積是【例22】已知平行四邊形 ABCD的周長(zhǎng)為36cm,過(guò)D作AB, BC邊上的高DE、DF,且 .； cm,甘廠求平行四邊形ABCD勺面積.【例23】如圖，在平行四邊形 ABCD中，過(guò)對(duì)角線 BD上一點(diǎn)P,作EF/ BC, HG/ AB,若四邊形 AEPH和四邊形CFPG的面積分另為S!和S?，則S,與S,的大小關(guān)系為（）A. S仁S2 B . S1 S2 C. S1 v S2 D .不能確定【例24】國(guó)家級(jí)歷史文化名城一一襄樊， 風(fēng)光秀麗，花木蔥蘢.某廣場(chǎng)

8、有一個(gè)形狀是平行四邊形的花壇（如圖），分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、紫A.紅花、綠花種植面積一定相等B.紫花、橙花種植面積一定相等C.紅花、藍(lán)花種植面積一定相等D.藍(lán)花、黃花種植面積一定相等6種顏色的花.如果有 AB/ EF/ DC,BC/ GH/ AD,那么下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（【例25】如圖，毛梁村有一口呈四邊形的池塘，在它的四個(gè)角A、B C、D處均種有一棵大桃樹毛梁村準(zhǔn)備開挖池塘建養(yǎng)魚池，想使池塘面積擴(kuò)大一倍，又想保持桃樹不動(dòng)，并要求擴(kuò)建后的池塘成平行四邊形的形狀，請(qǐng)問(wèn) 毛梁村能否實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想？若能，請(qǐng)你設(shè)計(jì)并畫出圖形；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由（畫圖工具不限，要保留痕跡并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫法）。第五部分：

9、平行四邊形判定1【例26】如圖，在 ABC中，DE/ AB, FD/ BC, EF/ AC,則下列說(shuō)法中正確的有（）個(gè) 圖中共有三個(gè)平行四邊形； AF=BF, CE=BE AD=CDEF=DE=DF圖中共有三對(duì)全等三角形 【例27】下列結(jié)論正確的是（）A. 對(duì)角線相等且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形B. 邊長(zhǎng)為5cm,兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是 4cm和6cm的四邊形是平行四邊形C. 一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形D. 對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形【例28】AB如圖所示，/仁/ 2,/ 3=/ 4,問(wèn)四邊形 ABCD是不是平行四邊形.【例29】如圖，在口ABCD中，E、F分別是BC

10、 AD上的點(diǎn)，且 AE/ CF, AE與CF相等嗎？說(shuō)明理由4fD血EC【例30】如圖，平行四邊形ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，連結(jié)AN、DN、BM、CM,且AN、BM交于點(diǎn)P, CM、DN交于點(diǎn)Q.四邊形MGNP是平行四邊形嗎？為什么？【例33】第六部分：平行四邊形判定【例31】能識(shí)別四邊形ABCD是平行四邊形的題設(shè)是（）A. AB/ CD, AD=BCB. / A=/ B,/ C=/ DC. AB=CD AD=BCD. AB=AD CB=CD【例32】一個(gè)四邊形的邊長(zhǎng)依次為 a , b , c , d,且a2+b2+c2+d2= 2ac+2bd ,則這個(gè)四邊形是在？ABCD中,

11、分別以 AD BC為邊向內(nèi)作等邊厶ADE和等邊 BCF連接 BE、DF.求證：四邊形 BEDF是平行四邊形.【例34】如圖，分別以厶ABC的三邊為邊長(zhǎng)，在BC的同側(cè)作等邊三角形 ABD等邊三角形BCE等邊三角形ACF連接DE EF.求證：四邊形 ADEF是平行四邊形.第七部分：平行四邊形判定 3【例35】如圖，在 ABC中，BD、。丘是厶ABC的中線，BD與CE相交于點(diǎn)0,點(diǎn)F、G分別是BO、CO的中點(diǎn),連接A0.若A0=6cm，BC=8cm,則四邊形 DEFG的周長(zhǎng)是（）A. 14cm B. 18cm C. 24cm D. 28cm【例36】 已知E、F、G H分別為平行四邊形 ABCD各邊

12、的中點(diǎn)，則四邊形 EFGH為.11【例37】 如圖，ABCD中，E、F分別在BA、DC的延長(zhǎng)線上，且AE AB,CF=CD,AF和CE的關(guān)系如何?22說(shuō)明理由【例38】如圖,H是口 ABCD寸角線上的點(diǎn)，且 AG= CH E、F分別是AB, CD的中點(diǎn).求證：四邊形 EHFG是平行四邊形【例39】如圖，已知，平行四邊形 ABCD中, AE=CF M N分別是DE、BF的中點(diǎn).求證：四邊形MFNE!平行四邊形.【例40】如圖，已知四邊形 ABCD為平行四邊形，AE!BD于E, CF丄BD于F.(1) 求證：BE=DF(2) 若M、N分別為邊AD BC上的點(diǎn)，且 DM=BN試判斷四邊形 MEN啲形

13、狀(不必說(shuō)明理由)ABOE【例41】已知：如圖，在？ABCD中，對(duì)角線 AC交BD于點(diǎn)O,四邊形AODE1平行四邊形.求證：四邊形四邊形DCOE都是平行四邊形.【例42】如圖，在四邊形 ABCD中, AB=CD BF=DE AE! BD, CF丄BD,垂足分別為 E, F.(1) 求證： ABEA CDF(2) 若AC與 BD交于點(diǎn) O 求證：AO=CO【例43】如圖，已知 ABC是等邊三角形，點(diǎn) D F分別在線段BC AB上，/ EFB=60 , DC=EF(1)求證：四邊形 EFCD是平行四邊形;(2)若 BF=EF,求證：AE=AD【例44】如圖所示，已知四邊形 ABCD是平行四邊形，在

14、 AB的延長(zhǎng)線上截取 BE=?AB BF=BQ連接CE DF,相交于點(diǎn)M.求證：CD=CM第八部分：平行四邊形判定 4【例45】下面列舉的平行四邊形的判定條件中，不正確的一個(gè)是（）A 兩組對(duì)邊分別相等B 兩組對(duì)角分別相等C 一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等D 一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等【例46】下面判定四邊形是平行四邊形的方法中，錯(cuò)誤的是（）A. 組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊也平行B. 組對(duì)角相等，另一組對(duì)角也相等C. 一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等D. 組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等【例47】已知：四邊形 ABCD / A=Z C,Z B=Z D,求證：四邊形ABCD是平行四邊形。第九部分:平行四邊形判定5【

15、例48】延長(zhǎng) ABC的中線 AD至E,使DE=AD連接 BE CE,則ABCE ACBE.【例49】不能判定四邊形 ABCD是平行四邊形的條件是（A. AB=CDAD=BC B . AB/ CD AB=CD C . AB=CD AD/ BCD . AB/ CD AD/ BC【例50】如圖，平行四邊形 ABCD E、F兩點(diǎn)在對(duì)角線 BD上 ,且BE=DF 連接 AE EC, CF, FA.求證：四邊形 AECF是平行四邊形.【例51】已知：如圖，AD/ BC, ED/ BF,且AF= CE求證：四邊形 ABCD是平行四邊形.【例52】如圖，在口 ABCD中，0是對(duì)角線 AC BD的交點(diǎn)，BEX

16、AC,DF丄AC,垂足分別為E、F.那么0E與OF是否相等？為什么?【例53】已知：如圖，二ABCD勺對(duì)角線AC BD交于點(diǎn)0, E、F是AC上的兩點(diǎn)，并且 AE=CF求證：四邊形BFDE是平行四邊形.【例54】如圖，口 ABCD勺對(duì)角線 AC BD交于0, EF過(guò)點(diǎn)0交AD于E,交BC于F, G是0A的中點(diǎn)，H是0C的中點(diǎn)，四邊形 EGFH是平行四邊形，說(shuō)明理由【例55】 如圖，已知 D是厶ABC的邊AB上一點(diǎn)，CE/ AB DE交AC于點(diǎn)0,且0A=0C猜想線段 CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.第十部分：三角形中位線的應(yīng)用【例56】如圖所示，DE是 ABC的中位線，BC=8

17、貝U DE=:【例57】如圖所示，在口 ABCD中,對(duì)角線AC, BD交于點(diǎn)O, 0E/ BC交CD?于 E, ?若0E=3cm則AD的長(zhǎng)為（）.A. 3cm B . 6cm C . 9cm D . 12cm【例58】如圖所示，在 ABC中，AC=6cm BC=8cm AB=10cm D, E, F分別是 AB BC, CA的中點(diǎn)，求 DEF的面積.【例59】 如圖所示,A, B兩點(diǎn)被池塘隔開，在 A, B外選一點(diǎn)C,連接AC和BC,并分別找出AC和BC的中點(diǎn)M N 如果測(cè)得MN=20m那么A B兩點(diǎn)間的距離是多少？【例60】如圖：已知D、E、F分別是 ABC各邊的中點(diǎn),求證：AE與DF互相平

18、分.BE C【例61】如圖所示，在四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD的中點(diǎn)，？則四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么?【例62】如圖，已知四邊形 ABCD中，點(diǎn)E, F, G, H分別是AB CD AC BD的中點(diǎn)，并且點(diǎn) E、F、G H有在同一條直線上.求證：EF和GH互相平分.【例63】如圖所示，在四邊形 ABCD中, DC/ AB以AD, AC為邊作口 ACED延長(zhǎng)DC技EB于F,求證：EF=FB【例64】如圖所示，已知 E為口 ABCD中 DC邊的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=DC連接AE,分別交BC, BD于點(diǎn)F，G,連接 AC交BD于點(diǎn)0,連接0F,求證：AB=

19、2OF【例65】如圖所示，在ABCD中 ,EF/ AB且交BC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F ,連接AE,BF?交于點(diǎn) M連接CF,DE1交于點(diǎn) N,求證：MIN/ AD且MNAD2第十一部分：綜合題【例66】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知0為原點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形，A、B、C的坐標(biāo)分別是 A(-3,:, B (- 2 , 3 匸)，C (2 , 3 二)，點(diǎn) D在第一象限.(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo);(2)將平行四邊形 ABCD先向右平移 佢個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移 血個(gè)單位長(zhǎng)度所得的四邊形 ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？ABCD與四邊形 ABCD重疊部分的面積?(3)求平行四邊形【例67】 已知：如

20、圖，在梯形 ABCD中, AD/ BQ AD=24cm BC=30cm點(diǎn)P自點(diǎn)A向D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到D點(diǎn)即停止.點(diǎn) Q自點(diǎn)C向B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到 B點(diǎn)即停止，直線 PQ截梯形為兩個(gè)四邊形.問(wèn)當(dāng)P, Q同時(shí)出發(fā)，幾秒后其中一個(gè)四邊形為平行四邊形？【例68】如圖，在直角梯形 ABCD中, AB/ CD, / BCD=90, AB=AD=10cm BC=8cm點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3cm的速度沿折線 ABCD方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段 DC方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).已知?jiǎng)狱c(diǎn) P、Q 同時(shí)發(fā)，當(dāng)點(diǎn) Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P、Q運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t .(1) 求 CD

21、的長(zhǎng);(2) 當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，求四邊形PBQD勺周長(zhǎng)；(3) 在點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得 BPQ的面積為20cm2?若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件 的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.1. 如圖所示，在平行四邊形ABC中，對(duì)角線AC BD交于點(diǎn)O下列式子中一定成立的是( )A . AC_ BD B . OA=OC C . AC=BD D . AO=OD2. 如圖，平行四邊形的周長(zhǎng)為 28cm，厶ABC的周長(zhǎng)是22cm，則AC的長(zhǎng)為()A. 6cm B . 12cm C. 4cm D . 8cm3.如圖,在平行四邊形 ABCD中,AD=5 AB=3 AE平分/ BAD交BC邊于點(diǎn)E,則線段BE EC的長(zhǎng)度分別為A. 2 和 3 B . 3 和 2 C4.平行四邊形ABCD中,.A : B: . C: . D的值可以是A. 4: 3: 3: 4B . 7: 5: 5: 7 C . 4: 3: 2: 1D . 7: 5: 7: 55. 如圖，在平行四邊形 ABCD中，延長(zhǎng)BA至E,下列各式不一定成立的是 （）A. 1+. 2=180B . . 2+. 3=180C. 3+. 4=180