平面向量及運(yùn)算復(fù)習(xí)

1、平面向量復(fù)習(xí)基本知識點(diǎn)及經(jīng)典結(jié)論總結(jié)1、向量有關(guān)概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）如已知A （1,2 ），B （ 4,2），則把向量 AB按向量I =（- 1,3）平移后得到的向量是（答：（3,0 ）(2)零向量：長度為0的向量叫零向量，記作： 0 ,注意零向量的方向是任意的(3)單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與AB共線的單位向量是AB)；|ab|(4)相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性;(5)平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的

2、非零向量a、b叫做平行向量，記作：a / b，規(guī)定零向量和任何向量平行提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念:兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合； 平行向量無傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?）;三點(diǎn)A、B、C共線二AB、AC共線;（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a的相反向量是一a。IIII如下列命題：（1）若a，則a =b。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。(3)若 aB =D?，貝U ABCD是平行四邊形。若abcd是平行四邊形，則后二視。（5） 若 a.b,M，則a麗。（6）

3、若ab,b：，則:。其中正確的是俗：(4) (5)2、向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；（2）符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如 a，b，c等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量 i為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a = xi yj = x, y，稱x, y為向量a的坐標(biāo)，a=x, y叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。3.平面向量的基本定理：如果e!和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù) 1、 2

4、，使 a=、e1+ 2e2。如(1)若 a =(1,1),b =1 r 3T(答：一 ab )； (2)下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是2 21 3B. =( -1,2), e2 =(5,7) C. =(3,5),生=(6,10) D. = (2, -3), 62=(,)(答：B)； (3)已知 AD,BE 分別是 ABC 的2 4(1,-1),C =(-1,2)，則 C 二A. ；=(0,0),： = (1,-2)邊BC, AC上的中線，且 AD二a,BE二b則BC可用向量a,b表示為2 4（答：一a b ）； （4）已知八ABC中，點(diǎn)D在BC邊上,3 3且 CD =2 DB，CD

5、 =r AB +sAC，貝U r + s 的值是(答：0)4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個向量，記作 a，它的長度和方向規(guī)定如下:（1杠a =i屮a,（2）當(dāng)九0時,a的方向與a的方向相同，當(dāng)o,且a、b不同向，a b,特別地,a *a2,a烏；當(dāng)a與b反向時,當(dāng)二為銳 0是二為銳角的必要非充分條件；當(dāng)71為鈍角時，a b 0且人式一）；（2）已知 OFQ的面積為S，且OF FQ =1 ,33若:S :2.?3，則OF , FQ夾角二的取值范圍是2Ji jitt(答：()；(3)已知 a =(cosx,sin x),b = (cosy,sin y), a與 b43之間有關(guān)系式ka b

6、 = 3怡-kb ,其中k 0，用k表示a b ;求a b的最小值，并求此時a與b的夾角v的大?。ù?4k亠11（k 0）；最小值為，二=60）26、向量的運(yùn)算：（1）幾何運(yùn)算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”:設(shè)AB =a,BC =b，那么向量AC叫做a與b的和，即a AB B AC ；向量的減法：用“三角形法則”:設(shè) ab 二 a,A?二 b,那么-rb由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如(1 )化簡： AB BC CD =; A-A -DC =.(AB _CD) _

7、(AC -BD)俗：AD ；cB :0)； (2)若正方形ABCD的邊長為1, AB=a,BC =電,兄 =1，俗:2罷)；(3)若o是L ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足OB _OC = OB OC _2A，則L ABC 的形狀為 (答：直角三角形)；(4)若D為:ABC的邊BC的中點(diǎn)，ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P ,滿足PA BPCP =0，設(shè)|AP = ，則的值為|PD|俗：2)；( 5)若點(diǎn)o是厶ABC的外心，且OA+OB+CO=0，則 ABC的內(nèi)角C為俗：120 )；(2)坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) a =(%,%),匕=(x2,y2)，則:向量的加減法運(yùn)算：a_b=(M _X2，力 _y2)。如(1)已

8、知點(diǎn) A(2,3), B(5,4)，C(7,10)，若 AP=AB ，AC(R)，1 1JT JT則當(dāng)人=時，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上(答： 一)；(2)已知A(2,3), B(1,4),且一 AB=(si n x,cos y)，x,y(二，二)，2 22 2的終點(diǎn)坐標(biāo)是it兀TTT(答：一或 )；(3)已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個力R = (3,4), F2 = (2,-5),F3 = (3,1)，則合力F = R亠F2亠F362(答:(9,1)實(shí)數(shù)與向量的積：a =x-!, y1 。若A(x1, y1), B(x2, y2)，則AB = x2 -x1 ,y2 -y 1 ，即一個向量

9、的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐1標(biāo)。如設(shè)A(2,3), B( -1,5)，且AC AB，AD =3 AB，則C、D的坐標(biāo)分別是3(答:(1,),(-7,9);十兀平面向量數(shù)量積：a= XrX2 + % y2。如已知向量 a =( sinx，cosx) , b =( sinx，sinx) , c =( - 1，0)。(1)若 x =3求向量a、c的夾角；(2)若x 向量的模：|a|= x2 y213)；3142y +2X-24 aIT42a=a b的最大值為1，求的值(答：(1)150;(2)-或2 -1)；2 2如已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a+3b|

10、 =俗:兩點(diǎn)間的距離：若A(n, y, ), B(x2, y2 )，則| AB |= J(x2 x! f +(y2 % f。如如圖，在平面斜坐標(biāo)系 xOy 中,-xOy =60：，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，貝U P點(diǎn)斜坐標(biāo)為(x, y)。(1)若點(diǎn)P的距離丨po |； (2)求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系 xOy中的方程。ye2，其中,色的斜坐標(biāo)為(2， 2)，求P到O(答：(1) 2； ( 2)x2y2 xy T = 0)；7、向量的運(yùn)算律：(1)交換律：a b a ，先:i.-a - a ，；(2)結(jié)合律：a b c= a

11、b c a-b-ca-,b c a *b = a *b = a * b呷 吟 呷 啤呷叩 F 呷啤 甲 吟T呷呷TTT TT TT亠 a= - a：；. ：a, a b= ar,b， a b *c = a *cb c。如下列命題中：a (b-c) = a b-a c:T T T T T T a (b c) =(a b) c :j j 2 2(a-b)2 =|a|2 2-2|a| |b|b| ；TTTT呻呻甲 T 耳若ab=0 ，則a=0或b=0 ；若ab=cb,則a=c ；a b+a（:b）2u；（爲(wèi)u: b2。其中正確的是（答：）切記兩向量不能相除（相約）；（2）向量的“乘法”提醒：（1）向

12、量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個實(shí)數(shù)，兩邊同時 取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量,不滿足結(jié)合律，即a（bc） = （a *b）c，為什么?&向量平行（共線）的充要條件：ab= ab=（; b）2 =（i；iibi）2= “ -皿=。如若向量a二（x,1）,b=他X），俗:時 a 與 b 共線且方向相同（答：2）；（2）已知 a=（1,1）,b=（4, x），j = a+2b，v = 2a + b，且 u/v，則 xTt4)； (3)設(shè) PA = (k,12), PB =(4,5), PC =(1

13、0,k)，則 k=時，a,b,c 共線(答：2 或 11)向量垂直的充要條件：a_b：=ab=0：=|a，b|=|a-b|二x1x2 y1 y2 = 0 .特另U地。如(1)已知 OA1,2),OL(3,m)，若 OA OB，則 m 二3（答：一）；（2）以原點(diǎn)2O和A（4,2）為兩個頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，ZB =90，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（答：（1,3）或（3, 1）；（ 3）已知 n = （a,b）,向，則m的坐標(biāo)是(答:(b, -a)或(-b, a)10.線段的定比分點(diǎn)：（1）定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線P,P2上異于P,、P 2的任意一點(diǎn)，若存在一個實(shí)數(shù)九，使RP =?lPP2，則人叫

14、做點(diǎn)P分有向線段RP2所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段rp2的以定比為 九的定比分點(diǎn);（2）-的符號與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段P1 P2上時二 0;當(dāng)P點(diǎn)在線段P1P2的延長線上時二 1;當(dāng)P點(diǎn)在線段P2P1的延長線上時1 丸 0 ；若點(diǎn)P分有向線段屋所成的比為九，則點(diǎn)P分有向線段N所成的比為丄。(答: 7)3如若點(diǎn)p分Ab所成的比為3，則a分規(guī)所成的比為xh由0P3 = OR (1 - ) 0P2得(t,t) = 二 1一 一二 二 1亠1 ,丄4，- . -1-，兩式相加得22 =0,二，-1W = -t9、(中 線性運(yùn)算)已知非零向量 e，e2, a , b滿足a = 2e - e

15、2, b - kei e2.(i)若e與e2不共線，a與b是共線，求實(shí)數(shù)k的值； (2)是否存在實(shí)數(shù)k,使得a與b不共線，e1與e2是共線？若存在，求出k的值,否則說明理由.解:(1)由 a = b，得2G-e2- kee2,而 e 與e2不共線，k =2k 二-2;若g與是共線 廁e2 = 1，有-,e?，a ,b 為非零向量匚且 j _k,ab，即ab，這時a與b共線，2_：； k k 二不存在實(shí)數(shù)k滿足題意.10、(坐標(biāo)運(yùn)算)已知向量 a = (sindcos ： - 2sin 二)，b = (2,1).1(1)若a b，求tanv的值；若a = b，：:：v :二，求二的值.1 解:因

16、為 a / b，所以 2sin v - cost -2si n v ,于是 4si nv - cost,故 tan4222由 a=b 知,sin v (cos v - 2si nr) =5,二 1-2si n2 v 4sin v - 5,從而-2sin 2v 2(1-cos2 v) = 4,即 sin2 v cos2v - -1. 1 2sin2 二 cos2v -1，即 sin4v - 0,，陽” k兀?！必；!- k 二，即,由一，得1 ： k : 4,k ：二 Z ,4444- k =2或3,即-或二二.2411、（線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算）已知0 ：. x ： 1,0 ： y ： 1 ,求

17、 Mx2y2x2(1 - y)2 + . (1 - x)2y2、. (1 - x)2(1 - y)2 的最小值.解:設(shè) A(0,0), B(1,0),C(1,1),D(0,1) ,P(x,y),則I =| PA 彳 PD PB PC = ( PA f PC) + ( PB| PD1) =(Ap PC) (BP PD)Ap Pc -|bP PD=Ac BD.而 AC =(1,1),BD =( -1,1),得 AC二 2=2.2 .IT T T與PD同向時取等號，設(shè)PC = AP, PD =BP , M _2.2，當(dāng) AP 與PC 同向,BP與 PD1則 1 x =，x,1 _ y = y, _x

18、 =-,1 _ y = Jy,解得=1,x = y= _2所以，當(dāng)x = y =丄時，M的最小值為2、2 .212、（線性運(yùn)算）已知A、B、C不在同一直線上，若OA OB OC = O, S.ABC =3，試求 AOB的面積.解:以 OA、OB為鄰邊作6OBD,設(shè)AB與OD交于點(diǎn)E,則OArTT TTTi又 OA OB OC =O,得 OA OB 二-OC , OD 二-OC . C O、D三點(diǎn)共線，且1 1oeAQdIuJocIjIoe|CE .3B作CM AB于點(diǎn)m, ON AB于點(diǎn)n.OEONCE -CM則1 . S建OB _ 23 S ABC 1 AB CM-AB ONONCM1 1S

19、 AOB - 3 S ABC - 33 -1 .=b,則 a b =()13、（數(shù)量積）已知正 ABC的邊長為1,且BCc.D.1解析：答案為A。由題意知a 與 b的夾角為 180 60： =120,且 a = b =1,二 a b = a b cos12014、（投影概念）已知a =5,1=，二 a2b =3,且a b = -12,則向量a在向量b上的投影等于（2-b = a2 + b2 -2a b = 3n12A.5B.412C.-5解析：答案為Do向量a在向量b上的投影等于a cos6 =15、（數(shù)量積）給定兩個長度為1的平面向量OA和OB ,它們的夾角為90如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的

20、圓弧AB上變動,若T T TOC = xOA yOB，其中x, y R，則xy的范圍是解析：答案為0, 。由 OC 二 xOA yOB 二 OCx2OAy2D. -42xyOA OB,ab = 、32oba b 3a b-12a =又而點(diǎn)c在以o為圓心的圓弧1=0 ,二 1 = x2y2 - 2xy，得 xy ,21 上變動，得 x, y 0,1汙是0豈xy .216、（應(yīng)用舉例）設(shè)向量a, b滿足:| a |=3,| b| = 4, ab= 0.以 a , b , a+b為邊長構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個數(shù)最多為 解析：答案為4?？傻胊 + b = Ja呻bT2b = 5,設(shè)該三角形內(nèi)切圓的半徑為 r,則(4 r) (3 - r) = 5= r = 1,二對于半徑為1的圓有一個位置是正好是三角形的內(nèi)切圓，此時只有三個交點(diǎn)，對于圓的位置稍作移動，則能實(shí)現(xiàn)4個交點(diǎn)，但不能得到5個以上的交點(diǎn).OA = (1, 1) ,0B 二(cost , sin 二)(寫出 i 個即可),F因?yàn)?OA _ OB，所以 OA OB = 0，即 cost sin)- 0,解亍，所以O(shè)Bt#,#). OA