2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題提升訓(xùn)練一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題含解析202103011105

1、一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題【例1】.如圖，直線l：y=ax+b交 x軸于點A(3，0)，交 y軸于點B(0，-3)，交反比例函數(shù)y =于第一象限的點P，點P的橫坐標(biāo)為4.（1）求反比例函數(shù)y =的解析式；（2）過點P作直線l的垂線l1，交反比例函數(shù)y=的圖象于點C，求OPC的面積.【答案】見解析.【解析】解：（1）y=ax+b 交 x軸于點A(3，0)，交 y軸于點 B(0，-3)，3a+b=0，b=3，解得：a=1，即l1的解析式為：y=x3，當(dāng)x=4時，y=1，即P（4,1），將P點坐標(biāo)代入y=得：k=4，即反比函數(shù)的解析式為：y=；（2）設(shè)直線l1與x軸、y軸分別交于點E，D，OA=OB

2、=3，OAB=OBA=45，ll1，DPB=90，ODP=45，設(shè)直線l1的解析式為：y=x+b，將點P(4,1)代入得：b=5，聯(lián)立：y=x+5，y=，解得：x=1，y=4或x=4，y=1，即C(1,4)，SOPC=SODESOCDSOPE=555151=.【變式1-1】.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O與坐標(biāo)原點重合，A，C分別在坐標(biāo)軸上，點B的坐標(biāo)為（4，2），直線y=x+3交AB，BC于點M，N，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點M，N（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）若點P在x軸上，且OPM的面積與四邊形BMON的面積相等，求點P的坐標(biāo)【答案】見解析.【解析】解：（1）B（4,2），四

3、邊形OABC為矩形，OA=BC=2，在y=x+3中，y=2時，x=2，即M(2,2),將M（2，2）代入得：k=4，反比例函數(shù)的解析式為：.（2）在中，當(dāng)x=4時，y=1，即CN=1，S四邊形BMON=S矩形OABCSAOMSCON=422241=4，SOPM=4，即OPOA=4，OA=2，OP=4，點P的坐標(biāo)為（4,0）或（4,0）.【例2】.已知：如圖，一次函數(shù) y=kx+3 的圖象與反比例函數(shù)y =（x0）的圖象交于點P，PAx 軸于點A，PBy軸于點B，一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點C，D，且SDBP=27，.（1）求點 D 的坐標(biāo)；（2）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（3）根據(jù)

4、圖象寫出x取何值時，一次函數(shù) y=kx+3 的值小于反比例函數(shù)y =的值【答案】見解析.【解析】解：（1）一次函數(shù)y=kx+3與y軸相交，令x=0，解得y=3，D的坐標(biāo)為（0，3）；（2）ODOA，APOA，DCO=ACP，DOC=CAP=90，RtCODRtCAP，OD=3，AP=OB=6，DB=OD+OB=9，SDBP=27，即27，BP=6，P（6，-6），把P坐標(biāo)代入y=kx+3，得到k=，則一次函數(shù)的解析式為：yx+3；把P坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得：m=36，則反比例解析式為：y；（3）聯(lián)立y，yx+3得：x=4，y=9或x=6，y=6，即直線與雙曲線兩個交點坐標(biāo)為（4,9），（6

5、，6），當(dāng)x6或4x0時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值【變式2-1】.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形 ABDC 的頂點 D，C 在反比例函數(shù)y=上（k0，x0），橫坐標(biāo)分別為和2，對角線 BCx 軸，菱形ABDC 的面積為 9（1）求 k 的值及直線 CD 的解析式；（2）連接 OD，OC，求OCD 的面積【答案】見解析.【解析】解：（1）連接AD，菱形 ABDC 的頂點D，C 在反比例函數(shù)y=上，橫坐標(biāo)分別為和2，D(,2k)，C(2, ),BCx軸，B(1，),A(,k),BC=3，AD=3k，S菱形ABCD=9，33k=9，解得：k=2，D(,4)，C(2, 1),設(shè)直線CD的解析式為

6、y=mx+n，m+n=4，2m+n=1，解得：m=2，n=5，即直線CD的解析式為y=2x+5.（2）設(shè)直線y=2x+5交x軸、y軸于點F，E，則F(,0),E(0,5)，SOCD=SEOFSOEDSOCF=551=，即OCD的面積為：.【例3】.如圖，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，點F是AB上的一個動點（F不與A，B重合），過點F的反比例函數(shù)y=的圖象與BC邊交于點E（1）當(dāng)F為AB的中點時，求該函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)k為何值時，EFA的面積最大，最大面積是多少？【答案】見解析【解析】解：（1）矩形OABC中，OA=3，OC=2，B（3，2），F(xiàn)為AB的中點，F(xiàn)（3，1），點F在反比

7、例函數(shù)y=的圖象上，k=3，即函數(shù)的解析式為y=；（2）E，F(xiàn)兩點坐標(biāo)為：E（，2），F(xiàn)（3，），SEFA=AFBE=（3），=，當(dāng)k=3時，SEFA有最大值，最大值【變式3-1】.如圖，一次函數(shù)ykx+b的圖象與反比例函數(shù)y的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C（2，0），點A的縱坐標(biāo)為6，AC3CB（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）請直接寫出不等式組kx+b4的解集；（3）點P（x，y）是直線yk+b上的一個動點，且滿足（2）中的不等式組，過點P作PQy軸交y軸于點Q，若BPQ的面積記為S，求S的最大值【答案】見解析【解析】解：（1）過點A作ADx軸于D，過B作BEx軸于E，則ADCBEC9

8、0，ACDBCE，ACDBCE，即，解得：BE2，CE1，A（1，6），反比例函數(shù)解析式為y；（2）將A（1，6），C（2，0）代入ykx+b，得：，解得：，即直線解析式為：y2x+4，由B（3，2），得不等式組2x+44的解集為：3x0；（3）設(shè)P（m，2m+4）（3m0），則PQm，BPQ中PQ邊上的高為2m+4（2）2m+6，S（m）（2m+6）m23m（m+）2+，當(dāng)m時，S取得最大值，最大值為1.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=x與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點，點A在點B左側(cè)，已知A點的縱坐標(biāo)為2.（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫出x的解集；（3）將

9、直線y=x沿y軸向上平移后的直線l2與反比例函數(shù)y=在第二象限內(nèi)交于點C，如果ABC的面積為30，求平移后的直線l2的函數(shù)表達(dá)式.【答案】見解析.【解析】解：（1）在y=x中，y=2時，x=4，即A(4,2)，反比例函數(shù)y=的圖象過點A，k=8，即反比例函數(shù)的解析式為：y=；（2）聯(lián)立y=，y=x，解得：x=4，y=2（點A）；或x=4，y=2，即B（4，2），x的解集為：x4或0x0）的圖象經(jīng)過點A、B，點A的坐標(biāo)為（1，2），過點A作ACy軸，AC=1（點C在A點的下方），過點C作CDx軸，與函數(shù)y=（x0）的圖象交于點D，過點B作BECD于E，E在線段CD上，連接OC、OD.（1）求OC

10、D的面積；（2）當(dāng)BE=AC時，求CE的長.【答案】見解析.【解析】解：（1）將A(1,2)代入y=得：k=2，ACy軸，AC=1，C(1,1),CDx軸，D在y=上，D(2,1)，SOCD=11=.（2）BE=AC，BE=,BECD，點B的縱坐標(biāo)為，B點在函數(shù)y=上，B(，)，CH=1=，DH=1.5,CD=+1.5，在RtCDE中，CED=60，CE=4+（米）.3.如圖，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F(xiàn)是AB上的一個動點（不與A、B重合），過點F的反比例函數(shù)y=（k0）的圖象與BC邊交于點E.（1）當(dāng)F為AB邊的中點時，求該函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)k為何值時，EFA的面積為？【答案

11、】見解析.【解析】解：（1）由題意知，AB=OC=2，BC=OA=3，F(xiàn)是AB中點，F(xiàn)(3，1)，將F(3，1)代入y=得：k=3，即反比例函數(shù)的解析式為：y=.（2）由圖象知，點F位于B點下方，B(3,2)，當(dāng)x=3時，y2，即k6，0k6，由題意知，F(xiàn)點橫坐標(biāo)為3，即F(3, )，同理，得E點坐標(biāo)為（，2），SEFA=解得：k=2，或k=4，當(dāng)k為2或4時，EFA的面積為.4.如圖，A，B 分別在反比例函數(shù)y =（x0）和y =（x0）的圖象上，ABx 軸，交 y 軸于點C若AOC的面積是BOC面積的2倍（1）求k的值；（2）當(dāng)AOB=90時，直接寫出點A，B的坐標(biāo)【答案】見解析.【解析】

12、解：（1）ABx軸，SAOC=，SBOC=，AOC的面積是BOC面積的2倍，=，k=2（舍）或k=2.即k的值為：2.（2）AOB=90，ACO=90，A+ABO=B+BOC=90，A=BOC，AOCOBC，AOC的面積是BOC面積的2倍，,設(shè)B(a，)，=a，解得：a=或a=（舍），即B(1, ),A(2，).5.（2019周口二模）如圖，點A(-2，a)，C(3a-10，1)是反比例函數(shù)（x0）圖象上的兩點（1）求m的值；（2）過點A作APx軸于點P，若直線y=kx+b經(jīng)過點A，且與x軸交于點B，當(dāng)PAC=PAB時，求直線AB的解析式【答案】見解析.【解析】解：（1）點A(-2，a)，C(

13、3a-10，1)是反比例函數(shù)上，2a=3a10，解得：a=2，A(-2,2),C(-4,1)，m=-4；（2）分兩種情況討論：當(dāng)點B在AP左側(cè)時，PAC=PAB，A、C、B三點共線，將A(-2,2),C(-4,1)代入y=kx+b，并解得：k=，b=3，即直線AB的解析式為：y=x+3；當(dāng)點B在AP右側(cè)時，PAC=PAB，此時直線AB與中的直線AB關(guān)于直線AP成軸對稱，此時k=-，將（-2,2）代入y=-x+b，得：b=1，即直線AB的解析式為：y=-x+1；綜上所述，直線AB的解析式為：y=x+3，y=-x+1.6.如圖，已知雙曲線y=經(jīng)過點B（3，1），點A是雙曲線第三象限上的動點，過B作

14、BCy軸，垂足為C，連接AC（1）求k的值；（2）若ABC的面積為6，求直線AB的解析式；（3）在（2）的條件下，寫出反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時x的取值范圍【答案】見解析【解析】解：（1）把B（3，1）代入y=中得，k=3，（2）設(shè)ABC中BC邊上的高為h，BCy軸，B（3，1），BC=3，ABC的面積為6，BCh=6，解得：h=4，點A的縱坐標(biāo)為3，把y=3代入y=，得：x=，即A（，3），設(shè)直線AB的解析式為：y=mx+n，把A（，3）和B（3，1）代入y=mx+n，并解得：m=，b=2，直線AB的解析式為y=x2.（3）由圖象可得：x或0x3.7.如圖，一次函數(shù)y=x+b與反比例函數(shù)y

15、=（x0）的圖象交于點A（2，6）和B（m，1）（1）填空：一次函數(shù)的解析式為 ，反比例函數(shù)的解析式為 ；（2）點E為y軸上一個動點，若SAEB=5，求點E的坐標(biāo)【答案】（1）y=x+7，y=；（2）見解析.【解析】解：（1）把點A（2，6）代入y=，得k=12，即反比函數(shù)解析式為：y=點B（m，1）在y=上，m=12，即B（12，1）直線y=x+b過點A（2，6），b=7，一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x+7答案為：y=x+7，y=（2）設(shè)直線AB與y軸交于點P，點E的坐標(biāo)為（0，a），連接AE，BE，則點P的坐標(biāo)為（0，7），SAEB=SBEPSAEP=5，|a7|（122）=5，|a7|=1，解

16、得：a=6或a=8，即點E的坐標(biāo)為（0，6）或（0，8）8.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O與坐標(biāo)原點重合，A、C分別在坐標(biāo)軸上，點B的坐標(biāo)為（4，2），直線y=x+3交AB，BC分別于點M，N，反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點M，N（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）若點P在y軸上，且OPM的面積與四邊形BMON的面積相等，求點P的坐標(biāo)【答案】見解析.【解析】解：（1）B（4，2），四邊形OABC是矩形，OA=BC=2，在y=x+3中，當(dāng)y=2時，x=2，M（2，2），將x=4代入y=x+3得：y=1，N（4，1），反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點M（2，2），k=4，反比例函數(shù)的解析式是y=；

17、（2）S四邊形BMON=S矩形OABCSAOMSCON=422241=4；OPM的面積與四邊形BMON的面積相等，OPAM=4，而AM=2，OP=4，點P的坐標(biāo)是（0，4）或（0，4）9.如圖，直線ykx+b與反比例函數(shù)y=的圖象分別交于點A（1，2），點B（4，n），與x軸，y軸分別交于點C，D（1）求此一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）求AOB的面積【答案】見解析.【解析】解：（1）將點A（1，2）代入y=，得m2，反比例函數(shù)解析式為：y將B（4，n）代入y中，得：n；B點坐標(biāo)為（4，）將A（1，2）、B（4，）代入ykx+b中，得：-k+b=2，-4k+b=，解得：k=，b=，一次函數(shù)

18、的解析式為yx+；（2）在yx+中，當(dāng)y0時，x5，C（5，0），即OC5SAOCSAOCSBOCOC|yA|OC|yB|10.如圖，A（4，3）是反比例函數(shù)y在第一象限圖象上一點，連接OA，過A作ABx軸，截取ABOA（B在A右側(cè)），連接OB，交反比例函數(shù)y的圖象于點P（1）求反比例函數(shù)y的表達(dá)式；（2）求點B的坐標(biāo)；（3）求OAP的面積【答案】見解析【解析】解：（1）點A（4，3）在反比例函數(shù)y的圖象上，k12，即反比例函數(shù)解析式為：y；（2）如上圖，過點A作ACx軸于點C，則OC4，AC3，在RtOAC中，由勾股定理得：OA5，ABx軸， ABOA5，點B的坐標(biāo)為（9，3）；（3）B（9

19、，3），可得OB所在直線解析式為yx，聯(lián)立：yx，y，解得：x=6，y=2或x=-6，y=-2（舍），P（6，2），如上圖所示，過點P作PDx軸于D，SOAPS梯形PDCA=511.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（k0）與一次函數(shù)y=ax+b（a0）交于第二、四象限的A，B兩點，過點A作ADy軸于點D，OD=3，SAOD=3，點B的坐標(biāo)為(n，-1)（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）請根據(jù)圖象直接寫出的自變量x的取值范圍【答案】見解析【解析】解：（1）ADy軸，OD=3，SAOD=ODAD，SAOD=3AD=2，即A(-2,3),將A(-2,3)代入中，得：k=-6，即反比例函

20、數(shù)解析式：.當(dāng)y=-1時，x=6，即B(6,-1)，將A(-2,3), B(6,-1)代入y=ax+b得：-2a+b=3,6a+b=-1,解得：a= ，b=2，即一次函數(shù)的解析式為：y=x+2.（2）觀察圖象可知，的解集為：x-2或00時，y隨x增大而減?。划?dāng)x0時，y0，當(dāng)x=2時，y2=3，即Q（2，3）若y1y2，實數(shù)p的取值范圍是：p2或p0.15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知正比例函數(shù)y12x的圖象與反比例函數(shù)y2的圖象交于A（1，n），B兩點（1）求出反比例函數(shù)的解析式及點B的坐標(biāo)；（2）觀察圖象，請直接寫出滿足y2的取值范圍；（3）點P是第四象限內(nèi)反比例函數(shù)的圖象上一點，

21、若POB的面積為1，請直接寫出點P的橫坐標(biāo)【答案】見解析【解析】解：解：（1）把A（1，n）代入y12x，得n2，A（1，2），把A（1，2）代入y2，可得k2，反比例函數(shù)的表達(dá)式為y2，由反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，知點B與點A關(guān)于原點對稱，B（1，2）（2）由圖象可知，y2時自變量x的取值范圍是：x1或x0；（3）過B作BMx軸于M，過P作PNx軸于N，S梯形MBPNSPOB1，設(shè)P（m，），則（2+）|m1|1，解得：m或m，綜上所述，P點的橫坐標(biāo)為或16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點C與原點O重合，點B在y軸的正半軸上，點A在反比例函數(shù)y（k0，x0）的圖象上，點D的坐標(biāo)為（4

22、，3）（1）求k的值；（2）若將菱形ABCD沿x軸正方向平移，當(dāng)菱形的頂點D落在函數(shù)y（k0，x0）的圖象上時，求菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離【答案】見解析【解析】解：（1）過點D作DEy軸于E，點D的坐標(biāo)為（4，3），DE4，OE3，由勾股定理得：OD5，AD5，點A坐標(biāo)為（4，8），點A在反比例函數(shù)y的圖象上， k32； （2）由D(4，3)知，當(dāng)平移后落在y的圖象上，則y=3，即=3，即x=，平移的距離為：4=，即菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離為.17.如圖，點A的坐標(biāo)為（3，0），點C的坐標(biāo)為（0，4），OABC為矩形，反比例函數(shù)的圖象過AB的中點D，且和BC相交于點E，F(xiàn)為

23、第一象限的點，AF12，CF13（1）求反比例函數(shù)和直線OE的函數(shù)解析式；（2）求四邊形OAFC的面積？【答案】見解析【解析】解：（1）由題意得：點B（3，4），點D（3，2），將D（3，2）代入，得k6即反比例函數(shù)的解析式為；在中，當(dāng)y=4時，x=，即E(，4)，設(shè)直線OE的解析式為：ymx，將（，4）代入得：m，即直線OE的解析式為yx；（2）連接AC， 在RtOAC中，OA3，OC4，由勾股定理得：AC5，AF12，CF13AC2+AF2CF2，CAF90，S四邊形OAFCSOAC+SCAF34+5123618.如圖，直線yx與反比例函數(shù)y（x0）的圖象交于點A，已知點A的橫坐標(biāo)為4（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）將直線yx向上平移3個單位后的直線l與y（x0）的圖象交于點C；求點C的坐標(biāo)；記y（x0）的圖象在點A，C之間的部分與線段OA，OC圍成的區(qū)域（不含邊界）為W，則區(qū)域W內(nèi)的整點（橫，縱坐標(biāo)都是