蘇教版高中數(shù)學(xué)必修二知識(shí)講解_圓的方程_提高

1、精品文檔用心整理圓的方程：【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，能根據(jù)所給有關(guān)圓心、半徑的具體條件準(zhǔn)確地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡單的實(shí)際問題，并會(huì)推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握?qǐng)A的一般方程的特點(diǎn)，能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑；能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程【要點(diǎn)梳理】【圓的方程370891知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2，其中(a，b)為圓心，r為半徑.要點(diǎn)詮釋：(1)如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，這時(shí)a=0，b=0，圓的方程就是x2+y2=r2.有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在x軸上：b=

2、0；圓與y軸相切時(shí)：|a|=r；圓與x軸相切時(shí)：|b|=r；與坐標(biāo)軸相切時(shí)：|a|=|b|=r；過原點(diǎn)：a2+b2=r2(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2圓心為(a，b)，半徑為r，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點(diǎn).(3)標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確指出了圓心和半徑.由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，確定一個(gè)圓的方程，只需要a、b、r這三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用定義法和待定系數(shù)法.要點(diǎn)二：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，圓心為c(a，b)，半徑為r，則有(1)若點(diǎn)m(x，y00(2)若點(diǎn)m(x，y00(3)若點(diǎn)m(x，y00)在圓上|cm|=r(x0)在圓外|c

3、m|r(x0)在圓內(nèi)|cm|r20-a)2+(y-b)20時(shí)，方程x2+y2+dx+ey+f=0叫做圓的一般方程.-,-為圓心，由方程x2+y2+dx+ey+f=0得x+y+=12要點(diǎn)三：圓的一般方程d2+e2-4f為半徑.要點(diǎn)詮釋：d2e2d2+e2-4f224de22(1)當(dāng)d2+e2-4f=0時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解x=-dede,y=-.它表示一個(gè)點(diǎn)(-,-).2222(2)當(dāng)d2+e2-4f0時(shí)，可以看出方程表示以-為圓心，d2+e2-4f為半徑的圓.精品文檔用心整理de1,-222要點(diǎn)四：幾種特殊位置的圓的方程條件方程形式標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程圓心在原點(diǎn)過原點(diǎn)圓心在x軸上圓心在y軸上圓心在x軸

4、上且過原點(diǎn)圓心在y軸上且過原點(diǎn)x2+y2=r2(r0)(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(x-a)2+y2=r2(r0)x2+(y-b)2=r2(r0)(x-a)2+y2=a2(a0)x2+(y-b)2=b2(b0)x2+y2-r2=0(r0)x2+y2+dx+ey=0x2+y2+dx+f=0x2+y2+ey+f=0x2+y2+dx=0x2+y2+ey=0x2+y2+dx+ey+f=0與x軸相切(x-a)2+(y-b)2=b2(d2-4f=0)x2+y2+dx+ey+f=0與y軸相切(x-a)2+(y-b)2=a2(e2-4f=0)要點(diǎn)五：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系

5、數(shù)法”.用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、r或d、e、f的方程組.(3)解方程組，求出a、b、r或d、e、f的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程.要點(diǎn)六：軌跡方程求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量x,y之間的方程1當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法（或稱相關(guān)點(diǎn)法）；2求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分“軌跡”與“軌

6、跡方程”二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等3求軌跡方程的步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示軌跡（曲線）上任一點(diǎn)m的坐標(biāo)；（2）列出關(guān)于x,y的方程；（3）把方程化為最簡形式；（4）除去方程中的瑕點(diǎn)（即不符合題意的點(diǎn)）（5）作答【典型例題】資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理類型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1求滿足下列條件的各圓的方程：(1)圓心在原點(diǎn)，半徑是3；(2)已知圓c經(jīng)過a(5,1),b(1,3)兩點(diǎn)，圓心在x軸上；(3)經(jīng)過點(diǎn)p(5,1)，圓心在點(diǎn)c(8,-3)【思路點(diǎn)撥】一般情況下，如果已知圓心或易于求出圓心，可用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來求解，用待定系數(shù)法，求出圓心坐標(biāo)

7、和半徑.【答案】（1）x2+y2=9（2）(x-2)2+y2=10（3）(x-8)2+(y+3)2=25【解析】(1)x2+y2=9(2)線段ab的中垂線方程為2x-y-4=0，與x軸的交點(diǎn)(2,0)即為圓心c的坐標(biāo)，所以半徑為|cb|=10，所以圓c的方程為(x-2)2+y2=10.(3)解法一：圓的半徑r=|cp|=(5-8)2+(1+3)2=5，圓心在點(diǎn)c(8,-3)【解析】解法一：設(shè)所求圓的圓心為（a，b），半徑為r，由題意得(5-a)2+(2-b)2=r2，圓的方程是(x-8)2+(y+3)2=25解法二：圓心在點(diǎn)c(8,-3)，故設(shè)圓的方程為(x-8)2+(y+3)2=r2又點(diǎn)p(

8、5,1)在圓上，(5-8)2+(1+3)2=r2，r2=25所求圓的方程是(x-8)2+(y+3)2=25.【總結(jié)升華】確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a、b、r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心（a，b）和半徑r，一般步驟為：（1）根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2+(yb)2=r2；（2）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、r的方程組；（3）解方程組，求出a、b、r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程舉一反三：【變式1】圓心是（4，1），且過點(diǎn)（5，2）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）a(x4)2+(y+1)2=10b(x+4)2+(y1)2=10c(x4)2+(y+

9、1)2=100d(x-4)2+(y+1)2=10【答案】a例2求圓心在直線2xy3=0上，且過點(diǎn)（5，2）和（3，2）的圓的方程【答案】(x2)2+(y1)2=102a-b-3=0(3-a)2+(-2-b)2=r2資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理由求得兩直線交點(diǎn)為（2，1），x+2y-4=0(解方程組得a=2，b=1，r=10所求圓的方程為(x2)2+(y1)2=10解法二：因點(diǎn)（5，2）和（3，2）在圓上，故圓心在這兩點(diǎn)所連線段的垂直平分線上，可求得垂直平分線的方程為x+2y4=0又圓心在直線2xy3=0上，故圓心為兩直線的交點(diǎn)2x-y-3=0由兩點(diǎn)間距離公式可求得半徑為10故

10、所求圓的方程為(x2)2+(y1)2=10【總結(jié)升華】求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是求圓的坐標(biāo)和圓的半徑，這就需要充分挖掘題目中所給的幾何條件，并充分利用平面幾何中的有關(guān)知識(shí)求解，如“若圓經(jīng)過某兩點(diǎn)，則圓心必在這兩點(diǎn)連線的中垂線上”等舉一反三：【圓的方程370891典型例題1】【變式1】（1）過點(diǎn)a(2,-3),b(-2,-5)且圓心在直線x-2y-3=0上；（2）與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0截得的弦長為27【答案】（1）(x+1)2+(y+2)2=10（2）(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9【解析】（1）設(shè)圓的方程為：(x-a)2+(y-b)2

11、=r2，則(2-a)2+(-3-b)2=r2-2-a)2+(-5-b)2=r2，解得：a=-1,b=-2,r2=10a-2b-3=0所求圓的方程為：(x+1)2+(y+2)2=10（2）設(shè)圓的方程為：(x-a)2+(y-b)2=r2，則r2=b2a=1a=-13a-b=0解得：b=3或b=-3(a-b)2+14=2r2r2=9r2=9所求圓的方程為：(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9類型二：圓的一般方程例3已知直線x2+y22(t+3)x+2(14t2)y+16t4+9=0表示一個(gè)圓（1）求t的取值范圍；（2）求這個(gè)圓的圓心和半徑；資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品

12、文檔用心整理（3）求該圓半徑r的最大值及此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【思路點(diǎn)撥】若一個(gè)圓可用一般方程表示，則它具備隱含條件d2+e24f0，解題時(shí)，應(yīng)充分利用這一隱含條件x-+y+=1（【答案】1）-t1（2）（t+3，4t21）1+6t-7t2（3）7477242132749167（【解析】1）已知方程表示一個(gè)圓d2+e24f0，即4(t+3)2+4(14t2)24(16t4+9)0，整理得7t26t10-17t11321647（2）圓的方程化為x(t+3)2+y+(14t2)2=1+6t7t2它的圓心坐標(biāo)為（t+3，4t21），半徑為1+6t-7t2d2+e2-4f=-7t2+6t+1=-7t-+（3

13、）由r=2777r的最大值為477，此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-+y+=【總結(jié)升華】在本例中，當(dāng)t在-1,1中任取一個(gè)值，它對(duì)應(yīng)著一個(gè)不同的圓，它實(shí)質(zhì)上是一系列y=4t2-1知2020x4，因此它是一個(gè)圓心在拋物線y=4(x-3)2-1x4的圓系方程2421321674977x=t+31的圓，因此本例中的圓的方程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)圓系方程，由得y=4(x3)21，再由-t1，777舉一反三：【圓的方程370891典型例題2】【變式1】（1）求過a(2,2),b(5,3),c(3,-1)的圓的方程，及圓心坐標(biāo)和半徑；（2）求經(jīng)過點(diǎn)a(-2,-4)且與直線x+3y-26=0相切于點(diǎn)（8，6）的圓的方程【答案】

14、（1）(x-4)2+(y-1)2=5（4，1）5（2）x2+y2-11x+3y-30=034+5d+3e+f=0，解得：e=-210+3d-e+f=0f=12【解析】（1）法一：設(shè)圓的方程為：x2+y2+dx+ey+f=0，則8+2d+2e+f=0d=-8資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理所以所求圓的方程為：x2+y2-8x-2y+2=0，即(x-4)2+(y-1)2=5，所以圓心為（4，1），半徑為5法二：線段ab的中點(diǎn)為為,，k75223-215-2=ab=3=-3x-，即3x-y-13=0線段ab的中垂線為y-5272同理得線段bc中垂線為x+2y-6=0y=1聯(lián)立x+2y-

15、6=03x+y-13=0x=4，解得6+e2=3，解得：e=38+df=-302由得：圓心坐標(biāo)為,-，由兩點(diǎn)間距離公式得半徑r2=，所以圓的方程為x-+y+=所以所求圓的方程為（4，1），半徑r=(4-2)2+(1-2)2=5所以(x-4)2+(y-1)2=5（2）法一：設(shè)圓的方程為：x2+y2+dx+ey+f=0，則20-2d-4e+f=0d=-11100+8d+6e+f=0所以圓的方程為x2+y2-11x+3y-30=0法二：過點(diǎn)b與直線x+3y-26=0垂直的直線是3x-y-18=0，線段ab的中垂線為x+y-4=0，3x-y-18=0113125x+y-4=02221123212522

16、2【變式2】判斷方程ax2+ay24(a1)x+4y=0（a0）是否表示圓，若表示圓，寫出圓心和半徑長,-，半徑r=【答案】表示圓，圓心坐標(biāo)2(a-1)2aa2a2-2a+2|a|【變式3】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，則a的取值范圍是資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用aa精品文檔用心整理222b-a0c-2a0d-2a0，3a2+4a-40，-2a43-2d-2e+f+8=0，解得e=-25d+5e+f+50=0f=-20例4（）abc的三個(gè)頂點(diǎn)分別為a（1，5），b（2，2），c（5，5），求其外接圓的方程；（2）圓c過點(diǎn)p（1，2）和q（2，3），且圓c在兩坐標(biāo)軸上

17、截得的弦長相等，求圓c的方程【思路點(diǎn)撥】在（1）中，由于所求的圓過三個(gè)點(diǎn)，因而選用一般式，從而只要確定系數(shù)d、e、f即可；注意到三角形外接圓的圓心為各邊的垂直平分線的交點(diǎn)，所以也可先求圓心，再求半徑，從而求出圓的方程在（2）中，可用圓的一般方程，但這樣做計(jì)算量較大，因此我們可以通過作圖，利用圖形的直觀性來進(jìn)行分析，從而得到圓心或半徑所滿足的條件【答案】（1）x2+y24x2y20=0（2）(x+1)2+(y1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25【解析】（1）解法一：設(shè)所求的圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0，由題意有-d+5e+f+26=0d=-4故所求的圓的方程為x2+y24x2

18、y20=0解法二：由題意可求得ac的中垂線的方程為x=2，bc的中垂線方程為x+y3=0圓心是兩中垂線的交點(diǎn)（2，1），半徑r=(2+1)2+(1-5)2=5，所求的圓的方程為(x2)2+(y1)2=25，即x2+y24x2y20=0（2）解法一：如右圖所示，由于圓c在兩坐標(biāo)軸上的弦長相等，即|ad|=|eg|，所以它們的一半也相等，即|ab|=|gf|，又|ac|=|gc|，abcgfc，|bc|=|fc|設(shè)c（a，b），則|a|=|b|又圓c過點(diǎn)p（1，2）和q（2，3），圓心在pq的垂直平分線上，=3x+，即y=3x+4，b=3a+4即y-5212由知a=b，代入得或b=1b=-2f=1

19、1-7da=-1a=-2r=(a-1)2+(b-2)2=5或5故所求的圓的方程為(x+1)2+(y1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25即x2+y2+2x2y3=0或x2+y2+4x+4y17=0解法二：設(shè)所求的圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0圓c過點(diǎn)p（1，2）和q（2，3），12+22+d+2e+f=0e=3d-8，解得4+9-2d+3e+f=0資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理圓c的方程為x2+y2+dx+(3d8)y+117d=0，將y=0代入得x2+dx+117d=0圓c在x軸上截得的弦長為|x-x|=d2-4(11-7d)將x=0代入得y2+(3d8)y+

20、117d=0，12圓c在y軸上截得的弦長為|y-y|=(3d-8)2-4(11-7d)12由題意有d2-4(11-7d)=(3d-8)2-4(11-7d)，即d24(117d)=(3d8)24(117d)，解得d=4或d=2故所求的圓的方程為x2+y2+4x+4y7=0或x2+y2+2x2y3=0【總結(jié)升華】（1）本例（1）的解法二思維迂回鏈過長，計(jì)算量過大，而解法一則較為簡捷，因此，當(dāng)所有已知的條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，在求該圓的方程時(shí)，一般設(shè)圓的方程為一般方程，再用待定系數(shù)法來確定系數(shù)即可（2）本例（2）中，盡管所給的條件也都與圓心和半徑無直接關(guān)系，但可通過畫圖分析，利用平面幾何知識(shí)，

21、找到與圓心和半徑相聯(lián)系的蛛絲馬跡，從而避免了選用圓的一般方程帶來的繁瑣的計(jì)算（3）一般地，當(dāng)給出了圓上的三點(diǎn)坐標(biāo)，特別是當(dāng)這三點(diǎn)的橫坐標(biāo)和橫坐標(biāo)之間、縱坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間均不相同時(shí)，選用圓的一般方程比選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程簡捷；而在其他情況下的首選應(yīng)該是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，此時(shí)要注意從幾何角度來分析問題，以便找到與圓心和半徑相聯(lián)系的可用條件舉一反三：【變式】如圖，等邊abc的邊長為2，求這個(gè)三角形的外接圓的方程，并寫出圓心坐標(biāo)和半徑長，3，x2+y-=【答案】0,323243333類型三：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例5判斷點(diǎn)m（6，9），n（3，3），q（5，3）與圓(x5)2+(y6)2=10的位置關(guān)系【答案】m在

22、圓上n在圓外q在圓內(nèi)【解析】圓的方程為(x5)2+(y6)2=10，分別將m（6，9），n（3，3），q（5，3）代入得(65)2+(96)2=10，m在圓上；(35)2+(36)2=1310，n在圓外；(55)2+(36)2=910，q在圓內(nèi)【總結(jié)升華】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，從形的角度來看，設(shè)圓心為o，半徑為r，則點(diǎn)p在圓內(nèi)|pq|r；點(diǎn)p在圓上|pq|=r；點(diǎn)p在圓外|po|r從數(shù)的角度來看，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2+(yb)2=r2，圓心為a（a，b），半徑為r，則點(diǎn)m（x0，y0）在圓上(x0a)2+(y0b)2=r2；點(diǎn)m（x0，y0）在圓外(x0a)2+(y0b)2r2；點(diǎn)m（x0，

23、y0）在圓內(nèi)(x0a)2+(y0b)2r2舉一反三：【變式1】已知兩點(diǎn)p1（3，8）和p2（5，4），求以線段p1p2為直徑的圓的方程，并判斷點(diǎn)m（5，3）、n（3，4）、p（3，5）是在此圓上、在圓內(nèi)、還是在圓外？【答案】點(diǎn)m在此圓外，點(diǎn)n在此圓上，點(diǎn)p在此圓內(nèi)類型四：軌跡問題例等腰abc的底邊一個(gè)端點(diǎn)b(1，-3)，頂點(diǎn)a(0，6)，求另一個(gè)端點(diǎn)c的軌跡方程，并說明軌跡的形狀資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理【思路點(diǎn)撥】可以判斷出c的軌跡以a為圓心，半徑為|ab|的圓.利用直接法求出方程.【答案】x2+(y-6)2=82除去點(diǎn)(-1，15)和點(diǎn)(1，-3)【解析】由題意得|ca

24、|=|ab|，則點(diǎn)c到定點(diǎn)a的距離等于定長|ab|，所以c的軌跡是圓.又|ab|=(1-0)2+(-3-6)2=82，c的軌跡方程為x2+(y-6)2=82除去點(diǎn)(-1，15)和點(diǎn)(1，-3)，即c的軌跡形狀是以點(diǎn)a(0，6)為圓心，半徑為82的圓，其中去除點(diǎn)(-1，15)和點(diǎn)(1，-3).【總結(jié)升華】本例求軌跡方程的方法是直接法用直接法求曲線方程的步驟如下：（1）建系設(shè)點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)為m（x，y）；（2）幾何點(diǎn)集：寫出滿足題設(shè)的點(diǎn)m的集合p=m|p(m)；（3）翻譯列式：將幾何條件p（m）用坐標(biāo)x、y表示，寫出方程f(x,y)=0；（4）化簡方程：通過同解變形化簡方程；（5）查漏除雜：驗(yàn)證方程表示的曲線是否為已知的曲線，