蘇教版高中數(shù)學必修二知識講解_圓的方程_提高

1、精品文檔用心整理圓的方程：【學習目標】1.掌握圓的標準方程的特點，能根據(jù)所給有關圓心、半徑的具體條件準確地寫出圓的標準方程，能運用圓的標準方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡單的實際問題，并會推導圓的標準方程.2.掌握圓的一般方程的特點，能將圓的一般方程化為圓的標準方程從而求出圓心的坐標和半徑；能用待定系數(shù)法，由已知條件導出圓的方程【要點梳理】【圓的方程370891知識要點】要點一：圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2，其中(a，b)為圓心，r為半徑.要點詮釋：(1)如果圓心在坐標原點，這時a=0，b=0，圓的方程就是x2+y2=r2.有關圖形特征與方程的轉化：如：圓心在x軸上：b=

2、0；圓與y軸相切時：|a|=r；圓與x軸相切時：|b|=r；與坐標軸相切時：|a|=|b|=r；過原點：a2+b2=r2(2)圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2圓心為(a，b)，半徑為r，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點.(3)標準方程的優(yōu)點在于明確指出了圓心和半徑.由圓的標準方程可知，確定一個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立參數(shù)，因此，求圓的標準方程常用定義法和待定系數(shù)法.要點二：點和圓的位置關系如果圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，圓心為c(a，b)，半徑為r，則有(1)若點m(x，y00(2)若點m(x，y00(3)若點m(x，y00)在圓上|cm|=r(x0)在圓外|c

3、m|r(x0)在圓內|cm|r20-a)2+(y-b)20時，方程x2+y2+dx+ey+f=0叫做圓的一般方程.-,-為圓心，由方程x2+y2+dx+ey+f=0得x+y+=12要點三：圓的一般方程d2+e2-4f為半徑.要點詮釋：d2e2d2+e2-4f224de22(1)當d2+e2-4f=0時，方程只有實數(shù)解x=-dede,y=-.它表示一個點(-,-).2222(2)當d2+e2-4f0時，可以看出方程表示以-為圓心，d2+e2-4f為半徑的圓.精品文檔用心整理de1,-222要點四：幾種特殊位置的圓的方程條件方程形式標準方程一般方程圓心在原點過原點圓心在x軸上圓心在y軸上圓心在x軸

4、上且過原點圓心在y軸上且過原點x2+y2=r2(r0)(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(x-a)2+y2=r2(r0)x2+(y-b)2=r2(r0)(x-a)2+y2=a2(a0)x2+(y-b)2=b2(b0)x2+y2-r2=0(r0)x2+y2+dx+ey=0x2+y2+dx+f=0x2+y2+ey+f=0x2+y2+dx=0x2+y2+ey=0x2+y2+dx+ey+f=0與x軸相切(x-a)2+(y-b)2=b2(d2-4f=0)x2+y2+dx+ey+f=0與y軸相切(x-a)2+(y-b)2=a2(e2-4f=0)要點五：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系

5、數(shù)法”.用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：(1)根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程.(2)根據(jù)已知條件，建立關于a、b、r或d、e、f的方程組.(3)解方程組，求出a、b、r或d、e、f的值，并把它們代入所設的方程中去，就得到所求圓的方程.要點六：軌跡方程求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質上就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標法”將其轉化為關于變量x,y之間的方程1當動點滿足的幾何條件易于“坐標化”時，常采用直接法；當動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時，常采用定義法；當動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法（或稱相關點法）；2求軌跡方程時，一要區(qū)分“軌跡”與“軌

6、跡方程”二要注意檢驗，去掉不合題設條件的點或線等3求軌跡方程的步驟：（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，?x,y)表示軌跡（曲線）上任一點m的坐標；（2）列出關于x,y的方程；（3）把方程化為最簡形式；（4）除去方程中的瑕點（即不符合題意的點）（5）作答【典型例題】資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理類型一：圓的標準方程例1求滿足下列條件的各圓的方程：(1)圓心在原點，半徑是3；(2)已知圓c經(jīng)過a(5,1),b(1,3)兩點，圓心在x軸上；(3)經(jīng)過點p(5,1)，圓心在點c(8,-3)【思路點撥】一般情況下，如果已知圓心或易于求出圓心，可用圓的標準方程來求解，用待定系數(shù)法，求出圓心坐標

7、和半徑.【答案】（1）x2+y2=9（2）(x-2)2+y2=10（3）(x-8)2+(y+3)2=25【解析】(1)x2+y2=9(2)線段ab的中垂線方程為2x-y-4=0，與x軸的交點(2,0)即為圓心c的坐標，所以半徑為|cb|=10，所以圓c的方程為(x-2)2+y2=10.(3)解法一：圓的半徑r=|cp|=(5-8)2+(1+3)2=5，圓心在點c(8,-3)【解析】解法一：設所求圓的圓心為（a，b），半徑為r，由題意得(5-a)2+(2-b)2=r2，圓的方程是(x-8)2+(y+3)2=25解法二：圓心在點c(8,-3)，故設圓的方程為(x-8)2+(y+3)2=r2又點p(

8、5,1)在圓上，(5-8)2+(1+3)2=r2，r2=25所求圓的方程是(x-8)2+(y+3)2=25.【總結升華】確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，即列出關于a、b、r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心（a，b）和半徑r，一般步驟為：（1）根據(jù)題意，設所求的圓的標準方程為(xa)2+(yb)2=r2；（2）根據(jù)已知條件，建立關于a、b、r的方程組；（3）解方程組，求出a、b、r的值，并把它們代入所設的方程中去，就得到所求圓的方程舉一反三：【變式1】圓心是（4，1），且過點（5，2）的圓的標準方程是（）a(x4)2+(y+1)2=10b(x+4)2+(y1)2=10c(x4)2+(y+

9、1)2=100d(x-4)2+(y+1)2=10【答案】a例2求圓心在直線2xy3=0上，且過點（5，2）和（3，2）的圓的方程【答案】(x2)2+(y1)2=102a-b-3=0(3-a)2+(-2-b)2=r2資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理由求得兩直線交點為（2，1），x+2y-4=0(解方程組得a=2，b=1，r=10所求圓的方程為(x2)2+(y1)2=10解法二：因點（5，2）和（3，2）在圓上，故圓心在這兩點所連線段的垂直平分線上，可求得垂直平分線的方程為x+2y4=0又圓心在直線2xy3=0上，故圓心為兩直線的交點2x-y-3=0由兩點間距離公式可求得半徑為10故

10、所求圓的方程為(x2)2+(y1)2=10【總結升華】求圓的標準方程的關鍵是求圓的坐標和圓的半徑，這就需要充分挖掘題目中所給的幾何條件，并充分利用平面幾何中的有關知識求解，如“若圓經(jīng)過某兩點，則圓心必在這兩點連線的中垂線上”等舉一反三：【圓的方程370891典型例題1】【變式1】（1）過點a(2,-3),b(-2,-5)且圓心在直線x-2y-3=0上；（2）與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0截得的弦長為27【答案】（1）(x+1)2+(y+2)2=10（2）(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9【解析】（1）設圓的方程為：(x-a)2+(y-b)2

11、=r2，則(2-a)2+(-3-b)2=r2-2-a)2+(-5-b)2=r2，解得：a=-1,b=-2,r2=10a-2b-3=0所求圓的方程為：(x+1)2+(y+2)2=10（2）設圓的方程為：(x-a)2+(y-b)2=r2，則r2=b2a=1a=-13a-b=0解得：b=3或b=-3(a-b)2+14=2r2r2=9r2=9所求圓的方程為：(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9類型二：圓的一般方程例3已知直線x2+y22(t+3)x+2(14t2)y+16t4+9=0表示一個圓（1）求t的取值范圍；（2）求這個圓的圓心和半徑；資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品

12、文檔用心整理（3）求該圓半徑r的最大值及此時圓的標準方程【思路點撥】若一個圓可用一般方程表示，則它具備隱含條件d2+e24f0，解題時，應充分利用這一隱含條件x-+y+=1（【答案】1）-t1（2）（t+3，4t21）1+6t-7t2（3）7477242132749167（【解析】1）已知方程表示一個圓d2+e24f0，即4(t+3)2+4(14t2)24(16t4+9)0，整理得7t26t10-17t11321647（2）圓的方程化為x(t+3)2+y+(14t2)2=1+6t7t2它的圓心坐標為（t+3，4t21），半徑為1+6t-7t2d2+e2-4f=-7t2+6t+1=-7t-+（3

13、）由r=2777r的最大值為477，此時圓的標準方程為x-+y+=【總結升華】在本例中，當t在-1,1中任取一個值，它對應著一個不同的圓，它實質上是一系列y=4t2-1知2020x4，因此它是一個圓心在拋物線y=4(x-3)2-1x4的圓系方程2421321674977x=t+31的圓，因此本例中的圓的方程實質上是一個圓系方程，由得y=4(x3)21，再由-t1，777舉一反三：【圓的方程370891典型例題2】【變式1】（1）求過a(2,2),b(5,3),c(3,-1)的圓的方程，及圓心坐標和半徑；（2）求經(jīng)過點a(-2,-4)且與直線x+3y-26=0相切于點（8，6）的圓的方程【答案】

14、（1）(x-4)2+(y-1)2=5（4，1）5（2）x2+y2-11x+3y-30=034+5d+3e+f=0，解得：e=-210+3d-e+f=0f=12【解析】（1）法一：設圓的方程為：x2+y2+dx+ey+f=0，則8+2d+2e+f=0d=-8資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理所以所求圓的方程為：x2+y2-8x-2y+2=0，即(x-4)2+(y-1)2=5，所以圓心為（4，1），半徑為5法二：線段ab的中點為為,，k75223-215-2=ab=3=-3x-，即3x-y-13=0線段ab的中垂線為y-5272同理得線段bc中垂線為x+2y-6=0y=1聯(lián)立x+2y-

15、6=03x+y-13=0x=4，解得6+e2=3，解得：e=38+df=-302由得：圓心坐標為,-，由兩點間距離公式得半徑r2=，所以圓的方程為x-+y+=所以所求圓的方程為（4，1），半徑r=(4-2)2+(1-2)2=5所以(x-4)2+(y-1)2=5（2）法一：設圓的方程為：x2+y2+dx+ey+f=0，則20-2d-4e+f=0d=-11100+8d+6e+f=0所以圓的方程為x2+y2-11x+3y-30=0法二：過點b與直線x+3y-26=0垂直的直線是3x-y-18=0，線段ab的中垂線為x+y-4=0，3x-y-18=0113125x+y-4=02221123212522

16、2【變式2】判斷方程ax2+ay24(a1)x+4y=0（a0）是否表示圓，若表示圓，寫出圓心和半徑長,-，半徑r=【答案】表示圓，圓心坐標2(a-1)2aa2a2-2a+2|a|【變式3】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，則a的取值范圍是資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用aa精品文檔用心整理222b-a0c-2a0d-2a0，3a2+4a-40，-2a43-2d-2e+f+8=0，解得e=-25d+5e+f+50=0f=-20例4（）abc的三個頂點分別為a（1，5），b（2，2），c（5，5），求其外接圓的方程；（2）圓c過點p（1，2）和q（2，3），且圓c在兩坐標軸上

17、截得的弦長相等，求圓c的方程【思路點撥】在（1）中，由于所求的圓過三個點，因而選用一般式，從而只要確定系數(shù)d、e、f即可；注意到三角形外接圓的圓心為各邊的垂直平分線的交點，所以也可先求圓心，再求半徑，從而求出圓的方程在（2）中，可用圓的一般方程，但這樣做計算量較大，因此我們可以通過作圖，利用圖形的直觀性來進行分析，從而得到圓心或半徑所滿足的條件【答案】（1）x2+y24x2y20=0（2）(x+1)2+(y1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25【解析】（1）解法一：設所求的圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0，由題意有-d+5e+f+26=0d=-4故所求的圓的方程為x2+y24x2

18、y20=0解法二：由題意可求得ac的中垂線的方程為x=2，bc的中垂線方程為x+y3=0圓心是兩中垂線的交點（2，1），半徑r=(2+1)2+(1-5)2=5，所求的圓的方程為(x2)2+(y1)2=25，即x2+y24x2y20=0（2）解法一：如右圖所示，由于圓c在兩坐標軸上的弦長相等，即|ad|=|eg|，所以它們的一半也相等，即|ab|=|gf|，又|ac|=|gc|，abcgfc，|bc|=|fc|設c（a，b），則|a|=|b|又圓c過點p（1，2）和q（2，3），圓心在pq的垂直平分線上，=3x+，即y=3x+4，b=3a+4即y-5212由知a=b，代入得或b=1b=-2f=1

19、1-7da=-1a=-2r=(a-1)2+(b-2)2=5或5故所求的圓的方程為(x+1)2+(y1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25即x2+y2+2x2y3=0或x2+y2+4x+4y17=0解法二：設所求的圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0圓c過點p（1，2）和q（2，3），12+22+d+2e+f=0e=3d-8，解得4+9-2d+3e+f=0資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理圓c的方程為x2+y2+dx+(3d8)y+117d=0，將y=0代入得x2+dx+117d=0圓c在x軸上截得的弦長為|x-x|=d2-4(11-7d)將x=0代入得y2+(3d8)y+

20、117d=0，12圓c在y軸上截得的弦長為|y-y|=(3d-8)2-4(11-7d)12由題意有d2-4(11-7d)=(3d-8)2-4(11-7d)，即d24(117d)=(3d8)24(117d)，解得d=4或d=2故所求的圓的方程為x2+y2+4x+4y7=0或x2+y2+2x2y3=0【總結升華】（1）本例（1）的解法二思維迂回鏈過長，計算量過大，而解法一則較為簡捷，因此，當所有已知的條件與圓心和半徑都無直接關系，在求該圓的方程時，一般設圓的方程為一般方程，再用待定系數(shù)法來確定系數(shù)即可（2）本例（2）中，盡管所給的條件也都與圓心和半徑無直接關系，但可通過畫圖分析，利用平面幾何知識，

21、找到與圓心和半徑相聯(lián)系的蛛絲馬跡，從而避免了選用圓的一般方程帶來的繁瑣的計算（3）一般地，當給出了圓上的三點坐標，特別是當這三點的橫坐標和橫坐標之間、縱坐標和縱坐標之間均不相同時，選用圓的一般方程比選用圓的標準方程簡捷；而在其他情況下的首選應該是圓的標準方程，此時要注意從幾何角度來分析問題，以便找到與圓心和半徑相聯(lián)系的可用條件舉一反三：【變式】如圖，等邊abc的邊長為2，求這個三角形的外接圓的方程，并寫出圓心坐標和半徑長，3，x2+y-=【答案】0,323243333類型三：點與圓的位置關系例5判斷點m（6，9），n（3，3），q（5，3）與圓(x5)2+(y6)2=10的位置關系【答案】m在

22、圓上n在圓外q在圓內【解析】圓的方程為(x5)2+(y6)2=10，分別將m（6，9），n（3，3），q（5，3）代入得(65)2+(96)2=10，m在圓上；(35)2+(36)2=1310，n在圓外；(55)2+(36)2=910，q在圓內【總結升華】點與圓的位置關系，從形的角度來看，設圓心為o，半徑為r，則點p在圓內|pq|r；點p在圓上|pq|=r；點p在圓外|po|r從數(shù)的角度來看，設圓的標準方程為(xa)2+(yb)2=r2，圓心為a（a，b），半徑為r，則點m（x0，y0）在圓上(x0a)2+(y0b)2=r2；點m（x0，y0）在圓外(x0a)2+(y0b)2r2；點m（x0，

23、y0）在圓內(x0a)2+(y0b)2r2舉一反三：【變式1】已知兩點p1（3，8）和p2（5，4），求以線段p1p2為直徑的圓的方程，并判斷點m（5，3）、n（3，4）、p（3，5）是在此圓上、在圓內、還是在圓外？【答案】點m在此圓外，點n在此圓上，點p在此圓內類型四：軌跡問題例等腰abc的底邊一個端點b(1，-3)，頂點a(0，6)，求另一個端點c的軌跡方程，并說明軌跡的形狀資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理【思路點撥】可以判斷出c的軌跡以a為圓心，半徑為|ab|的圓.利用直接法求出方程.【答案】x2+(y-6)2=82除去點(-1，15)和點(1，-3)【解析】由題意得|ca

24、|=|ab|，則點c到定點a的距離等于定長|ab|，所以c的軌跡是圓.又|ab|=(1-0)2+(-3-6)2=82，c的軌跡方程為x2+(y-6)2=82除去點(-1，15)和點(1，-3)，即c的軌跡形狀是以點a(0，6)為圓心，半徑為82的圓，其中去除點(-1，15)和點(1，-3).【總結升華】本例求軌跡方程的方法是直接法用直接法求曲線方程的步驟如下：（1）建系設點：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，設曲線上任一點坐標為m（x，y）；（2）幾何點集：寫出滿足題設的點m的集合p=m|p(m)；（3）翻譯列式：將幾何條件p（m）用坐標x、y表示，寫出方程f(x,y)=0；（4）化簡方程：通過同解變形化簡方程；（5）查漏除雜：驗證方程表示的曲線是否為已知的曲線，