待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)公式

1、待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)公式例題匚在數(shù)列中， = 1.=試求其通頊公弍:分析*顯熱這不是等差或等比數(shù)列F但如果在如為十1的兩邊冋時(shí)A上it整理 為3十1珈十1爲(wèi)此時(shí)，把和碼十1看作一個(gè)整體，或若換虧令也=AU1 + Ir 那么即如=2吊b=ai+L = 2f因此，數(shù)列佃十1或就是以2為首項(xiàng)， 以2為公二匕昭芋二匕數(shù)列- + i=2或者%.進(jìn)一步求出= 2K -1 .啟示*在這個(gè)問邈札 容易看岀衽左右兩邊加上1就構(gòu)成了新的等比數(shù)列佃十卜 那 不易看出在左右兩邊該加幾后構(gòu)成新的等比數(shù)列時(shí)，該怎么辦呢？其實(shí)，已知石二加”十1,可變形為十人=2（%-君的形式，然后展幵括號(hào)、移 項(xiàng)后再與.】亠1柜比較，利用

2、待定系數(shù)法可得2無-2= M = le這樣，對(duì)于形如衛(wèi)二戸心乜（其中嚴(yán)q為器叛 且同汕滬、的逵推數(shù)列， 先變?yōu)椋? 戶9產(chǎn)心尤形式，贋開“移匝 利甬行定.系數(shù)注百（去靈二g2=宀P-1即七7+七）p-ip-1疋數(shù)列氐+丄臘項(xiàng)為口廠丄掄比為p的等比數(shù)兀pljP-1S詡嚴(yán)+因此，形如g =這一類型的數(shù)列.都可以孔用待定系數(shù)法來求熹那么芝g支為/（）, /（）是關(guān)于n非零多項(xiàng)弍時(shí)，該怎么辦呢？是否也旨淀用待定系數(shù)法呢？+（內(nèi)二0左 =1）型例題Z在數(shù)列中，a. =1, a =2q + 3n + l,試求其通項(xiàng)公式。分析，技照例題1的思路，在兩邊屣妾切上某一常數(shù)同時(shí)也妾加上n的倍數(shù)，才能使新的數(shù)列有一

3、致的形式C先變?yōu)楹?：+恥十1）一2 = 2（6十刀）十1,畏開比較得2 = 3即%嚴(yán)3(力+1) = 2(務(wù) + 3町+4進(jìn)一步+ 3(n +1) + 4 = 2(a% 3n + 4)則數(shù)列：務(wù)-卜3x4是a：十3xl-4 = 8苣壩為兔十3xl + 4 = 8公比為2的等比數(shù)列，所以同樣.形如為二叫十驢+尸的遞推數(shù)列.設(shè)+ xn+1）+j - p（an + xw + 展開. 移項(xiàng)、整理.比較對(duì)應(yīng)系數(shù)相等.列出方程解得x十廠- qrr p-i 9-i)廠“-1 的等比數(shù)列，于是就可以進(jìn)一步求出厲;的通項(xiàng).即s負(fù)（?。┮?十；嚴(yán)sq “ q jp-l (p-0*p-1則數(shù)列心嚴(yán)為沽是以吩；廣（

4、爲(wèi)+二為首項(xiàng)以P為公比同理.若訂=化廣/5)其中/(“)是關(guān)于的多頊弍時(shí).也可以構(gòu)造新的尊比數(shù)列. 利用待定系數(shù)法求出其通項(xiàng)。比如當(dāng)/(“)=0,+嚴(yán)時(shí)可設(shè)j + x(n + 1)2+j(m1) + z = p(a + xn +yn+z)展開根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)分別相尊求夠方程即可。/(町為n的三次、四次、五次等多項(xiàng)式時(shí)也能冃冋樣的思路和方法進(jìn)行求解。而如果當(dāng)/(“)是的韋數(shù)式.關(guān)/(“) = /+廣時(shí).送拒公式又捋幻何變形呢?三作昇=pa”+ rg + $ 型(pqr 0.目pwl.g =l.p = q)例題3.在數(shù)列dj中，5 = 1, J】 =3a” + 2”，試求其通項(xiàng)q,。分析1：由于產(chǎn)3%

5、 + 2”與例懸1的區(qū)別在于21是指數(shù)式.可以冃上面的思晤進(jìn)行變 形，在兩邊同時(shí)加上2x2變?yōu)閍小+ 2-1 = 3一3x2 1R%： + 2”J = 3(a” 2”)則數(shù)列% + 2”是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列十2，=3”貝9分析2：如巣埒擊數(shù)式先變?yōu)榧覕?shù).兩邊同除2_1 3 a, 1 9 2 2 就回到了我們的類型一。進(jìn)一步也可求出a” = 32J例題4.在數(shù)列匕中，a = 3, g = 十5 x 2”十4 ,試求g的通項(xiàng)a八分析：若按例題3的思路2在兩邊同時(shí)除以2 雖然產(chǎn)生了竺、冬.但是又增加 2小2”了呂T，與原式并沒有丈的變化.所以只能運(yùn)用邕珞1，在兩邊同時(shí)加上10x2”整理十

6、5x2 =3(a” + 5x2*) + 4進(jìn)一步則數(shù)列仏+ 5x2十2是首項(xiàng)為10,公比為3的等比數(shù)更dK+5x2n-t-2-15x3K_1-5x3n即a” = 5(3”-2)-2啟示$己知數(shù)列厲的首項(xiàng),%】=parqnspqr # 0比豐l,q八q豐p)1)當(dāng)0,即=由例題3知，有兩種恿路斑行變按，利用待定系數(shù)法構(gòu)適首項(xiàng)和公比己知或可求的尋比數(shù)列。思洛一：在兩邊同時(shí)除以qR,將不含和兔的項(xiàng)變?yōu)槌?shù)，即rtlnq q q qr為前面的類型一，再弓類型一的芍定系數(shù)法思整可得數(shù)列.3十丄，最終求解岀% q 1q的通項(xiàng)。思路二：在兩邊叵盯柯上/為倍數(shù)昜終能交形為口小= p(a.txqn)對(duì)應(yīng)系數(shù)用等

7、得(jj-q)x = r ,即.兀=p-q%+=p_q+q )p_q求岀數(shù)列的通靦進(jìn)一步求岀厲的通項(xiàng)p.q2)當(dāng)jmOE孔口小=“”_廠加+，生例4可知只能在選擇思路二，兩邊既妾協(xié)/的倍數(shù).也妾切莒數(shù).最終能變形為九1+X廣+尹=況務(wù)+如+刃比較得X, y的方程組f(p-g)x(DyP-1于是匕,宀SP-1求岀數(shù)列% + y. q” +右的通項(xiàng)，進(jìn)一步求岀%的通項(xiàng)四；3 =皿7-外*（力型（已知弘血其中門1）可以為竄數(shù)、n的多項(xiàng)弍或指數(shù)式） 以/w=o為例。71例鎳5在數(shù)列%中.a =l,cr2 = 2,02 = . +訐兀試求久的通項(xiàng)。wJ分析：這是三項(xiàng)之間速推數(shù)列.根據(jù)前直的思昭.可以把J

8、看做毎數(shù)過行處珪.可變 為- an- = _ （an-l ar） 1 先求岀數(shù)列%1 - at 的通項(xiàng)然后利用累加法即可進(jìn)一步求出0的通項(xiàng)久e對(duì)于形如= “歸十？遞推數(shù)刃，可以設(shè)a十xj=丿（J十xa”）畏開，利用 對(duì)應(yīng)系數(shù)相等.列方fs（xy=/，I xy 二 q于是數(shù)列就是以色亠“為首項(xiàng)，y為公比的等比數(shù)列，不難求岀 他丿+耳的通項(xiàng)進(jìn)一步利月用關(guān)即可求岀厲。叵理，.2*%】+晦+ /何 當(dāng)/何為非零多項(xiàng)式或巻是指數(shù)式時(shí)，也可結(jié)臺(tái)前 百的匡路進(jìn)行處理。問題的關(guān)謎在于先變形a ”2 十 XJ = )(a_十/ () 然后攔+看做一個(gè)整體就變?yōu)榱饲懊娴念愋汀Ｎ澹簆= 1且p w RS廠=0h1)

9、型a“：為正項(xiàng)數(shù)歹【.例題6.在數(shù)列%中.a】=l,a“.： = 2aJ試求其通項(xiàng)an。分析：此題和貳面的幾和類型沒有相冋之處，左邊是一次式，而右邊是二次式，關(guān)鋌右 于適過變形,便兩邊次數(shù)相同，由于務(wù)0 ,所以可聯(lián)想到對(duì)數(shù)的相關(guān)性員，對(duì)備=2。 兩邊取對(duì)數(shù)，即k i= U(2a/) = lg2 + lgan2=2 lg an -+lg2就是繭面的類型一了，即Ig%i*lg2 = 2(lgd”+lg2)Igfl1|+lg2 = (lg2)x2-l = lg 2廣；變形得6=227對(duì)于類似嚴(yán)卩心9工1且以用，心0,“1)的遞貳數(shù)列.由于兩邊次數(shù)不一致. 又是正項(xiàng)數(shù)宛.所以可次利爭(zhēng)對(duì)數(shù)性質(zhì).兩為同時(shí)

10、取對(duì)數(shù).得然后戲是前面蕪類型一 了 就可以利冃待定炙數(shù)法進(jìn)一步構(gòu)港數(shù)列化:警為己知首項(xiàng)和公比旳等比數(shù)列了 c求出、；lg %】-:晨終就可以得出的通項(xiàng)。同樣,如果將且牛丈，中的p換為指數(shù)式?”時(shí),同樣 町以利用相同的方法。即：dp：H I且fhO：fh1)兩邊取對(duì)數(shù)lg=lg( an +所以數(shù)列宀T是首項(xiàng)為邑曰，公比為也的等比數(shù)刃。進(jìn)一步求岀4。七；araPd + q(p齊 0. p = 2r.q2 十ds 0)型例題9在數(shù)列q中，q =二？試求其涌項(xiàng)厲2a”+ 2分析，本題屬于分式菲線性邁推式與類至五又有相似之處，祈以我們可次結(jié)合類型壬、六的思路，逬行變按；兩邊同時(shí)加上某個(gè)常數(shù)，設(shè)最獎(jiǎng)變?yōu)椋盒腷與原式比較.對(duì)應(yīng)系數(shù)相筈，得解方程得= 1* X-) = 3即有，2%+2“1 = 32%+ 2對(duì)單個(gè)式子進(jìn)行處理,無從下手，兩式相比得%:十3 =匕并十3然后，兩邊取對(duì)數(shù)得：則數(shù)列JlgG是首項(xiàng)為lgl3 = g5 ,公比為2的尊比數(shù)列。 1J5 -1進(jìn)一步鋅得顯然按照例題9的恩絶，形如莊竺匚王3尸丘切這類型的參數(shù)壯$必pg+q犯活定一定的條件.所得方程應(yīng)有兩個(gè)卜菇葦側(cè)實(shí)很:現(xiàn)在來採討應(yīng)該丫育足哪些條件?念十+ “叫2二即,Pn +?P 宀 Q所以+xpa科 + 岡 + $ ra + Zrxa + rx對(duì)旺系載相等得p = 2).rx2 j = 0f? c gx 3 二 0禪足 A