7.4矩陣的初等變換.

1、7.4矩陣的初等變換課題：矩陣的初等變換目的要求：1 掌握矩陣的初等行變換的概念。2 熟練掌握用矩陣初等行變換求逆矩陣。3 會用矩陣初等行變換解線性方程組重點：用矩陣初等行變換求逆矩陣難點：用矩陣初等行變換解線性方程組教學(xué)方法：教學(xué)時數(shù)：教學(xué)進程：講練結(jié)合4課時、矩陣的初等行變換定義 矩陣的初等行變換是指對矩陣進行以下三種變換：變換矩陣的某兩行位置；用一個非零數(shù)乘矩陣某行的所有元素；把矩陣某一行的 K倍加到矩陣的另一行上去.矩陣A經(jīng)過初等行變換得到矩陣B，通常記作A B，一般A B 符號 （r ）（仃）,（rJK,（rJ K（）分別表示交換A的第i行與j行，第i行乘K及第j行的K 倍加到第i行

2、上將定義中所有的“行”字改為“列”字，就得到矩陣的初等列變換的定義，矩陣的初等 行變換和矩陣的初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換例1設(shè)矩陣A 1 46依次對A施行如下初等變換:0 8 16第2行乘（】）；8第2行乘-4加到第1行上解2 0414A1 46(rj（2）200 81608（2）（8）140 8616弘）80 0010 2(4)(1”2）（1)01 2交換A的第1行與第2 行;第1行乘-2加到第2行上;第2行乘1加到第3行；61464(2)( rj(0816160816146012000如果一個矩陣每一個非零行的非零首元素出現(xiàn)在上一行非零首元素的右邊，同時沒有個非零行出現(xiàn)在零行之下，則稱

3、這種矩陣為行階梯形矩陣 如果行階梯形矩陣的每一個非零 行的非零首元素都是 1，且非零首元素所在列的其余元素都為 0，則稱這種矩陣為簡化行階 梯形矩陣?yán)缦旅鎯蓚€矩陣都是行階梯形矩陣120021301A 00101 ,B0210000100001B不是簡化行階梯形矩陣1232例2將矩陣A122124812解先把A化為階梯形矩陣12321A12212248124且A為簡化行階梯形矩陣，而2化為階梯形矩陣和行簡化階梯形矩陣4（ri） （“）1仏）2（ri）002 3 210 1310 2 8 612321）2億）00131 ;00024再化為行簡化階梯；形矩陣，即(1)3(D)如）120740013

4、10001212 0 010（1）7（3）001050 0 0 12由此例可看到，矩陣 含非零行的行數(shù)是唯一的,A的階梯形矩陣是不唯一的，但是，一個矩陣的階梯形矩陣中所 簡化行階梯形矩陣是唯一的于是，這就為用行初等變換解線性方程組提供了一個明確的目標(biāo)二、用矩陣初等行變換求逆矩陣若n階矩陣A可逆，矩陣A總可以通過一系列的初等行變換化為單位矩陣，則用同樣的初等行變換就將I化為A-1.這就給我們提供了一個計算A-1的有效方法：若對AI施-以初等行變換將A變?yōu)镮 ,則I就變?yōu)锳-1,即初等行變換11A II A12 3例3將矩陣A21 2，求逆矩陣A-1.13 4123 10 0）2(A)1231 0

5、0解（A,l）212 01 0 (r3)(G0342 10134 00 101111 01（2）（3）（1）2（2）10130（3）3（2）0 111 010 130 1 1 100 15（rj （b）（2）（3）0 015 11002110106140015132 1 11A 614.513值得注意的是，用初等行變換求逆矩陣時，必須始終用初等行變換，其間不能作任何初 等列變換且在求一個矩陣的逆矩陣時， 不必考慮這個矩陣是否可逆， 只要在用初等行變換 的過程中，發(fā)現(xiàn)這個矩陣不能化成單位矩陣，則它就沒有逆矩陣三、用矩陣初等行變換解線性方程組消元法是解二元、三元一次線性方程組常用的辦法， 將其運用

6、到解n元線性方程組中也 是有效的它的基本思想是將方程組中的一部分方程變成未知量較少的方程，從而求出方程組的解下面通過例子說明如何解系數(shù)行列式不等于零的線性方程組x-i 2 x2 3x37例4用消元法解線性方程組2x1 x2 2x38 x-i 3x27解把方程組的消元過程與方程組對應(yīng)的增廣矩陣的初等變換過程對照方程組的消兀過程增廣矩陣的變換過程X12x23x3712372x1 x22x3821283x270001（2）2（J%2x2 3x37（2）2（J1237（3）（1）5x2 4x36（3）（1）0546X23x31401314%2 X2 3X371237（2）（3）X23x314（2）（3

7、）013145x2 4x360546X12X2 3X371237（3）5（2）X23X314（3）5（2）0131419x376001976加3）19X1X2X32x23x343x3147舟億）191002103317144(rj3億）(A)3(叨X12x251205億）3仏）X22(r2)3( r3)0102X340014X111001(G2(r2)X22(r1)2( r2)0102X340014x11由此得到方程組的解為X2 2X34由上表可以看出，方程組的消元順序與增廣矩陣的初等變換順序完全相同般地，對一個n元線性方程組，當(dāng)它的系數(shù)行列式不等于零時,增廣矩陣施以適當(dāng)?shù)男谐醯茸儞Q，使它成為

8、以下的形式:100C1010c22 ，那么矩陣只要對方程組的001cn的最后一列元素就是方程組的解，即x1=c 1 , X2=C2,Xn=Cn.這種消元法稱為矩陣法3x1X2X3X404x1X2X3X472x1X2X3X452xi 3x2 X3 X43例5用矩陣法解線性方程組23113311 103解A1110(rj（2）231 1341117411 1721115211 151700077 (r1)10001(A)（3）23113（4）2311341117411172111521115(r2)2(r1)(r3)4(r1)1000 110001(L)2(G0311 1（2）（4）011130111 3011130111 303111（3）（D）10001(“)4( r2)01113002260024102(r3)1100012（r4）011130011300012X11因此方程組的解為X20X31 X4210001（4）仏）011130022600024(D)(叨 1 0 0 01(D)(L)010000 0 10 10 0 0 1 2由此可見，用矩陣的初等行變換表示線性方程組求解過程，不僅簡便而且清晰明了歸納起來，用矩陣法求線性方程組的解的過程可以表述為：首先用增廣矩陣A