CADCAM講稿3PPT課件

1、太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 姚平喜 太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造 （第三講） 太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 第三章第三章 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ) CAD/CAM是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)最早的， 也是最重要的一個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域，而計(jì)算機(jī) 圖形學(xué)又是它的重要基礎(chǔ)。因此，本章 介紹計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的有關(guān)基礎(chǔ)知識。 太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 3.1 圖形學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 在計(jì)算機(jī)繪圖中，其圖形變換、幾何 造型等與數(shù)學(xué)中的許多概念有關(guān)，如坐標(biāo) 矢量、矩陣、交點(diǎn)計(jì)算等等，下面分別介 紹。 3.1.1 坐標(biāo)系 為了定量地描述空間物體的幾何形狀、 大小和方位，必須使用坐標(biāo)系。在計(jì)算機(jī) 圖形學(xué)中主要使用笛卡爾直角

2、坐標(biāo)系。 太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 下面介紹計(jì)算機(jī)繪圖中需要用到的幾種坐標(biāo)系。 (1) 世界坐標(biāo)系（World Coordinates）簡稱WC， 它是右手三維直角坐標(biāo)系。它一般是用戶繪圖時(shí) 所用的坐標(biāo)系，也稱為用戶坐標(biāo)系。其坐標(biāo)系的 單位可以是微米(m)、毫米(mm)、千米(km)、英 尺或英寸等，一般均使用實(shí)數(shù)，取值范圍并無限 制。 (2) 設(shè)備坐標(biāo)系（Device Coordinates）簡稱DC， 它往往使用在設(shè)備這一級，是與設(shè)備的物理參數(shù) 有關(guān)的坐標(biāo)系，如圖形顯示器使用屏幕坐標(biāo)系， 繪圖儀使用繪圖坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系的單位是像素 或繪圖筆的步長等（也即設(shè)備的分辨率），它們 都是整數(shù)，且有

3、固定的取值范圍。 太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 （3）規(guī)范化設(shè)備坐標(biāo)系（Normalized Device Coordinates）簡稱NDC，使用這種 坐標(biāo)系是為了使圖形支撐軟件能擺脫對具 體物理設(shè)備的依賴性，也是為了能在不同 應(yīng)用和不同系統(tǒng)之間交換圖形信息，所以 規(guī)范化設(shè)備坐標(biāo)系是一種中間坐標(biāo)系。其 坐標(biāo)的取值范圍約定在區(qū)間0,1上。 太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 3.1.2 齊次坐標(biāo)技術(shù) 在前述的坐標(biāo)系中，我們能定量地描述三 維或二維物體的形狀、大小和方位，但在計(jì)算 機(jī)圖形學(xué)中，為了能方便地描述各種圖形變換 算法，就需要引入幾何學(xué)中的齊次坐標(biāo)表示法， 齊次坐標(biāo)在點(diǎn)、線、面的表示和形體的處理等 方

4、面都是很有用的工具。 所謂齊次坐標(biāo)表示法就是用n+1維向量表示 n維向量。n維空間中點(diǎn)的位置向量具有n個(gè)坐標(biāo) 分量（P1,P2,.,Pn），且是唯一的。若用齊次坐 標(biāo)表示時(shí)，此向量有n+1個(gè)坐標(biāo)分量 （hP1,hP2,hPn,h），且不唯一。 太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 y x z o ab c a1b1 c1 H H=1 齊次坐標(biāo)的幾何意義 用規(guī)范化齊次 坐標(biāo)(x,y,1)表示二 維點(diǎn)（x,y），其幾 何意義相當(dāng)于點(diǎn) （x,y）落在H 的平面上。 太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 使用齊次坐標(biāo)表示法有以下優(yōu)點(diǎn)： （1）引入齊次坐標(biāo)后，能使二維、三維甚 至高維空間中的圖形從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一 個(gè)坐標(biāo)系

5、更方便有效，能實(shí)現(xiàn)圖形的所有基本 變換; （2）引入齊次坐標(biāo)后，可以用齊次坐標(biāo)表 示無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，并且可通過透視變換將無限遠(yuǎn)點(diǎn) 變換為有限遠(yuǎn)點(diǎn)。 太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 3.1.3 矢量運(yùn)算 在圖形變換中，大量需要矢量。所 謂矢量是指具有指向的線段。如圖3-4所 示，從A點(diǎn)到B點(diǎn)的矢量記作ABAB，則ABAB可 表示為 )()()( ababab zzyyxx 太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 設(shè)有矢量V1(x1,y1,z1)，V2(x2,y2,z2)，有關(guān)它們的運(yùn)算有 1.兩個(gè)矢量之和 V1+V2=x1+x2 y1+y2 z1+z2 2.兩個(gè)矢量之點(diǎn)積 3.兩個(gè)矢量之叉積 4.矢量之長度 太原理工大學(xué)

6、機(jī)械工程學(xué)院 3.1.4 矩陣運(yùn)算 1.矩陣的加法 設(shè)有兩個(gè)矩陣A和B，則矩陣A與B的和記為AB。注 意：只有兩個(gè)矩陣的行數(shù)相同且列數(shù)也相同時(shí)，這 兩個(gè)矩陣才能作加法。 2.數(shù)與矩陣相乘 數(shù)k與矩陣A的乘積記作kA或Ak。 3.矩陣與矩陣相乘 設(shè)A是一個(gè)ms矩陣，B是一個(gè)sn矩陣，那么矩陣 A與B的乘積是一個(gè)mn矩陣，并把此乘積記為：C AB。注意：只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣（左矩陣）的列 數(shù)等于第二個(gè)矩陣（右矩陣）的行數(shù)時(shí)，這兩個(gè)矩 陣才能相乘。 太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 4.單位矩陣 在一個(gè)矩陣中，從左上角到右下角的直線（稱為主 對角線）上的元素都是1，其它元素都是零，這樣的 矩陣稱為單位矩陣。 太

7、原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 3.1.5 交點(diǎn)計(jì)算 1.直線與直線相交 只要此二直線不平行，則它們必定有交點(diǎn)。因此，只要 判斷此二直線不平行，便可求得交點(diǎn)坐標(biāo)。 2.直線段與直線段相交 3.直線段與圓弧段相交 4.圓弧段與圓弧段相交 (a)(b) 太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 3.1.1 曲線的表示 曲線的表示是描述物體的外形、建立所畫物體 圖形的數(shù)學(xué)模型的有力工具。在實(shí)際應(yīng)用中，通常 是根據(jù)一系列實(shí)測數(shù)據(jù)的有序型值點(diǎn)（控制點(diǎn)）， 采用擬合或逼近的方法，建立一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式，使 該式能定義一條曲線，此曲線既能反映原型值點(diǎn)所 代表的曲線的性質(zhì)和形狀，又能滿足實(shí)際應(yīng)用的要 求，并便于人們的直觀控制。所謂曲線的

8、擬合是指 完全通過給定型值點(diǎn)列來構(gòu)造曲線的方法;而曲線的 逼近是指幾何形狀上與給定型值點(diǎn)列的連線相近似 的曲線，這種曲線不必通過型值點(diǎn)列。以下介紹的 兩種常用的參數(shù)曲線：Bezier曲線和B樣條曲線，都 是采用曲線逼近的方法生成的曲線。 太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 1. Bezier曲線 Bezier曲線是通過一 組多邊折線的各頂 點(diǎn)唯一地定義出來 的，一般稱此折線 為曲線的特征多邊 形。在多邊折線的 各頂點(diǎn)中，只有第 一點(diǎn)和最后一點(diǎn)在 曲線上，其余的頂 點(diǎn)則用以定義曲線 的階次和形狀。 pi p n p 2 p1 p0 p(t) 太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 B樣條曲線 Bezier曲線雖能適合實(shí)際應(yīng)用，但它卻不能作局部 修改，另外，特征多邊形頂點(diǎn)的數(shù)量決定了曲線 的階次，這是不太方便的。其二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的分 段三次曲線，還需要附加一些條件，也不夠靈活。 為了克服這些缺點(diǎn)，在1972-1974年期間，人們拓