CADCAM講稿3PPT課件

1、太原理工大學機械工程學院 姚平喜 太原理工大學機械工程學院 計算機輔助設計與制造 （第三講） 太原理工大學機械工程學院 第三章第三章 計算機圖形學基礎計算機圖形學基礎 CAD/CAM是計算機圖形學最早的， 也是最重要的一個應用領域，而計算機 圖形學又是它的重要基礎。因此，本章 介紹計算機圖形學的有關基礎知識。 太原理工大學機械工程學院 3.1 圖形學的數學基礎 在計算機繪圖中，其圖形變換、幾何 造型等與數學中的許多概念有關，如坐標 矢量、矩陣、交點計算等等，下面分別介 紹。 3.1.1 坐標系 為了定量地描述空間物體的幾何形狀、 大小和方位，必須使用坐標系。在計算機 圖形學中主要使用笛卡爾直角

2、坐標系。 太原理工大學機械工程學院 下面介紹計算機繪圖中需要用到的幾種坐標系。 (1) 世界坐標系（World Coordinates）簡稱WC， 它是右手三維直角坐標系。它一般是用戶繪圖時 所用的坐標系，也稱為用戶坐標系。其坐標系的 單位可以是微米(m)、毫米(mm)、千米(km)、英 尺或英寸等，一般均使用實數，取值范圍并無限 制。 (2) 設備坐標系（Device Coordinates）簡稱DC， 它往往使用在設備這一級，是與設備的物理參數 有關的坐標系，如圖形顯示器使用屏幕坐標系， 繪圖儀使用繪圖坐標系。該坐標系的單位是像素 或繪圖筆的步長等（也即設備的分辨率），它們 都是整數，且有

3、固定的取值范圍。 太原理工大學機械工程學院 （3）規(guī)范化設備坐標系（Normalized Device Coordinates）簡稱NDC，使用這種 坐標系是為了使圖形支撐軟件能擺脫對具 體物理設備的依賴性，也是為了能在不同 應用和不同系統(tǒng)之間交換圖形信息，所以 規(guī)范化設備坐標系是一種中間坐標系。其 坐標的取值范圍約定在區(qū)間0,1上。 太原理工大學機械工程學院 3.1.2 齊次坐標技術 在前述的坐標系中，我們能定量地描述三 維或二維物體的形狀、大小和方位，但在計算 機圖形學中，為了能方便地描述各種圖形變換 算法，就需要引入幾何學中的齊次坐標表示法， 齊次坐標在點、線、面的表示和形體的處理等 方

4、面都是很有用的工具。 所謂齊次坐標表示法就是用n+1維向量表示 n維向量。n維空間中點的位置向量具有n個坐標 分量（P1,P2,.,Pn），且是唯一的。若用齊次坐 標表示時，此向量有n+1個坐標分量 （hP1,hP2,hPn,h），且不唯一。 太原理工大學機械工程學院 y x z o ab c a1b1 c1 H H=1 齊次坐標的幾何意義 用規(guī)范化齊次 坐標(x,y,1)表示二 維點（x,y），其幾 何意義相當于點 （x,y）落在H 的平面上。 太原理工大學機械工程學院 使用齊次坐標表示法有以下優(yōu)點： （1）引入齊次坐標后，能使二維、三維甚 至高維空間中的圖形從一個坐標系變換到另一 個坐標系

5、更方便有效，能實現圖形的所有基本 變換; （2）引入齊次坐標后，可以用齊次坐標表 示無窮遠點，并且可通過透視變換將無限遠點 變換為有限遠點。 太原理工大學機械工程學院 3.1.3 矢量運算 在圖形變換中，大量需要矢量。所 謂矢量是指具有指向的線段。如圖3-4所 示，從A點到B點的矢量記作ABAB，則ABAB可 表示為 )()()( ababab zzyyxx 太原理工大學機械工程學院 設有矢量V1(x1,y1,z1)，V2(x2,y2,z2)，有關它們的運算有 1.兩個矢量之和 V1+V2=x1+x2 y1+y2 z1+z2 2.兩個矢量之點積 3.兩個矢量之叉積 4.矢量之長度 太原理工大學

6、機械工程學院 3.1.4 矩陣運算 1.矩陣的加法 設有兩個矩陣A和B，則矩陣A與B的和記為AB。注 意：只有兩個矩陣的行數相同且列數也相同時，這 兩個矩陣才能作加法。 2.數與矩陣相乘 數k與矩陣A的乘積記作kA或Ak。 3.矩陣與矩陣相乘 設A是一個ms矩陣，B是一個sn矩陣，那么矩陣 A與B的乘積是一個mn矩陣，并把此乘積記為：C AB。注意：只有當第一個矩陣（左矩陣）的列 數等于第二個矩陣（右矩陣）的行數時，這兩個矩 陣才能相乘。 太原理工大學機械工程學院 4.單位矩陣 在一個矩陣中，從左上角到右下角的直線（稱為主 對角線）上的元素都是1，其它元素都是零，這樣的 矩陣稱為單位矩陣。 太

7、原理工大學機械工程學院 3.1.5 交點計算 1.直線與直線相交 只要此二直線不平行，則它們必定有交點。因此，只要 判斷此二直線不平行，便可求得交點坐標。 2.直線段與直線段相交 3.直線段與圓弧段相交 4.圓弧段與圓弧段相交 (a)(b) 太原理工大學機械工程學院 3.1.1 曲線的表示 曲線的表示是描述物體的外形、建立所畫物體 圖形的數學模型的有力工具。在實際應用中，通常 是根據一系列實測數據的有序型值點（控制點）， 采用擬合或逼近的方法，建立一個數學表達式，使 該式能定義一條曲線，此曲線既能反映原型值點所 代表的曲線的性質和形狀，又能滿足實際應用的要 求，并便于人們的直觀控制。所謂曲線的

8、擬合是指 完全通過給定型值點列來構造曲線的方法;而曲線的 逼近是指幾何形狀上與給定型值點列的連線相近似 的曲線，這種曲線不必通過型值點列。以下介紹的 兩種常用的參數曲線：Bezier曲線和B樣條曲線，都 是采用曲線逼近的方法生成的曲線。 太原理工大學機械工程學院 1. Bezier曲線 Bezier曲線是通過一 組多邊折線的各頂 點唯一地定義出來 的，一般稱此折線 為曲線的特征多邊 形。在多邊折線的 各頂點中，只有第 一點和最后一點在 曲線上，其余的頂 點則用以定義曲線 的階次和形狀。 pi p n p 2 p1 p0 p(t) 太原理工大學機械工程學院 B樣條曲線 Bezier曲線雖能適合實際應用，但它卻不能作局部 修改，另外，特征多邊形頂點的數量決定了曲線 的階次，這是不太方便的。其二階導數連續(xù)的分 段三次曲線，還需要附加一些條件，也不夠靈活。 為了克服這些缺點，在1972-1974年期間，人們拓