添平行線12種解法5頁

1、趣談一道中考試題的12種解法 201808 嘉定區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院 孫琪斌 201807 嘉定區(qū)婁塘學(xué)校 朱文娟 圖1ABCDEF早在20年前我們就發(fā)現(xiàn)有一類題目的證明方法時常成對出現(xiàn)！也就是說假如在點(diǎn)（如圖1）可以通過作平行線構(gòu)造基本圖的策略找到一種解決方法，那么在點(diǎn)一定還存在著另外一種添加平行線的方法，即這類題目或者有兩種方法或者有4種方法或者有6種方法或者8種方法（證法成對出現(xiàn)）.利用這個證法成對出現(xiàn)的猜想研究2009年山東省濰坊市的一道中考題，我們先后找到了12種方法.也就是說在已知圖形（圖1）的每個點(diǎn)上都找到了兩種證法；更令我們開心的是，當(dāng)我們把這個證法成對的猜想告訴同學(xué)們之后，一部分學(xué)

2、生居然也能夠發(fā)現(xiàn)12種方法.下面借助教學(xué)片段簡述證法成對出現(xiàn)的緣由以及我們給出12種方法的部分生成過程.例題：（2009，山東濰坊）已知：，延長到，使取的中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)（如圖1）A圖2BCDEFG（1）求的值；（2）若，,求的長師：欲求，我們可以嘗試添加平行線構(gòu)造基本圖（型圖或型圖），然后在所形成的型圖或型圖中尋找與有關(guān)的比例式.A圖4CDEG圖3ADBFG若過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)(如圖2)，則可得兩個型基本圖（圖3、圖4）.B看圖3：，. 又，.圖5ABCDEFG看圖4：，.看圖2：，.由此，易得：.本文把這個方法稱為方法1.若過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)（圖5），也可以得到兩個型基本圖（圖6、圖7

3、）.方法2：看圖6：，. ，.看圖7：圖6ABDFG，.看圖5：由，易得.圖7ACDEG（這時，除了已經(jīng)自主找到方法的學(xué)生之外，我尚沒有真正調(diào)動起更多學(xué)生的興趣.）師：現(xiàn)在我們回過頭來梳理梳理解題思路，這道題的真正價值并不僅僅在于我們過點(diǎn)發(fā)現(xiàn)了兩種方法，而在于“假如在點(diǎn)通過作平行線可以找到一種解決方法，那么在點(diǎn)一定還存在著另外一種添加平行線的方法.在點(diǎn)一定存在兩種證明方法，即證法成對出現(xiàn)”！生1：證法成對出現(xiàn)？什么是證法成對出現(xiàn)？生2：證法成對出現(xiàn),可能嗎？生3：偶然的巧合吧.師：（再次指向添加平行線之后形成的兩類基本圖-型圖、型圖），在點(diǎn)為什么存在兩種方法呢？或者說我們?nèi)绾握业酱嬖谟邳c(diǎn)的這兩

4、種方法呢？師：同學(xué)們只要仔細(xì)體會我們在點(diǎn)添加三角形某條邊的平行線所構(gòu)造出的兩類基本圖（型圖與型圖）,就可以從中找到答案.師：如圖1，我們過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)(如圖2)，則可得到與三角形一邊平行線有關(guān)的基本圖-型圖（圖3、圖4）；過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)（圖5），也可以得到與三角形一邊平行線有關(guān)的一類基本圖-型圖（圖6、圖7）.分別研究這兩類基本圖，我們先后找到了兩種解決問題的方法.（有些學(xué)生仿佛明白了，臉上呈現(xiàn)出若有所悟之后的喜悅，但更多的同學(xué)則依然茫然，）師：大家不妨試一試，看看這種證法成對出現(xiàn)的猜想在點(diǎn)、處是否存在？我現(xiàn)在可以把我的研究結(jié)果告訴大家，這道題目我已經(jīng)找到了12種方法，也就是說圖形

5、現(xiàn)有的每個點(diǎn)都存在著兩種證明方法！下面就看同學(xué)們能不能發(fā)現(xiàn)這些方法？（至此，學(xué)生的興趣終于被激發(fā)出來了，大家紛紛投入到發(fā)現(xiàn)、探究的行列中.）師：（約5分鐘后），要不要我提示提示？誰驗(yàn)證了這個證法成對出現(xiàn)的猜想？在哪個點(diǎn)？生1：不要提示.生2：再等一等，我已經(jīng)找到了一種方法.生3：老師，你過來看看我的這條輔助線是否對不對？師：（又過3分鐘后）這樣好不好，我們一邊交流大家現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的方法，一邊繼續(xù)探究新的方法.我們先來交流點(diǎn)的兩種方法，誰來黑板上講解自己的發(fā)現(xiàn)？就這樣，我們一邊交流一邊研究，一堂課就在這樣的交流互動中飛快地結(jié)束了后來，同事告訴我們，有些同學(xué)居然在接下來的其他課堂上偷偷地做這個數(shù)學(xué)

6、題下面我們簡述這道中考試題的其他方法. 方法3：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)（如圖8）.易得，.圖9ABCDEFG 方法4：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)（如圖9）.易得,.圖8ABCDEFG 分析與反思：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，可生成一個與相關(guān)的型圖與一個型圖（如圖8）；過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，也可以生成一個相關(guān)的型圖與一個型圖（如圖9），這就恰如我們利用分組分解法進(jìn)行因式分解一樣，只要分組之后的小組與小組之間依然存在公因式或可繼續(xù)應(yīng)用公式，那么這種分組方法就值得繼續(xù)嘗試下去，只要我們圍繞有利于生成與有關(guān)的比例式或有利于使用已知條件（如本題中的點(diǎn)是的中點(diǎn)）添加三角形一邊的平行線，那么解決問題的方法可能就蘊(yùn)含

7、其中.方法5：過點(diǎn)作，交點(diǎn)（如圖10）.圖11ABCDEFG圖10ABCDEFG易得 ，.方法6：過點(diǎn)作，交點(diǎn)（如圖11）.易得，.方法7：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)（如圖12）.易得，,，.設(shè)，則,.所以，.方法8：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)（如圖13），易得,(1)，(2).圖13ABCDEFG圖12ABCDEFG（2）（1），得 ,所以，.圖15ABCDEFG圖14ABCDEFG方法9：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)（如圖14），易得,（1），,即（2）（1）（2），得 ,所以，.方法10：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)（如圖15），易得，.設(shè)，則,，,.方法11：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)（如圖15），易得,所以，.設(shè),則，,.方法12：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)（如圖16），易得,.設(shè)，則,，,.圖15ABCDEFG圖16ABCDEFGBDEFAC圖17趣味練習(xí)1：如圖17，中，,求證：.提 示：該題也有12種解法. 趣味練習(xí)2：移動圖17中的點(diǎn)與點(diǎn)的位置，使他們分別成為、邊的中點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)、的交點(diǎn)其實(shí)就是的重心，由此，我們可以回歸到課本，也可以從這個三角形重心的基本圖中發(fā)現(xiàn)這類證法成對出現(xiàn)的問題原型以及系列問題變式，