2021年高中含參不等式的恒成立問(wèn)題整理版

1、高中數(shù)學(xué)不等式的恒成立問(wèn)題 一、用一元二次方程根的判別式 有關(guān)含有參數(shù)的一元二次不等式問(wèn)題，若能把不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)或二次方程，通過(guò)根的判別式或數(shù)形結(jié)合思想，可使問(wèn)題得到順利解決。基本結(jié)論總結(jié) 例1對(duì)于xr，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 例2已知不等式對(duì)于恒成立，求參數(shù)的取值范圍 解要使對(duì)于恒成立，則只須滿足（1） 或（2） 解（1）得 ，解（2） 參數(shù)的取值范圍是 練習(xí) 已知函數(shù)的定義域?yàn)閞，求實(shí)數(shù)的取值范圍。若對(duì)于xr，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。若不等式的解集是r，求m的范圍。取一切實(shí)數(shù)時(shí)，使恒有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍 例3設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。o x yx

2、-1 關(guān)鍵點(diǎn)撥為了使在恒成立，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論，使問(wèn)題得到圓滿解決。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問(wèn)題。解，則當(dāng)時(shí)，恒成立 當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，如圖，恒成立的充要條件為解得。綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為。例4 。已知，求使不等式對(duì)任意恒成立的a的取值范圍。解法1數(shù)形結(jié)合 結(jié)合函數(shù)的草圖可知時(shí)恒成立 。所以a的取值范圍是。解法2轉(zhuǎn)化為最值研究 若上的最大值。 若，得，所以。綜上a的取值范圍是。注 此處是對(duì)參a進(jìn)行分類討論，每一類中求得的a的范圍均合題意，故對(duì)每一類中所求得的a的范圍求并集。 恒成立；解法3分離參數(shù) 。設(shè)， 注 運(yùn)

3、用此法最終仍歸結(jié)為求函數(shù)的最值，但由于將參數(shù)a與變量x分離，因此在求最值時(shí)避免了分類討論，使問(wèn)題相對(duì)簡(jiǎn)化。 本題若將“”改為“”可類似上述三種方法完成。仿解法1即 讀者可仿解法2，解法3類似完成，但應(yīng)注意等號(hào)問(wèn)題，即此處也合題。例 已知求使恒成立的a的取值范圍。解法1數(shù)形結(jié)合結(jié)合的草圖可得或得。解法2轉(zhuǎn)化為最值研究 ，所以。 若矛盾。 若矛盾。綜上a的取值范圍是。解法3分離參數(shù) 時(shí)，不等式顯然成立，即此時(shí)a可為任意實(shí)數(shù)； 時(shí)，。因?yàn)樯蠁握{(diào)遞減，所以； 時(shí)，。因?yàn)樵冢?，1）上單調(diào)遞減，所以 。綜上a的范圍是。注本題中由于x的取值可正可負(fù)，不便對(duì)參數(shù)a直接分離，故采取了先對(duì)x分類，再分離參數(shù)a，

4、最后對(duì)各類中求得a的范圍求交集，這與例1方法三中對(duì)各類中求得的a的范圍求并集是不同的，應(yīng)引起注意！ 例 已知，求使對(duì)任意恒成立的x的取值范圍。解習(xí)慣上視x為主元而a為輔元，但本題中是a在上任意變化時(shí)不等式恒成立，故可將a視為主元。變更主元法設(shè)，則的圖像為一直線，則時(shí)恒成立 即x的范圍是總之，處理不等式恒成立問(wèn)題首先應(yīng)分清誰(shuí)是主元（哪一個(gè)變量在給定區(qū)間上任意變化，則該變量即為主元相當(dāng)于函數(shù)自變量），然后可數(shù)形結(jié)合或轉(zhuǎn)化為最值研究。若易于將參變量分離的可先分離參變量再求最值，若需分類討論則應(yīng)注意分類標(biāo)準(zhǔn)和最后的小結(jié)（分清是求交集，還是求并集）。二、利用函數(shù)的最值（或值域） （1）對(duì)任意x都成立 （

5、2）對(duì)任意x都成立。簡(jiǎn)單計(jì)作大的大于最大的，小的小于最小的。由此看出，本類問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問(wèn)題。例1已知函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解若對(duì)任意，恒成立，即對(duì)，恒成立， 考慮到不等式的分母，只需在時(shí)恒成立而得 而拋物線在的最小值得 例2 已知，若恒成立，求a的取值范圍. 解析 本題可以化歸為求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題,只要對(duì)于任意.若恒成立 或或，即a的取值范圍為. 點(diǎn)評(píng) 對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問(wèn)題,可以求函數(shù)最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.本題也可以用零點(diǎn)分布策略求解. 設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，如果不等式對(duì)于任意恒成立，

6、求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析本題可利用函數(shù)的單調(diào)性把原不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意恒成立，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解是增函數(shù)對(duì)于任意恒成立 對(duì)于任意恒成立 對(duì)于任意恒成立，令，所以原問(wèn)題，又即 易求得。三、變更主元法 在解含參不等式時(shí)，有時(shí)若能換一個(gè)角度，變參數(shù)為主元，可以得到意想不到的效果，使問(wèn)題能更迅速地得到解決。一般來(lái)說(shuō)，已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數(shù). 用一次函數(shù)的性質(zhì) 對(duì)于一次函數(shù)有例題1已知不等式對(duì)任意的都成立，求的取值范圍. 解我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變?cè)?，原不等式可化?令是關(guān)于m的一次函數(shù)。由題意知解得x的取值范圍是 關(guān)鍵點(diǎn)撥利用函數(shù)思想，變換主元

7、，通過(guò)直線方程的性質(zhì)求解。評(píng)注此類問(wèn)題常因思維定勢(shì)，學(xué)生易把它看成關(guān)于的不等式討論，從而因計(jì)算繁瑣出錯(cuò)或者中途夭折；若轉(zhuǎn)換一下思路，把待求的x為參數(shù)，以為變量，令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）的值在內(nèi)恒為負(fù)的問(wèn)題，再來(lái)求解參數(shù)應(yīng)滿足的條件這樣問(wèn)題就輕而易舉的得到解決了 例2對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問(wèn)題。解令，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。當(dāng)時(shí)，可得，不合題意。當(dāng)時(shí)，應(yīng)有解之得。故的取值范圍為。例3 已知對(duì)于任意的a-1,1，函數(shù)f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a0 恒成立，求x的取值

8、范圍. 解析 本題按常規(guī)思路是分a=0時(shí)f(x)是一次函數(shù)，a0時(shí)是二次函數(shù)兩種情況討論，不容易求x的取值范圍。因此，我們不能總是把x看成是變量，把a(bǔ)看成常參數(shù)，我們可以通過(guò)變量轉(zhuǎn)換，把a(bǔ)看成變量，x看成常參數(shù)，這就轉(zhuǎn)化一次函數(shù)問(wèn)題，問(wèn)題就變得容易求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a-1,1時(shí)，g(a)0恒成立，則，得. 點(diǎn)評(píng) 對(duì)于含有兩個(gè)參數(shù)，且已知一參數(shù)的取值范圍，可以通過(guò)變量轉(zhuǎn)換，構(gòu)造以該參數(shù)為自變量的函數(shù)，利用函數(shù)圖象求另一參數(shù)的取值范圍。例4 對(duì)于滿足|p|2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范圍。分析在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)變量x、p,并且是

9、給出了p的范圍要求x的相應(yīng)范圍，直接從x的不等式正面出發(fā)直接求解較難，若逆向思維把 p看作自變量，x看成參變量，則上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)函數(shù)值大于0恒成立求參變量x的范圍的問(wèn)題。解原不等式可化為 (x-1)p+x2-2x+10,令 f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,則原問(wèn)題等價(jià)于f(p)0在p-2,2上恒成立，故有o y 2 -2 x y -2 2 x 方法一或x 方法二即解得x 例5 已知，若恒成立，求a的取值范圍. 解析 本題可以考慮f(x)的零點(diǎn)分布情況進(jìn)行分類討論，分無(wú)零點(diǎn)、零點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)、零點(diǎn)在區(qū)間的右側(cè)三種情況，即0或或，即a的取值范圍為-7，2.

10、點(diǎn)評(píng) 對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于零的問(wèn)題,可以考慮函數(shù)的零點(diǎn)分布情況,要求對(duì)應(yīng)閉區(qū)間上函數(shù)圖象在x軸的上方或在x軸上就行了. 設(shè) （1）當(dāng)時(shí)，上恒成立， 上恒成立 （2）當(dāng)時(shí)，上恒成立 上恒成立 例6 若時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍。解設(shè)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，的最小值非負(fù)。（1） 當(dāng)即時(shí)， 又所以不存在；（2） 當(dāng)即時(shí)， 又 （3） 當(dāng) 即時(shí)， 又 綜上所得四、分離參數(shù)法 此類問(wèn)題可把要求的參變量分離出來(lái)，單獨(dú)放在不等式的一側(cè)，將另一側(cè)看成新函數(shù)，于是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成新函數(shù)的最值問(wèn)題若對(duì)于取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有恒成立，則；若對(duì)于取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有恒成立，則. 例1已知函數(shù)，

11、若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。在時(shí)恒成立，只要在時(shí)恒成立。而易求得二次函數(shù)在上的最大值為，所以。例2已知函數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，令，則 由可知在上為減函數(shù)，故 即的取值范圍為。注分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問(wèn)題順利得到解決。例3 已知函數(shù)，若在區(qū)間上，的圖象位于函數(shù)f(x)的上方，求k的取值范圍. 解析 本題等價(jià)于一個(gè)不等式恒成立問(wèn)題,即對(duì)于恒成立,式子中有兩個(gè)變量,可以通過(guò)變量分離化歸為求函數(shù)的最值問(wèn)題. 對(duì)于恒成立對(duì)于恒成立,令,設(shè),則,即x=1時(shí), k的取值范圍是k 變式 若本題中將改為，其余條件不變，則也可以用變量分離法解. 由題意得，對(duì)于恒

12、成立對(duì)于恒成立,令,設(shè),則， , k的取值范圍是k. 點(diǎn)評(píng) 本題通過(guò)變量分離，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，本題構(gòu)造的函數(shù)求最值對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有些難度，但通過(guò)換元后巧妙地轉(zhuǎn)化為“對(duì)勾函數(shù)”，從而求得最值. 變式題中構(gòu)造的函數(shù)通過(guò)換元后轉(zhuǎn)化為“二次函數(shù)型”，從而求得最值.本題也可以用零點(diǎn)分布策略和函數(shù)最值策略求解. 五、數(shù)形結(jié)合法 如果不等式中涉及的函數(shù)、代數(shù)式對(duì)應(yīng)的圖象、圖形較易畫(huà)出時(shí)，可通過(guò)圖象、圖形的位置關(guān)系建立不等式求得參數(shù)范圍. 例1已知函數(shù)若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 解在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)及的圖象，由于不等式恒成立，所以函數(shù)的圖象應(yīng)總在函數(shù)的圖象下

13、方，因此，當(dāng)時(shí)，所以故的取值范圍是 x y o 1 2 y1=(x-1)2 y2=logax 例2 當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范圍。分析若將不等號(hào)兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，右邊為對(duì)數(shù)函數(shù)，故可以采用數(shù)形結(jié)合借助圖象位置關(guān)系通過(guò)特指求解a的取值范圍。解設(shè)t1:=,t2:,則t1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對(duì)一切x(1,2), 1,并且必須也只需 故loga21,a1,1a 例3 若不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解由題意知在內(nèi)恒成立， 在同一坐標(biāo)系內(nèi)，分別作出函數(shù)和 觀察兩函數(shù)圖象，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖象顯然在函數(shù)圖象的下方，所以不成立；當(dāng)時(shí)，由圖可知，的圖象必須過(guò)點(diǎn)或在這個(gè)點(diǎn)的上方，則， 綜上得注解決不等式問(wèn)題經(jīng)常要結(jié)合函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖像的上、下位置關(guān)系來(lái)確定參數(shù)的范圍.利用數(shù)形結(jié)合解