牛吃草的問(wèn)題和水管問(wèn)題9頁(yè)

1、牛吃草的問(wèn)題列式子的依據(jù)是原有的草量不變。【例1】有一塊牧場(chǎng)，可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，則它可供25頭牛吃多少天？A.3B.4C.5D.6【解析】設(shè)該牧場(chǎng)每天長(zhǎng)草量恰可供頭牛吃一天，這片草場(chǎng)可供25頭牛吃天根據(jù)核心公式： ，代入【例2】有一塊牧場(chǎng)，可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，則它可供多少頭牛吃4天？A.20B.25C.30D.35【解析】設(shè)該牧場(chǎng)每天長(zhǎng)草量恰可供頭牛吃一天，這片草場(chǎng)可供頭牛吃4天根據(jù)核心公式： ，代入【例3】如果22頭牛吃33公畝牧場(chǎng)的草，54天后可以吃盡，17頭牛吃28公畝牧場(chǎng)的草，84天可以吃盡，那么要在24天內(nèi)吃盡40公畝牧場(chǎng)的草，需要多少頭牛？

2、 A.50B.46C.38D.35【解析】 設(shè)每公畝牧場(chǎng)每天新長(zhǎng)出來(lái)的草可供頭牛吃1天，每公畝草場(chǎng)原有牧草量，24天內(nèi)吃盡40公畝牧場(chǎng)的草，需頭牛 根據(jù)核心公式：，因此，選擇D【注釋】這里面牧場(chǎng)的面積發(fā)生變化，所以每天長(zhǎng)出的草量不再是常量?！纠?】林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可在9周內(nèi)吃光，21只猴子可在12周內(nèi)吃光，問(wèn)如果有33只猴子一起吃，則需要幾周吃光？（假定野果生長(zhǎng)的速度不變） A.2周B.3周C.4周D.5周【解析】設(shè)每天新生長(zhǎng)的野果足夠只猴子吃，33只猴子共需周吃完 有恒等式： 解，得，代入恒等式【例5】物美超市的收銀臺(tái)平均每小時(shí)有60名顧客前來(lái)排隊(duì)付款，每一個(gè)收銀臺(tái)每小時(shí)

3、能應(yīng)付80名顧客付款。某天某時(shí)刻，超高如果只開設(shè)一個(gè)收銀臺(tái)，付款開始4小時(shí)就沒有顧客排隊(duì)了，問(wèn)如果當(dāng)時(shí)開設(shè)兩個(gè)收銀臺(tái)，則付款開始幾小時(shí)就沒有顧客排隊(duì)了A.2小時(shí)B.1.8小時(shí)C.1.6小時(shí)D.0.8小時(shí)【解析】設(shè)共需小時(shí)就無(wú)人排隊(duì)了，【例6】草場(chǎng)有一片均勻生長(zhǎng)的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那么它可供21頭牛吃幾周?【解析】27頭牛吃6周相當(dāng)于276=162頭牛吃1周時(shí)間，吃了原有的草加上6周新長(zhǎng)的草； 23頭牛吃9周相當(dāng)于239=207頭牛吃1周時(shí)間，吃了原有的草加上9周新長(zhǎng)的草；于是，多出了207-162=45頭牛，多吃了9-6=3周新長(zhǎng)的草所以453=15頭牛1周可以吃1

4、周新長(zhǎng)出的草即相當(dāng)于給出15頭牛專門吃新長(zhǎng)出的草于是27-15=12頭牛6周吃完原有的草，現(xiàn)在有21頭牛，減去15頭吃長(zhǎng)出的草，于是21-15=6頭牛來(lái)吃原來(lái)的草； 所以需要1266=12(周)，于是2l頭牛需吃12周一般方法： 先求出變化的草相當(dāng)于多少頭牛來(lái)吃：(甲牛頭數(shù)時(shí)間甲-乙牛頭數(shù)時(shí)間乙)(時(shí)間甲-時(shí)間乙)； 再進(jìn)行如下運(yùn)算：(甲牛頭數(shù)-變化草相當(dāng)頭數(shù))時(shí)問(wèn)甲(丙牛頭數(shù)-變化草相當(dāng)頭數(shù))=時(shí)間丙或者：(甲牛頭數(shù)-變化草相當(dāng)頭數(shù))時(shí)間甲時(shí)間丙+變化草相當(dāng)頭數(shù)丙所需的頭數(shù) 【例7】有三塊草地，面積分別是4公頃、8公頃和10公頃草地上的草一樣厚而且長(zhǎng)得一樣快第一塊草地可供24頭牛吃6周，第二

5、塊草地可供36頭牛吃12周問(wèn)：第三塊草地可供50頭牛吃幾周?【解析】 我們知道246=144頭牛吃一周吃2個(gè)(2公頃+2公頃周長(zhǎng)的草).3612=432頭牛吃一周吃4個(gè)(2公頃+2公頃12周長(zhǎng)的草)于是1442=72頭牛吃一周吃2公頃+2公頃6周長(zhǎng)的草4324=108頭牛吃一周吃2公頃+2公頃12周長(zhǎng)的草所以108-72=36頭牛一周吃2公頃126=6周長(zhǎng)的草即366=d頭牛1周吃2公頃1周長(zhǎng)的草 對(duì)每2公頃配6頭牛專吃新長(zhǎng)的草，則正好于是4公頃，配426=12頭牛專吃新長(zhǎng)的草，即24-12=12頭牛吃6周吃完4公頃，所以1頭牛吃61(42)=36周吃完2公頃 所以10公頃，需要1026=30

6、頭牛專吃新長(zhǎng)的草，剩下50-30=20頭牛來(lái)吃10公頃草，要36 (102)20=9周 于是50頭牛需要9周吃10公頃的草【例8】如圖，一塊正方形的草地被分成完全相等的四塊和中間的陰影部分，已知草在各處都是同樣速度均勻生長(zhǎng)牧民帶著一群牛先在號(hào)草地上吃草，兩天之后把號(hào)草地的草吃光(在這2天內(nèi)其他草地的草正常生長(zhǎng))之后他讓一半牛在號(hào)草地吃草，一半牛在號(hào)草地吃草，6天后又將兩個(gè)草地的草吃光然后牧民把的牛放在陰影部分的草地中吃草，另外號(hào)的牛放在號(hào)草地吃草，結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們同時(shí)把草場(chǎng)上的草吃完那么如果一開始就讓這群牛在整塊草地上吃草，吃完這些草需要多少時(shí)間？【解析】一群牛，2天，吃了1塊+1塊2天新長(zhǎng)的；一

7、群牛，6天，吃了2塊+2塊2+6=8天新長(zhǎng)的；即3天，吃了1塊+1塊8天新長(zhǎng)的.即群牛，1天，吃了1塊1天新長(zhǎng)的. 又因?yàn)椋呐７旁陉幱安糠值牟莸刂谐圆?，另外的牛放在?hào)草地吃草，它們同時(shí)吃完.所以，=2陰影部分面積.于是，整個(gè)為塊地.那么需要群牛吃新長(zhǎng)的草，于是=現(xiàn)在.所以需要吃：天.所以，一開始將一群牛放到整個(gè)草地，則需吃30天.【例9】現(xiàn)在有牛、羊、馬吃一塊草地的草，牛、馬吃需要45天吃完，于是馬、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度為馬吃草的速度，求馬、牛、羊一起吃，需多少時(shí)間?【解析】 我們注意到：牛、馬45天吃了 原有+45天新長(zhǎng)的草 牛、馬90天吃了

8、 2原有+90天新長(zhǎng)的草 馬、羊60天吃了 原有+60天新長(zhǎng)的草 牛、羊90天吃了 原有+90天新長(zhǎng)的草 馬 90天吃了 原有+90天新長(zhǎng)的草 所以，由、知，牛吃了90天，吃了原有的草；再結(jié)合知，羊吃了90天，吃了90天新長(zhǎng)的草，所以，可以將羊視為專門吃新長(zhǎng)的草 所以，知馬60天吃完原有的草，知牛90天吃完原有的草現(xiàn)在將牛、馬、羊放在一起吃；還是讓羊吃新長(zhǎng)的草，牛、馬一起吃原有的草. 所需時(shí)間為l=36天. 所以，牛、羊、馬一起吃，需36天【例10】某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)了，每分鐘來(lái)的旅客一樣多，從開始檢票到隊(duì)伍消失（還有人在接受檢票），若開5個(gè)剪票口，要30分鐘，開6個(gè)檢票口要20

9、分鐘。如果要在10分鐘消失，要同時(shí)開多少個(gè)檢票口？解答：把一個(gè)檢票口一分鐘檢票量作為1份，則每分鐘來(lái)的旅客為：（530620）（3020）3份所以開始檢票前有旅客： 530303=60份所以要十分鐘隊(duì)伍消失，要開（60310）109個(gè)【例11】一片牧草，每天生長(zhǎng)的速度相同.現(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者可供80只羊吃12天.如果1頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？解答：10頭牛與60只羊一起吃，可吃8天.（都按牛計(jì)算）16頭牛20天吃的草可供多少頭牛吃一天？2016=32080只羊（即20頭牛）吃12天的草量可供多少頭牛吃一天？2012=240（

10、20-12）天新長(zhǎng)的草可供多少頭牛吃一天？320-240=80每天新長(zhǎng)的草可供多少頭牛吃一天？808=10原有的草可供多少頭牛吃一天？320-1020=120 或240-1012=12010頭牛與60只羊（即25頭牛）中的10頭牛去吃每天新長(zhǎng)出的草，余下的（25-10=）15頭牛去吃原有的草，原有的草可供15頭牛吃幾天？12015=8【例12】有三塊草地，面積分別是5公頃，15公頃和24公頃。草地上的草一樣厚而且長(zhǎng)得一樣快。第一塊草地可供10頭牛吃30天；第二塊草地可供28頭牛吃45天。那么第三塊草地可供多少頭牛吃80天？解答：一頭牛一天吃草量為1份10303005公頃草量5公頃30天生長(zhǎng)量（

11、1）3005=601公頃草量1公頃30天生長(zhǎng)量（2）2845126015公頃草量15公頃45天生長(zhǎng)量（3）126015=84 1公頃草量1公頃45天生長(zhǎng)量（4）（84-60）15=1.61公頃1天生長(zhǎng)量。（5）其中（2）（4）（5）步也可用(3)-(1)3,得15151公頃1天生長(zhǎng)量3601公頃1天生長(zhǎng)量=36015151.61公頃草地原有草：601.630或841.645=12(6)24公頃草地原有草夠多少頭牛吃80天：122480=3.6頭（7）24公頃草地每天生長(zhǎng)的草夠多少頭牛吃：1.624=38.4頭（8）共3.638.4=42頭【例13】牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)，這片牧草可

12、供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，那么，供25頭吃幾天？分析：首先，我們要清楚這樣兩個(gè)量是固定不變的：草地上原有的草量；草的生長(zhǎng)速度，而這兩個(gè)不變量題目中都沒有直接告訴我們，因此，求出這兩個(gè)不變量便是解題的關(guān)鍵。一般說(shuō)來(lái)，解答這類應(yīng)用題可以分成以下幾步：第一步：通過(guò)比較兩種情況求出牧草的生長(zhǎng)速度。第一種情況：10頭牛吃20天，共吃了1020200（頭/天）的草量。第二種情況：15頭牛吃10天，共吃了1510150（頭/天）的草量。思考：為什么同一片草地，兩種情況吃的總草量會(huì)不相等呢？這是因?yàn)槌缘臅r(shí)間不一樣。事實(shí)上，第一種情況的：200頭/天的草量草地上原有的草量20天里新長(zhǎng)出來(lái)的草量；

13、同樣，第二種情況的：150頭/天的草量草地上原有的草量10天里新長(zhǎng)出來(lái)的草量；通過(guò)比較，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩種情況的總草量與“草地上原有的草量”無(wú)關(guān)，與吃的時(shí)間有關(guān)系。因此，通過(guò)比較，我們就能求出“草的生長(zhǎng)速度”這一十分關(guān)鍵的量：（200150）（2010）5（頭/天）第二步：求出草地上原有的草量。既然牛吃的草可以分成兩部分，那么只要用“一共吃的草量”減去“新長(zhǎng)出來(lái)的草量”就能求出“草地上原有的草量”。200520100（頭/天）或者150510100（頭/天）第三步：求可以供25頭牛吃多少天？（思考：結(jié)果會(huì)比10天大還是?。浚╋@然，牛越多，吃的天數(shù)越少。在這里，我們還是要緊緊抓住“牛吃的草可以分

14、成兩部分”來(lái)思考。我們可以將25頭牛分成兩部分：一部分去吃新生的草；另一部分去吃原有的草。因?yàn)椴莸纳L(zhǎng)速度是5頭/天，所以新生的草恰好夠5頭牛吃，那么吃原有的草的牛應(yīng)該有25520（頭）。當(dāng)這20頭牛將草地原有的草量吃完時(shí)，草地上也就沒有草了。100（255）5（天）【例14】牧場(chǎng)上有一片牧草，可供27頭牛吃6周，或者供23頭牛吃9周。如果牧草每周勻速生長(zhǎng)，可供21頭牛吃幾周？解答這類問(wèn)題，困難在于草的總量在變，它每天、每周都在均勻地生長(zhǎng)，時(shí)間越長(zhǎng)，草的總量越多。草的總量是由兩部分組成的：（1）某個(gè)時(shí)間期限前草場(chǎng)上原有的草量；（2）這個(gè)時(shí)間期限后草場(chǎng)每天（周）生長(zhǎng)而新增的草量。因此，必須設(shè)法找

15、出這兩個(gè)量來(lái)。下面就用開頭的題目為例進(jìn)行分析。（見下圖）從上面的線段圖可以看出23頭牛9周的總草量比27頭牛6周的總草量多，多出部分相當(dāng)于3周新生長(zhǎng)的草量。為了求出一周新生長(zhǎng)的草量，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。27頭牛6周吃草量相當(dāng)于276=162頭牛一周吃草量（或一頭牛吃162周）。23頭牛9周吃草量相當(dāng)于239=207頭牛一周吃草量（或一頭牛吃207周）。這樣一來(lái)可以認(rèn)為每周新生長(zhǎng)的草量相當(dāng)于（207162）（96）=15頭牛一周的吃草量。需要解決的第二個(gè)問(wèn)題是牧場(chǎng)上原有草量是多少？用27頭牛6周的總吃草量減去6周新生長(zhǎng)的草量（即156=90頭牛吃一周的草量）即為牧場(chǎng)原有的草量。所以牧場(chǎng)上原有草量為26

16、6156=72頭牛一周的吃草量（或者為239159=72）。牧場(chǎng)上的草21頭牛幾周才能吃完呢？解決這個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于把21頭牛分成兩部分。一部分看成專吃牧場(chǎng)上原有的草，另一部分看成專吃新生長(zhǎng)的草。但是新生的草只能維持15頭牛的吃草量，且始終保持平衡（前面已分析過(guò)每周新生的草恰夠15頭牛吃一周）。故分出15頭牛吃新生長(zhǎng)的草，另一部分2115=6頭牛去吃原有的草。所以牧場(chǎng)上的草夠吃726=12周，也就是這個(gè)牧場(chǎng)上的草夠21頭牛吃12周。【例15】12頭牛28天可以吃完10公畝牧場(chǎng)上全部牧草，21頭牛63天可以吃完30公畝牧場(chǎng)上全部牧草。多少頭牛126天可以吃完72公畝牧場(chǎng)上全部牧草（每公畝牧場(chǎng)上原有草

17、量相等，且每公畝牧場(chǎng)每天生長(zhǎng)草量相等）？分析：解量的關(guān)鍵在于求出一公畝一天新生長(zhǎng)的草量可供幾頭牛吃一天，一公畝原有的草量可供幾頭牛吃一天。12頭牛28天吃完10公畝牧場(chǎng)上的牧草，相當(dāng)于1公畝原來(lái)的牧草加上28天新生產(chǎn)的草可供33.6頭牛吃一天（122810=33.6）。21頭牛63天吃完30公畝牧場(chǎng)上的牧草，相當(dāng)于1公畝原有的草加上63天新生長(zhǎng)的草可供44.1頭牛吃一天（632130=44.1）。1公畝一天新生長(zhǎng)的牧草可供0.3頭牛吃一天，即： (44.133.6)(6328) = 0.3（頭）1公畝原有的牧草可供25.2頭牛吃一天，即： 33.60.328=25.2（頭）72公畝原有牧草可供

18、14.4頭牛吃126天，即： 7225.2126=14.4（頭）72公畝每天新生長(zhǎng)的草量可供21.6頭牛吃一天，即： 720.3=21.6（頭）所以72公畝牧場(chǎng)上的牧草可供36（=14.421.6）頭牛吃126天，問(wèn)題得解。解：一公畝一天新生長(zhǎng)草量可供多少頭牛吃一天？ （632130122810）（6328）=0.3（頭）一公畝原有牧草可供多少頭牛吃一天？ 1228100.328=25.2（頭）72公畝的牧草可供多少頭牛吃126天？ 7225.2126720.3= 36(頭)【例16】一塊草地，每天生長(zhǎng)的速度相同?，F(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者供80只頭吃12天。如果一頭牛一天的吃草量

19、等于4只羊一天的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？分析：由于1頭牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草量和15頭牛每天的吃草量相等，80只羊每天吃草量與20頭牛每天吃草量相等。解：60只羊每天吃草量相當(dāng)于多少頭牛每天的吃草量？ 604=15（頭）草地原有草量與20天新生長(zhǎng)草量可供多少頭牛吃一天？ 1620=320（天）80只羊12天的吃草量可供多少頭牛吃一天？ 80412=240（頭）每天新生長(zhǎng)的草量夠多少頭牛吃一天？ （320240）（2012）=10（頭）原有草量可夠多少頭牛吃一天？ 3202010=120（頭）原有草量可供10頭牛與60只羊吃多少天？

20、120（6041010）=8（天）【例17】有三片草場(chǎng)，每畝原有草量相同，草的生長(zhǎng)速度也相同。三片草場(chǎng)的面積分別為畝、10畝和24畝。第一片草場(chǎng)可供12頭牛吃4周，第二片草場(chǎng)可供21頭牛吃9周。問(wèn)：第三片草場(chǎng)可供多少頭牛吃18周？解：設(shè)每畝草場(chǎng)原有的草量為a，每周每畝草場(chǎng)新生長(zhǎng)草量為b。依題意第一片草場(chǎng)（畝）原有的草與4周新生長(zhǎng)的草量之和為： （）a（4）b每頭牛每周的吃草量為（第一片草場(chǎng)畝）：(124)= (1)第二片草場(chǎng)（10畝）原有的草與9周生長(zhǎng)出來(lái)的草為： 10a(109)b每頭牛每周的吃草量為：（第二片草場(chǎng)） (2)由于每頭牛每周吃草量相等，列方程為： (3) 5a=60b 則a=1

21、2b（表示1畝草場(chǎng)上原有草量是每周新生長(zhǎng)草量的12倍）將a=12b代入（3）的兩邊得到每頭牛每周吃草量為。設(shè)第三片草場(chǎng)（24畝）可供x頭牛吃18周吃完，則由每頭牛每周吃草量可列出方程為： (4) x=36答：第三片草場(chǎng)可供36頭牛18周食用。這道題列方程時(shí)引入a、b兩個(gè)輔助未知數(shù)，在解方程時(shí)不一定要求出其數(shù)值，在本題中只需求出它們的比例關(guān)系即可?！纠?8】有三片牧場(chǎng)，場(chǎng)上草長(zhǎng)得一樣密，而且長(zhǎng)得一快；21頭牛9星期吃完第二片牧場(chǎng)的草.問(wèn)多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場(chǎng)的草？解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量牛頭數(shù)星期數(shù).根據(jù)這一計(jì)算公式，可以設(shè)定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計(jì)量單位.原有草+4

22、星期新長(zhǎng)的草=124.原有草+9星期新長(zhǎng)的草=79.由此可得出，每星期新長(zhǎng)的草是（79-124）（9-4）=3.那么原有草是79-39=36（或者124-34）.對(duì)第三片牧場(chǎng)來(lái)說(shuō)，原有草和18星期新長(zhǎng)出草的總量是這些草能讓907.218=36（頭）牛吃18個(gè)星期.答：36頭牛18個(gè)星期能吃完第三片牧場(chǎng)的草.牛吃草問(wèn)題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長(zhǎng)出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對(duì)比分析，從而求出每日新長(zhǎng)草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題總所求的問(wèn)題。這類問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系是：1（

23、牛的頭數(shù)吃草較多的天數(shù)牛頭數(shù)吃草較少的天數(shù)）（吃的較多的天數(shù)吃的較少的天數(shù)）=草地每天新長(zhǎng)草的量。2牛的頭數(shù)吃草天數(shù)每天新長(zhǎng)量吃草天數(shù)=草地原有的草。例1由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天一均勻的速度減少。經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天，或供16頭牛吃6天。那么可供11頭牛吃幾天？（ ） A.12 B.10 C.8 D.6【答案】C。 解析：設(shè)每頭牛每天吃1份草，則牧場(chǎng)上的草每天減少（205166）（65）=4份草，原來(lái)牧場(chǎng)上有205+54=120份草，故可供11頭牛吃120（11+4）=8天。例2有一片牧場(chǎng)，24頭牛6天可以將草吃完；21頭牛8天可以吃完，要使牧草永遠(yuǎn)吃不完，至多可以放牧

24、幾頭牛？（ ） A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C。解析：設(shè)每頭牛每天吃1份草，則牧場(chǎng)上的草每天生長(zhǎng)出（218246）（86）=12份，如果放牧12頭牛正好可吃完每天長(zhǎng)出的草，故至多可以放牧12頭牛。例3有一個(gè)水池，池底有一個(gè)打開的出水口。用5臺(tái)抽水機(jī)20小時(shí)可將水抽完，用8臺(tái)抽水機(jī)15小時(shí)可將水抽完。如果僅靠出水口出水，那么多長(zhǎng)時(shí)間將水漏完？（ ） A.25 B.30 C.40 D.45【答案】D。解析：出水口每小時(shí)漏水為（815520）（2015）=4份水，原來(lái)有水815+415=180份，故需要1804=45小時(shí)漏完。練習(xí)：1一片牧草，可供16頭牛吃20天，也可以供80只羊吃

25、12天，如果每頭牛每天吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃這一片草，幾天可以吃完？（ ） A.10 B.8 C.6 D.42兩個(gè)孩子逆著自動(dòng)扶梯的方向行走。20秒內(nèi)男孩走27級(jí)，女孩走了24級(jí)，按此速度男孩2分鐘到達(dá)另一端，而女孩需要3分鐘才能到達(dá)。則該扶梯靜止時(shí)共有多少級(jí)可以看見？（ ） A.54 B.48 C.42 D.36322頭牛吃33公畝牧場(chǎng)的草，54天可以吃盡，17頭牛吃同樣牧場(chǎng)28公畝的草，84天可以吃盡。請(qǐng)問(wèn)幾頭牛吃同樣牧場(chǎng)40公畝的草，24天吃盡？（ ）A.50 B.46 C.38 D.35水管問(wèn)題從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來(lái)看，水管問(wèn)題與工程問(wèn)題是一樣的.水池的注水

26、或排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，注水量或排水量就是工作量.單位時(shí)間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問(wèn)題，不過(guò)是工作量有加有減罷了.因此，水管問(wèn)題與工程問(wèn)題的解題思路基本相同.【例1】甲、乙兩管同時(shí)打開，9分鐘能注滿水池.現(xiàn)在，先打開甲管，10分鐘后打開乙管，經(jīng)過(guò)3分鐘就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個(gè)水池的容積是多少立方米？甲每分鐘注入水量是乙每分鐘注入水量是因此水池容積是答：水池容積是27立方米.【例2】有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現(xiàn)在按預(yù)定時(shí)間注滿水池，如果開始時(shí)就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預(yù)定時(shí)間注滿水池.問(wèn)開始時(shí)打開了幾根水管？

27、答：開始時(shí)打開6根水管.【例3】蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需3小時(shí)，單開丙管需要5小時(shí).要排光一池水，單開乙管需要、乙、的順序輪流打開1小時(shí)，問(wèn)多少時(shí)間后水開始溢出水池？，否則開甲管的過(guò)程中水池里的水就會(huì)溢出.以后（20小時(shí)），池中的水已有此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進(jìn)了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達(dá)井口，每小時(shí)它總是爬3尺，又滑下2尺.問(wèn)這只青蛙需要多少小時(shí)才能爬到井口？看起來(lái)它每小時(shí)只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小時(shí)后，它再爬1小時(shí)，往上爬了3尺已到達(dá)井口.因此，答案是28小時(shí)，而不是30小時(shí).【例4】一個(gè)蓄水池，每

28、分鐘流入4立方米水.如果打開5個(gè)水龍頭，2小時(shí)半就把水池水放空，如果打開8個(gè)水龍頭，1小時(shí)半就把水池水放空.現(xiàn)在打開13個(gè)水龍頭，問(wèn)要多少時(shí)間才能把水放空？解：先計(jì)算1個(gè)水龍頭每分鐘放出水量.2小時(shí)半比1小時(shí)半多60分鐘，多流入水4 60= 240（立方米）.時(shí)間都用分鐘作單位，1個(gè)水龍頭每分鐘放水量是240 （ 5 150- 8 90）= 8（立方米），8個(gè)水龍頭1個(gè)半小時(shí)放出的水量是8 8 90，其中 90分鐘內(nèi)流入水量是 4 90，因此原來(lái)水池中存有水 8 8 90-4 90= 5400（立方米）.打開13個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水813，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5

29、400，需要5400 （8 13- 4）=54（分鐘）.答：打開13個(gè)龍頭，放空水池要54分鐘.水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需分開考慮，解本題關(guān)鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.【例5】一個(gè)水池，地下水從四壁滲入池中，每小時(shí)滲入水量是固定的.打開A管，8小時(shí)可將滿池水排空，打開C管，12小時(shí)可將滿池水排空.如果打開A，B兩管，4小時(shí)可將水排空.問(wèn)打開B，C兩管，要幾小時(shí)才能將滿池水排空？4 小時(shí) 48分才將滿池水排完本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量.由于不知具體數(shù)量，像工程問(wèn)題不知工作量的具體數(shù)量一樣.這里把兩種水量分別設(shè)成“1”.但這兩種量要避

30、免混淆.事實(shí)上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8與12的最小公倍數(shù) 24.17世紀(jì)英國(guó)偉大的科學(xué)家牛頓寫過(guò)一本普遍算術(shù)一書，書中提出了一個(gè)“牛吃草”問(wèn)題，這是一道饒有趣味的算術(shù)題.從本質(zhì)上講，與例18和例19是類同的.題目涉及三種數(shù)量：原有草、新長(zhǎng)出的草、牛吃掉的草.這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的.【例6】畫展9點(diǎn)開門，但早有人排隊(duì)等候入場(chǎng).從第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)起，每分鐘來(lái)的觀眾人數(shù)一樣多.如果開3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)，如果開5個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)5分就沒有人排隊(duì).問(wèn)第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是8點(diǎn)幾分？解：設(shè)一個(gè)入場(chǎng)口每分鐘能進(jìn)入的觀眾為1個(gè)計(jì)算單位.從9點(diǎn)至9點(diǎn)9分進(jìn)入觀眾是

31、39，從9點(diǎn)至9點(diǎn)5分進(jìn)入觀眾是55.因?yàn)橛^眾多來(lái)了9-5=4（分鐘），所以每分鐘來(lái)的觀眾是（39-55）（9-5）=0.5.9點(diǎn)前來(lái)的觀眾是55-0.55=22.5.這些觀眾來(lái)到需要22.50.5=45（分鐘）.答：第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是8點(diǎn)15分.【例7】一個(gè)水池，甲、乙兩管同時(shí)開，5小時(shí)灌滿；乙、丙水管同時(shí)開，4小時(shí)灌滿；如果乙管先開6小時(shí)，還需要甲、丙兩管同時(shí)開2小時(shí)才能灌滿(這時(shí)乙管關(guān)閉).那么乙管單獨(dú)灌滿水池需要多少小時(shí)？ 解： 甲、乙兩管每小時(shí)灌水池的；乙、丙兩管每小時(shí)灌水池的.因此甲管、丙管各開1小時(shí)，乙管開2小時(shí)能灌水池的+=，那么甲、丙兩管同時(shí)開2小時(shí)，乙管開4小時(shí)可以灌水池

32、的2=，所以1-=的工作量乙管還要642(小時(shí))完成.所以乙管每小時(shí)灌水池的2=，那么乙管單獨(dú)灌滿水池需要1=20 (小時(shí)). 【例8】有一個(gè)蓄水池裝有9根水管，其中一根為進(jìn)水管，其余8根為相同的出水管.進(jìn)水管以均勻的速度不停地向這個(gè)蓄水池注水.后來(lái)有人想打開出水管，使池內(nèi)的水全部排光(這時(shí)池內(nèi)已注入了一些水).如果把8根出水管全部打開，需3小時(shí)把池內(nèi)的水全部排出；如果僅打開5根出水管，需6小時(shí)把池內(nèi)的水全部排出.要想在4.5小時(shí)內(nèi)把池內(nèi)的水全部排光.需要同時(shí)打開多少根出水管？ 解：設(shè)打開一根水管每小時(shí)可排出水1份，8根水管開3小時(shí)共可排出8324(份)，5根水管6小時(shí)共可排出5630(份)，

33、 30246(份)，這6份是(63)3小時(shí)內(nèi)進(jìn)水管放進(jìn)的水.(3024)(63)2(份)，這2份就是進(jìn)水管每小時(shí)進(jìn)的水.所以需同時(shí)打開：83(4.53)24.56(根)進(jìn)水管. 例24. 蓄水池裝有甲、丙兩根進(jìn)水管和乙、丁兩根出水管.要注滿一池水，單開甲管需要3小時(shí)，單開丙管需要5小時(shí)；要排空一池水，單開乙管需要4小時(shí)，單開丁管需要6小時(shí).現(xiàn)在池內(nèi)有池水，如果由甲、乙、丙、丁輪流各開1小時(shí)的順序連續(xù)供水，多少小時(shí)后，水池中的水開始溢出水池. 解：一個(gè)輪回水池增加水=，5個(gè)輪回后，水池共有水5= (已放水4520小時(shí))，=0.75 (小時(shí))，所以200.7520.75(小時(shí))后水池開始溢水. 【

34、例9】如圖，有一個(gè)正方體水箱，在某一個(gè)側(cè)面相同高度的地方有三個(gè)大小相同的出水孔用一個(gè)進(jìn)水管給空水箱灌水，若三個(gè)出水孔全關(guān)閉，則需要用1個(gè)小時(shí)將水箱灌滿；若打開一個(gè)出水孔，則需要用1小時(shí)5分鐘將水箱灌滿；若打開兩個(gè)出水孔，則需要用72分鐘將水箱灌滿那么，若三個(gè)出水孔全打開，則需要用多少分鐘才能將水箱灌滿?【分析與解】 方法一：設(shè)打開一個(gè)出水孔時(shí)，灌滿出水孔以上的部分需要時(shí)間為，則不打開出水孔和打開兩個(gè)出水孔灌滿水孔以上部分所需時(shí)間為 有工作效率之間的關(guān)系： 通分為化簡(jiǎn)為解得所以，不打開出水孔需分鐘灌滿水孔以上的水，而灌滿出水孔以下的水為分鐘 視水孔以上的水箱水量為單位“l(fā)”，有一個(gè)出水孔的工作效

35、率為： 那么打開三個(gè)出水孔的工作效率為 所以，打開三個(gè)出水孔灌滿整個(gè)水箱所需的時(shí)間為分鐘 方法二：在打開一個(gè)出水孔時(shí)，從小孔流出的水量相當(dāng)于進(jìn)水管分鐘的進(jìn)水量；在打開兩個(gè)出水孔時(shí)，從小孔流出的水量相當(dāng)于進(jìn)水管分鐘的進(jìn)水量而且注意到，后者出水孔出水的時(shí)間比前者多分鐘.因此兩個(gè)出水孔7分鐘的排水量相當(dāng)于進(jìn)水管分鐘的進(jìn)水量。因此進(jìn)水管1分鐘的進(jìn)水量相當(dāng)于一個(gè)出水孔7分鐘的排水量。那么在打開一個(gè)出水孔的時(shí)候，小孔排水分鐘，也就是說(shuō)，進(jìn)水，進(jìn)水分鐘后，水面達(dá)到小孔高度。因此打開三個(gè)出水孔的時(shí)候，灌滿水箱需要分鐘【例10】有一個(gè)灌溉用的中轉(zhuǎn)水池，一直開著進(jìn)水管往里灌水，一段時(shí)間后，用2臺(tái)抽水機(jī)排水，則用40分鐘能排完；如果用4臺(tái)同樣的抽水機(jī)排水，則用16分鐘排完。問(wèn)如果計(jì)劃用10分鐘將水排完，需要多少臺(tái)抽水機(jī)？ A.5臺(tái)B.6臺(tái)C.7臺(tái)D.8臺(tái)【解析】設(shè)每分鐘流入的水量相當(dāng)于臺(tái)抽水機(jī)的排水量，共需臺(tái)抽水機(jī)有恒等式：解，得，代入恒等式【例11】有一水池，池底有泉水不斷涌出，要想把水池的水抽干，10臺(tái)抽水機(jī)需抽8小時(shí)，8臺(tái)抽水機(jī)需抽12小時(shí)，如果用6臺(tái)抽水機(jī)，那么需抽多少小時(shí)？ A.16B.20C.24D.28【解析】設(shè)每分鐘流入的水量相當(dāng)于臺(tái)抽水機(jī)的排水量，共需小時(shí) 有恒等式：解，得，代入恒等式【例12】一水庫(kù)原有存水量一定，河水每天均勻入庫(kù)。5