山西省運(yùn)城市高中聯(lián)合體2020屆高三數(shù)學(xué)第三次模擬考試試題理含解析

1、山西省運(yùn)城市高中聯(lián)合體2020屆高三數(shù)學(xué)第三次模擬考試試題 理（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合一元二次不等式的解法、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得或，再由集合交集的概念即可得解.【詳解】因?yàn)榛?，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的求解及指數(shù)不等式的求解，考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2. 若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則可得，再由復(fù)數(shù)相等的條件即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，?/p>

2、以即.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的條件，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3. 若函數(shù)為奇函數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)求出，根據(jù)分段函數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)時(shí)，則故，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4. 展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（ ）A. B. C. 15D. 5【答案】B【解析】【分析】求出的展開式的的系數(shù)和的系數(shù)，即得解.【詳解】設(shè)的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為.所以展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理求展開式的系數(shù)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)

3、的理解掌握水平和計(jì)算能力.5. 若，則|（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合平面向量線性運(yùn)算法則、數(shù)量積的運(yùn)算可得，再利用即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量線性運(yùn)算、數(shù)量積的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6. 若表示不超過的最大整數(shù)，如，則函數(shù)稱為取整函數(shù)，又稱高斯函數(shù).執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)流程圖寫出每次循環(huán)的運(yùn)行結(jié)果即可求解.【詳解】第一次執(zhí)行循環(huán)：，滿足條件；第二次執(zhí)行循環(huán)：，滿足條件；第三次執(zhí)行循環(huán)：，滿足條件；第四次執(zhí)行循環(huán)：，滿

4、足條件；第五次執(zhí)行循環(huán)：，不再滿足條件，結(jié)束循環(huán)，輸出的的值為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，考查了基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7. 已知正方體的棱長為，點(diǎn)為棱中點(diǎn)，則過點(diǎn)與垂直的平面截正方體所得的截面面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出截面圖形，計(jì)算正六邊形的面積，即可得答案；【詳解】過點(diǎn)與垂直的平面被正方體截得的截面是以中點(diǎn)為頂點(diǎn)，邊長為的正六邊形，平面，面平面平面，平面，且面積為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正方體中的截面面積問題，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意平行性質(zhì)的運(yùn)用.8. 已知直線l與直線垂直，且與x軸關(guān)于雙曲線的一條漸近

5、線對(duì)稱，則雙曲線C的離心率為（ ）A. B. C. 或2D. 或【答案】C【解析】【分析】利用題目條件，可求出或，根據(jù)，即可求出雙曲線C的離心率【詳解】由直線l與直線垂直，可得直線l的斜率為，傾斜角為，由直線l與x軸關(guān)于雙曲線C的一條漸近線對(duì)稱，得雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為或，斜率為或，即或，由雙曲線C的離心率，得或2，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的幾何性質(zhì)求離心率問題，屬于基礎(chǔ)題.9. 設(shè)，且，則下列結(jié)論中正確的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因?yàn)?所以 故選A10. 已知曲線的拋物線及拋物線組成，是曲線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)（四點(diǎn)不共線，且點(diǎn)在第一象限），則四邊形

6、周長的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，是曲線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性建立四邊形周長模型，再由拋物線的定義得到，然后由直線段最短求解.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則四邊形的周長:，當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)以及四邊形周長最值問題，屬于中檔題.11. 已知在上是增函數(shù)，且在有最小值，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，可得，且在上是增函數(shù)，可得，求出的第一部分范圍，再根據(jù)在有最小值，可得，求出的第二部分范圍，然后即可求出的取值范圍【詳解】由，可得，結(jié)合，由在上是增函數(shù)，

7、可得，所以，當(dāng)時(shí)，由在有最小值，可得，則，綜上，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，屬于基礎(chǔ)題.12. 若對(duì)任意，恒成立，則a的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)，轉(zhuǎn)化條件為對(duì)任意恒成立，設(shè)，求導(dǎo)后求得的最小值即可得解.【詳解】設(shè)，則對(duì)任意恒成立，設(shè)，則，且，設(shè)，則，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，所以的最小值為，即的最小值為，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，考查了構(gòu)造新函數(shù)的能力與運(yùn)算求解能力，關(guān)鍵是對(duì)條件的合理轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 已知x，y滿足約束條件，則的最大值

8、為_【答案】【解析】【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上的截距的相反數(shù)，只需求出可行域直線在軸上的截距最小值即可【詳解】作出可行域如圖中陰影部分所示，設(shè)，則，作直線，平移得到，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，z取得最大值.聯(lián)立，解得，故故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題.14. 棱長為3的正方體封閉薄壁容器內(nèi)有一個(gè)高為2，底面半徑為1的圓柱水平移動(dòng)，在移動(dòng)過程中，該圓柱的一個(gè)底面恒在平面內(nèi)，則該圓柱不能到達(dá)的區(qū)域的體積為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)正方體和圓柱的體積公式，結(jié)合題意進(jìn)行求解即可.【詳解】該圓柱到達(dá)的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)柱體，

9、該柱體的底面積，高為2，體積為，所以該圓柱不能到達(dá)的區(qū)域的體積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正方體、圓柱體積公式的應(yīng)用，考查了空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.15. 已知中，的平分線交于D，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意有，設(shè)，利用面積公式和基本不等式得到，再利用余弦定理可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由得，整理得：所以，由余弦定理得，當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查正余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.16. 已知函數(shù)的定義域，且對(duì)任意，恒有，當(dāng)時(shí)，若，則m的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】利用賦值法證明函數(shù)是偶函數(shù)，再證明函數(shù)在上是減函數(shù)，最后構(gòu)造函數(shù)

10、，利用在上是減函數(shù)，解不等式，即可得到答案；【詳解】中，取得，取得，取，得，所以是偶函數(shù)，設(shè)，則，所以，所以在上是減函數(shù)，設(shè)，則在上是減函數(shù)，所以且，所以m的取值范圍是故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、偶函數(shù)的性質(zhì)及不等式的求解，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意定義域優(yōu)先法則的應(yīng)用.三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分17. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【

11、答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可得，解得，后，再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可得解；（2）由題意結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得，進(jìn)而可得，再由分組求和法、裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，得，解得，所以；（2）由（1）得，所以，所以【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基本量運(yùn)算，考查了分組求和法與裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用，屬于中檔題.18. 采購經(jīng)理指數(shù)（PM）是衡量一個(gè)國家制造業(yè)的“體檢表”，是衡量制造業(yè)在生產(chǎn)、新訂單、商品價(jià)格、存貨、雇員、訂單交貨新出口訂單和進(jìn)口等八個(gè)方面狀況的

12、指數(shù)，圖為2018年9月2019年9月我國制造業(yè)的采購經(jīng)理指數(shù)（單位：%）（1）求2019年前9個(gè)月我國制造業(yè)的采購經(jīng)理指數(shù)的平均數(shù)（精確到0.1）；（2）從2018年10月2019年9月這12個(gè)月任意選取4個(gè)月，記采購經(jīng)理指數(shù)與上個(gè)月相比有所回升的月份個(gè)數(shù)為X，求X的分布列與期望【答案】（1）49.7；（2）分布列詳見解析，期望為【解析】【分析】（1）利用平均數(shù)的定義求解即可；（2）X的取值為0，1，2，3,4，求出相應(yīng)的概率，即可求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）2019年前9個(gè)月我國制造業(yè)的采購經(jīng)理指數(shù)的平均數(shù)為（2）2018年10月2019年9月這12個(gè)月中，采購經(jīng)理指數(shù)與上個(gè)月相

13、比有所回升的依次為2019年1月、3月、7月、9月，共4個(gè)，所以X的取值依次為0，1，2，3，4，所以X的分布列為X01234P期望為：【點(diǎn)睛】本題考查折線統(tǒng)計(jì)圖，考查求X的分布列和數(shù)學(xué)期望正確計(jì)算是關(guān)鍵.19. 如圖，四邊形為平行四邊形，且，點(diǎn)E，F(xiàn)為平面外兩點(diǎn)，且，（1）證明：；（2）若，求異面直線與所成角的余弦值【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】分析】（1）證明平面，再利用線面垂直的定義，即可得到線線垂直；（2）證明直線，兩兩互相垂直，分別以，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得，再利用向量的夾角公式計(jì)算，即可得到答案；【詳解】解：（1）設(shè)與相交于點(diǎn)G，連接，由題意可得四邊形為菱形

14、，所以，在和中，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?）如圖，在平面內(nèi)，過G作的垂線，交于點(diǎn)，由（1）可知，平面平面，所以平面，故直線，兩兩互相垂直，分別以，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則，所以，異面直線與所成角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查利用線面垂直證明線線垂直、異面直線所成角的向量法求解，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力.20. 已知橢圓的離心率為，圓經(jīng)過橢圓C的左、右焦點(diǎn)，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若A，B，D，E是橢圓C上不同四點(diǎn)（其中點(diǎn)D在第一象限），且，直線，關(guān)于直線對(duì)稱，求直線的方程【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)離

15、心率可得，根據(jù)圓經(jīng)過橢圓C的左、右焦點(diǎn)，可得，進(jìn)而可得方程；（2）根據(jù)對(duì)稱性可得，設(shè)出方程，結(jié)合韋達(dá)定理和對(duì)稱性求出的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的斜率，結(jié)合直線平行可求直線的方程【詳解】（1）設(shè)，由題意得，由圓經(jīng)過橢圓C的左，右焦點(diǎn)，得，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題意可得，且直線的斜率存在，設(shè)，把與橢圓方程聯(lián)立，得所以，所以，由直線，關(guān)于直線對(duì)稱，可得直線的斜率為用代替k，得，又，所以直線的方程為，即【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓，橢圓方程求解的關(guān)鍵是構(gòu)建關(guān)于的等式，直線與橢圓關(guān)系通常結(jié)合韋達(dá)定理來處理，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).21. 已知函數(shù)，其定義域?yàn)?（其中常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)

16、底數(shù)）（1）求函數(shù)的遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)為定義域上的增函數(shù)，且，證明: .【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）求得函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意，問題轉(zhuǎn)化為，令，即證，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可作出證明【詳解】（1）易知，若，由解得，函數(shù)的遞增區(qū)間為；若，則1+0-0+極大值極小值函數(shù)的遞增區(qū)間為和；若，則，函數(shù)遞增區(qū)間為；若，則1+0-0+極大值極小值函數(shù)的遞增區(qū)間為和；綜上，若，的遞增區(qū)間為；若，的遞增區(qū)間為和；若，函數(shù)的遞增區(qū)間為； 若，函數(shù)的遞增區(qū)間為和.（2）函數(shù)為上的增函數(shù)，即，注意到，故，不妨設(shè)，欲證，只需證，只需證，即證，即證，令，只需

17、證， ，下證，即證，由熟知的不等式可知，當(dāng)時(shí)，即， ，易知當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，即，從而得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于不等式的證明問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而證明；有時(shí)也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題（二）選考題：共10分請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）若曲線關(guān)于直線對(duì)稱，求的值；（2）若，為曲線上兩點(diǎn)，且，求面積的最大值.【答案】（1）0；（2）1【解析】【分析】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，得到曲線是一個(gè)圓，滿足條件的圓的圓心在直線上；（2）設(shè)，則，則求得最大值即可.【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為，消去參數(shù)得直線的普通方程為.由，得曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心在直線上，所以.（2）由點(diǎn)，在圓上，且，不妨設(shè)，則，的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，以及求