簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波

1、簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 平面簡(jiǎn)諧波平面簡(jiǎn)諧波 第二篇第二篇 振動(dòng)振動(dòng) 波動(dòng)與光學(xué)波動(dòng)與光學(xué) 波動(dòng)光學(xué)波動(dòng)光學(xué) 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 機(jī)械振動(dòng)：物體位置在某一值附近來(lái)回往復(fù)的變化。機(jī)械振動(dòng)：物體位置在某一值附近來(lái)回往復(fù)的變化。 廣義振動(dòng)：一個(gè)物理量在某一定值附近往復(fù)變化廣義振動(dòng)：一個(gè)物理量在某一定值附近往復(fù)變化 該物理量的運(yùn)動(dòng)形式稱振動(dòng)物理量。該物理量的運(yùn)動(dòng)形式稱振動(dòng)物理量。 第四章第四章 振振 動(dòng)動(dòng) 因?yàn)檎駝?dòng)是聲學(xué)、地震學(xué)、建筑力學(xué)等必須的基礎(chǔ)知識(shí)，因?yàn)檎駝?dòng)是聲學(xué)、地震學(xué)、建筑力學(xué)等必須的基礎(chǔ)知識(shí)， 自然界中還有許多現(xiàn)象，如交變電流、自然界中還有許多現(xiàn)象，如交變電流、 交變的電磁場(chǎng)等，交變的電磁場(chǎng)等

2、， 都屬于廣義的振動(dòng)現(xiàn)象。這些運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)雖然并非機(jī)械運(yùn)動(dòng)，都屬于廣義的振動(dòng)現(xiàn)象。這些運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)雖然并非機(jī)械運(yùn)動(dòng)， 但運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)描述卻與機(jī)械振動(dòng)類似。因此，但運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)描述卻與機(jī)械振動(dòng)類似。因此， 機(jī)械振機(jī)械振 動(dòng)的研究也為光學(xué)、電學(xué)、動(dòng)的研究也為光學(xué)、電學(xué)、 交流電工學(xué)、無(wú)線電技術(shù)等打交流電工學(xué)、無(wú)線電技術(shù)等打 下了一定的基礎(chǔ)。下了一定的基礎(chǔ)。 學(xué)習(xí)機(jī)械振動(dòng)的意義學(xué)習(xí)機(jī)械振動(dòng)的意義 任何一種復(fù)雜的機(jī)械振動(dòng)都可以看成多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。任何一種復(fù)雜的機(jī)械振動(dòng)都可以看成多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 4.1.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程 ) cos( jw+=tAx x o x o 4.1 簡(jiǎn)

3、諧振動(dòng)及其描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其描述 物體位移隨時(shí)間按余弦函數(shù)（或正弦函數(shù)）規(guī)律物體位移隨時(shí)間按余弦函數(shù)（或正弦函數(shù)）規(guī)律 變化的運(yùn)動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。變化的運(yùn)動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 （4.1） 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 T 0 0 0 a 0 0 0 減速減速加速加速減速減速加速加速 x o t x、 、a 2. 加速度 )cos( d d 2 2 2 jww+=tA t x a A -A w w 2A -w w 2A a w w A -w w A x 2 w= 1.速度)sin( d d jww+=tA t x ) 2 cos( j jw ww w+ + += =tA 速度、加速度均是作速度、加速度均是作 諧振

4、動(dòng)的物理量。頻諧振動(dòng)的物理量。頻 率相同，均為率相同，均為 v比比x領(lǐng)先領(lǐng)先 /2， wA m = 2 wAam= w a 與與x相差相差 （4.2） （4.3） 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 4.1.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量 :w :A 圓頻率圓頻率 T w 2 2= = = :j 初位相初位相 周期周期T . ( 時(shí)刻的位相）：ttjw+ ：，jw A簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征參量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征參量. 振幅振幅 頻率頻率v 特點(diǎn) (1)等幅振動(dòng) (2)周期振動(dòng) x(t)=x(t+T ) ) cos( jw+=tAx x o （4.4） （4.1） 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 4.1.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述方法 由 x=Acos(

5、w t+j ) 已知表達(dá)式 A、T、j 已知A、T、j 表達(dá)式 2 振動(dòng)曲線法振動(dòng)曲線法 1 解析法解析法 已知 A、T、j 曲線 已知曲線 A、T、j ox m t=0,x0= 0 A -A ot x j j = /2 T t (s) x(m) 0 0.02 0.5 1.0 ) 2 2cos(02. 0 =tx 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 ) cos(jw+=tAx o x A A j jw+t w x 3 3 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法 x對(duì)應(yīng)矢量對(duì)應(yīng)矢量 端點(diǎn)的投影端點(diǎn)的投影,因此，可用一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢因此，可用一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢 量來(lái)描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)。量來(lái)描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 A A )(jw+t 它以角速度它以角速度 ，

6、從初始角，從初始角 出發(fā)繞原點(diǎn)勻速旋出發(fā)繞原點(diǎn)勻速旋 轉(zhuǎn)。轉(zhuǎn)。 是模為是模為 A，與，與X軸夾角為軸夾角為 的矢量。的矢量。 wj A v0,矢量矢量 在三，四象限，在三，四象限， v0,矢量矢量 在一，四象限，在一，四象限， x0,矢量矢量 在二，三象限；在二，三象限；A A 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 x 如如 文字?jǐn)⑹稣f(shuō)文字?jǐn)⑹稣f(shuō) t 時(shí)刻彈簧振子質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻彈簧振子質(zhì)點(diǎn) 在正的端點(diǎn)在正的端點(diǎn) Ax =0=+jwt 旋矢與軸夾角為零旋矢與軸夾角為零 12 3 =+jwt 質(zhì)點(diǎn)經(jīng)二分之一振幅處質(zhì)點(diǎn)經(jīng)二分之一振幅處 向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)向負(fù)方向運(yùn)動(dòng) x oA 意味意味A 意味意味2 A x = 0 1） 直觀地

7、表達(dá)振動(dòng)狀態(tài)直觀地表達(dá)振動(dòng)狀態(tài) 優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) 用圖代替了文字的敘述用圖代替了文字的敘述 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 相位差相位差 對(duì)兩同頻率的諧振動(dòng) 初相差初相差 同相和反相同相和反相 ) cos( 111 jw+=tAx) cos( 222 jw+=tAx )()( 12 jwjwj+=tt 12 jj= 當(dāng) = 2k , j 兩振動(dòng)步調(diào)相同,稱同相； ( k =0,1,2,), 當(dāng) = (2k+1) , j ( k =0,1,2,), 兩振動(dòng)步調(diào)相反 , 稱反相 。 2） 方便地方便地比較振動(dòng)步調(diào)比較振動(dòng)步調(diào) （4.5） 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 A1 -A1 A2 - A2 x1 x2 T 0=j 同相同

8、相 x2 T A1 -A1 A2 - A2 x1 x o t 反相反相 j= o x A1A2 o x A1 A2 x o t 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 x A1 A2 o 超 前 和 落超 前 和 落 后后 則 x2比x1較早達(dá)到正最大, 稱x2比x1超前 (或x1比x2落后)。 領(lǐng)先、落后以0 x x1 T o A1 -A1 A2 - A2 x2 t 3）方便計(jì)算）方便計(jì)算. 用熟悉的圓周運(yùn)動(dòng)代替三角函用熟悉的圓周運(yùn)動(dòng)代替三角函 數(shù)的運(yùn)算數(shù)的運(yùn)算 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 例1:已知振動(dòng)曲線,求此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式 x(cm) o t(s) -1 2 -2 2 解: 設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為 ) cos(2

9、jw+ += =tx 由初始條件t=0時(shí)， x0 =-1可求初相j = =jcos 2 1 3 4 , 3 2 j= =0 0 v由于 3 2 j= = t=2時(shí)， x =-2,于負(fù)最大位移處 xo w A 0 x 0 v 3 2 0=t t=2 62 3 2 w= = = = )cm() 3 2 6 cos(2 +=tx 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 若將振動(dòng)曲線縱坐標(biāo)改成速度v,求此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式 o t(s) -1 2 -2 2 v(cm/s)解: 設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為 )sin(2jw+ + = =t)sin(jww+ + = =tA 6 5 , 6 j= = )0,(0 0 2 0 = =

10、axaxw 由于 6 j= = 由初始條件t=0時(shí)， v0 =-1 2 1 sin= =j t=2時(shí)，v0 =-2= -vm,于平衡位置處 62 62 w= = = =xo 6 t=0t=2 w 12 , 2= = =AA ) cos(jw+=tAx )cm() 6 6 cos( 12 +=tx 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 4.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程 1. 作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的加速度對(duì)于平衡位置的位移的關(guān)系作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的加速度對(duì)于平衡位置的位移的關(guān)系 xa 2 w= 根據(jù)牛頓第二定律,kxxmF= 2 w 恢復(fù)力. 0 d d 2 2 2 =+x t x w 例 彈簧振子彈簧振子 0 d

11、d 2 2 2 = =+ +x t x w 2 w= m k 令 0 d d 2 2 = =+ +x m k t x d d 2 2 t x mkx = = kxf= ) cos(jw+=tAx解得： （4.6） （4.10） （4.9） （4.8） （4.9） 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 2. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)特征參量的確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)特征參量的確定), (jwA w 由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)確定。 j,A 由初始條件確定。 確定和即由時(shí)的位置坐標(biāo)和速度， 00 0vxt = 2 2 0 2 0 w v +=xA 0 0 tan xw j v = 例4.2 已知彈簧的倔強(qiáng)系數(shù) ，物體的質(zhì) 量為 。 在初始時(shí)刻將物體從平

12、衡位置向 下拉 0.05m ，給予向下的速度 。寫出此微 小振動(dòng)的表達(dá)式。 1 mN50. 2 =k kg10. 0=m 1 sm25. 0 mgkb = 解：解：設(shè)靜止時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為b ，物體所受重力與彈性力平衡 （4.12） 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 x x 取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為正，則在任一位置，合外力 F=mg-k(b+x) 其中b為平衡時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量，b=mg/k, x是對(duì)于平衡位置的位移. F=-kx o b 1 5 1 . 0 5 . 2 =s m k w 22 2 2 02 0 ) 5 25. 0 ()05. 0(+=+= w v xA m1007. 7 2 = 1 05.

13、05 25. 0 tan 0 0 = = xw j v j 4 3 = 4 1 005. 0cos 0 =jAx 4 j= 簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為 m) 4 5cos(1007. 7 2 = tx 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 例4.3 sin g bmM= 得據(jù) d d 2 2 t IIM = 整理得 d d 2 2 t Imgb = 0 d d 2 2 =+ I mgb t mgb I T w 2 2 = 單擺？ 2 lmI = g l T2 = c o 0 d d 2 2 2 =+w t mg 復(fù)擺復(fù)擺 2 w= I mgb 記 mgb b 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 試問(wèn)： （2）單擺繞懸點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是否為

14、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率？ 初始時(shí)刻選擇不同，初相值就不同；初始時(shí)刻選擇不同，初相值就不同； 另外，單擺作簡(jiǎn)諧振動(dòng)是角位移。另外，單擺作簡(jiǎn)諧振動(dòng)是角位移。 d dt 單擺繞懸點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度等于單擺繞懸點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度等于 g l 而簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率而簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率 可見，單擺繞懸點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率?？梢?，單擺繞懸點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率。 0 如果把一個(gè)單擺拉開一個(gè)小角度,然后放開讓其自由擺動(dòng) 。 0 （1）此是否即為初位相？ 0t = 答：初相是指 時(shí)刻的位相， 0 并不是初位相。 0 自由擺動(dòng)，此 因此，把一個(gè)單擺位開一個(gè)小角度，然后放開讓其 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 4.

15、3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量 以彈簧振子為例 )cos(jw+=tAx ) sin( jww+=tAv ) (sin 2 1 2 1 22 2 2 jww+=tAmmE k v ) ( cos 2 1 2 1 222 jw+=tAkxkEp 2 wm 2 2 1 kAEEE pk =+= )22cos(1 4 1 22 jww+ + = =tAm )22cos(1 4 1 2 jw+ + += =tkA x t T E Ep o (1/2)kA2 Ek （4.13） （4.14） （4.15） 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 2 22 2 00 4 1 d ) (sin 2 11 d 1 kAttAm

16、 T tE T E TT kk =+= jww 222 00 4 1 d ) ( cos 2 11 d 1 kAttAk T tE T E TT pp =+= jw x t T E Ep o (1/2)kA2 Ek * 振幅不僅給出簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的范圍，而且還 反映了振動(dòng)系統(tǒng)總能量的大小及振動(dòng)的強(qiáng)度。 * 任一簡(jiǎn)諧振動(dòng)總能量與振幅的平方成正比. * 彈簧振子的動(dòng)能和勢(shì)能的平均值相等，且 等于總機(jī)械能的一半. 結(jié)論： 2 4 1 kA 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 M k T1 T2 R m mg X O 例例44 如圖所示，輕彈簧一端固定，另一端與物體m間用細(xì)繩 相連，細(xì)繩跨于桌邊定滑輪M上，m懸于細(xì)繩下

17、端已知彈簧的 倔強(qiáng)系數(shù)為k，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，半徑R將物體m用手托起,再 突然放手，任物體m下落而整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)入振動(dòng)狀態(tài)設(shè)繩子長(zhǎng)度 一定，繩子與滑輪間不打滑，滑輪軸承無(wú)摩擦，試證物體m是做 簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 解解；以物體平衡位置為原點(diǎn)，取向下的方向?yàn)檎?v R v ，定滑輪角速度為 當(dāng)物體下落x時(shí)，彈簧拉長(zhǎng)為 （x0 + x），物體運(yùn)動(dòng)速度為 取彈簧原長(zhǎng)處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，物體平衡位置 為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則系統(tǒng)的總能量為 22 R Immgxxk(xE)( 2 1 2 1 ) 2 1 2 0 v v += 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 由于機(jī)械能守恒，所以總能量E是常量，上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得 a R I ammgx

18、k(xvvvv 2 0 )0+= mgkx = 0 由于 v 0，利用平衡量位置處, 化簡(jiǎn)上式得 0 d d 2 2 = + +x R I m k t x 2 可知：物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)且振動(dòng)圓頻率為 2 R I m k + =w 取彈簧原長(zhǎng)處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，物體平衡位置 為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則系統(tǒng)的總能量為 22 R Immgxxk(xE)( 2 1 2 1 ) 2 1 2 0 v v += 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 另解：另解： 靜平衡時(shí)靜平衡時(shí) 2 2 2 d d t x mTmg= 滑輪滑輪 IRTT= 12 R t x = 2 2 d d xxkT o += 1 聯(lián)立以上各式可得聯(lián)立以上各式可得 0

19、 d d 2 2 2 2 = + +x ImR kR t x 物體物體 ( ( x 處處 ) ) M k T1 T2 R m mg X O 2 R I m k + =w 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 例 如圖所示，根據(jù)給定的條件（1）寫出諧振子的振 動(dòng)方程 （2）求出x=A/2處系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能 o X kM m 解 碰后一起運(yùn)動(dòng)的速度為v0 00 )(vMmmu+= 00 u Mm m + =v 0 u Mm k + =w 設(shè), 0, 0=xt00 u Mm m + =v0 , )( 0 Mmk mu A + =, 2 3 0 j= ) 2 3 cos( )( 0 w+ + =t Mmk mu x 2

20、 2 1 kxEP= 2 ) 2 ( 2 1A k= )(8 2 0 2 Mm um + = Pk EEE= 22 2 1 2 1 kxkA = )(8 3 2 0 2 Mm um + = ), cos( 0 jw+=tAx 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 任何一個(gè)實(shí)際的彈簧都是有質(zhì)量的，如果考慮彈簧的質(zhì)量，任何一個(gè)實(shí)際的彈簧都是有質(zhì)量的，如果考慮彈簧的質(zhì)量， 彈簧振子的振動(dòng)周期將變大還是變?。繌椈烧褡拥恼駝?dòng)周期將變大還是變??？ 討論討論 變大變大變小變小 參考解答：因?yàn)閺椈烧褡拥闹芷跊Q定于系統(tǒng)的慣性和彈性，慣性越大參考解答：因?yàn)閺椈烧褡拥闹芷跊Q定于系統(tǒng)的慣性和彈性，慣性越大 則周期越大。因此可以定性地說(shuō)

21、，在考慮了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧振則周期越大。因此可以定性地說(shuō)，在考慮了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧振 子的周期肯定會(huì)變大。子的周期肯定會(huì)變大。 若振子的質(zhì)量為若振子的質(zhì)量為M，彈簧的質(zhì)量為，彈簧的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為，彈簧的勁度系數(shù)為k，可以計(jì)，可以計(jì) 算出，在考慮了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧振子的振動(dòng)周期為算出，在考慮了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧振子的振動(dòng)周期為 k mM T 3/ 2 + = 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 解：平衡時(shí)解：平衡時(shí)0 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。物體運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。物體運(yùn)動(dòng)到x 處時(shí)，處時(shí)，速度為速度為v . 設(shè)此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為設(shè)此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為L(zhǎng), , d d v L l t x L l =速

22、度為：速度為： 彈簧、物體的動(dòng)能分別為：彈簧、物體的動(dòng)能分別為： 2 0 2 1 6 1 )d( 2 1 vvm L l l L m E L k = = 2 2 2 1 vMEk= 前提前提: : 彈簧各等長(zhǎng)小段變形相同，位移是線性規(guī)律彈簧各等長(zhǎng)小段變形相同，位移是線性規(guī)律 彈簧元彈簧元dl的質(zhì)量的質(zhì)量l L m mdd= 位移為位移為x L l x x M 0 v dll 例：勁度系數(shù)為例：勁度系數(shù)為k、質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為 M 的物體，在光滑水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)。求解其運(yùn)動(dòng)。的物體，在光滑水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)。求解其運(yùn)動(dòng)。

23、( ( m M ) ) 系統(tǒng)彈性勢(shì)能系統(tǒng)彈性勢(shì)能為為2 2 kxEP= 系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有 常數(shù)常數(shù)=+ 222 2 1 6 1 2 1 kxmMvv 常數(shù)常數(shù)=+ 22 2 1 ) 3 ( 2 1 kx m Mv 將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，整理后可得將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，整理后可得 0 d d ) 3 (=+kx t m M v 0 3d d 2 2 = + +x mM k t x 2 w 因此，彈簧因此，彈簧 質(zhì)量小于物體質(zhì)質(zhì)量小于物體質(zhì) 量，且系統(tǒng)作微量，且系統(tǒng)作微 運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧振運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧振 子的運(yùn)動(dòng)可視為子的運(yùn)動(dòng)可視為 是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 kmMT) 3(22+=w 簡(jiǎn)

24、諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 4.4 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 ) cos( 111 jw+=tAx ) cos( 222 jw+=tAx 21 xxx+=) cos(jw+=tA 2211 2211 coscos sinsin tan jj jj j AA AA + + = 4.4.1 同一直線上同一直線上 同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 合振動(dòng)仍然是同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合振動(dòng)仍然是同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng) ) ( cos 2 1221 2 2 2 1 2 jj+=AAAAA （4.18） （4.16） （4.17） 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 兩種特殊情況 (1)若兩分振動(dòng)同相， j 2j 1=2k (k=

25、0,1,2,) (2)若兩分振動(dòng)反相， j 2j 1=(2k+1) (k=0,1,2,) 如 A1=A2 , 則 A=0 則A=A1+A2 , 兩分振動(dòng)合成的結(jié)果是振動(dòng)加強(qiáng) 則A=|A1-A2|, 兩分振動(dòng)合成的結(jié)果是振動(dòng)減弱 2 A A 1 A 2 A A 1 A 1 A 2 A A 2121 |AAAAA+ + jjk 12 一般情況： 兩個(gè)振動(dòng)的位相差，對(duì)合成振動(dòng)起著重要的作用，兩個(gè)振動(dòng)的位相差，對(duì)合成振動(dòng)起著重要的作用， 這種現(xiàn)象在波的干涉與衍射中具有特殊的意義這種現(xiàn)象在波的干涉與衍射中具有特殊的意義 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 例例 已知), 6 5cos(12 1 + += =tx) 3

26、2 5cos(5 2 + += =tx 求它們的合振動(dòng)的振幅和位相。求它們的合振動(dòng)的振幅和位相。 解解:作出作出t=0的旋轉(zhuǎn)矢量圖的旋轉(zhuǎn)矢量圖. t=0 x o A1 A A 2 6 3 2 2112 2 AA = = jj 612 5 arctan,13 j+=A ) 612 5 arctan5cos(13 +=tx 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 例例. 兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng),其合振動(dòng)的振幅為其合振動(dòng)的振幅為20cm,與第與第 一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差為一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差為 - 1 = / 6. 若第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)若第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng) 的振幅為的振幅為 17. 3cm, 則第二個(gè)簡(jiǎn)

27、諧振動(dòng)的振幅為則第二個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅為 cm, 第一第一.二兩個(gè)簡(jiǎn)諧動(dòng)的位相差二兩個(gè)簡(jiǎn)諧動(dòng)的位相差 1- 2 為為 。 10 A1 A2 A 20 17. 3 / 6 - / 2 解解:由余弦定理可得由余弦定理可得 10 6 cos3 .172023 .1720 )cos(2 22 11 2 1 2 2 =+= += jjAAAAA 或由正弦定理可得或由正弦定理可得 )sin()sin( 1 2 12 jjjj = AA 2 1)sin(20 6 sin 10 )sin( 20 1212 12 jjjj jj = 滿足滿足 2 12 2 2 2 1 2 jj=+=AAA 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 o

28、 x 1 A 2 A n A A 1 j 2 j A 合振動(dòng)仍然是同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng) 多個(gè)分振動(dòng)的合成在說(shuō)明光的干涉和衍射規(guī)律時(shí)有重要的意義多個(gè)分振動(dòng)的合成在說(shuō)明光的干涉和衍射規(guī)律時(shí)有重要的意義 4.4.2 多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 )cos(jw+=tAx 22 yx AAA+= x y A A arctan=j nnx AAAAjjjcoscoscos 2211 += n nny AAAAjjjsinsinsin 2211 += 合振幅 初位相 其中 式中表示分振動(dòng)個(gè)數(shù)。 旋轉(zhuǎn)矢量合成的圖解法 （4.19） （4.20） 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 例：三個(gè)同頻率

29、例：三個(gè)同頻率w w 同振幅同振幅A A0 0 同方向的 同方向的簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧 振動(dòng)，振動(dòng)，相鄰相位差為相鄰相位差為 /3/3 解：畫旋矢圖解：畫旋矢圖 /3/3 /3/3 0 A A 由圖很容易得到由圖很容易得到 A = 2A0 求：合振動(dòng)方程。求：合振動(dòng)方程。 tAxwcos 01 = ) 3 cos( 02 w+=tAx ) 3 2 cos( 03 w+=tAx 3 j= ) 3 cos(2 0 w+=tAx 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 4.4.3. .同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 拍拍 兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率w w1和和w w2很接近，且很接近

30、，且 12 ww )cos(),cos( 02220111 ww+=+=tAxtAx 兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得：兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得： ) 2 cos() 2 cos(2 0 1212 21 wwww + + =+=ttAxxx 合振動(dòng)可視為合振動(dòng)可視為 角頻率為角頻率為 隨時(shí)間變化很慢可隨時(shí)間變化很慢可 看作合振動(dòng)的振幅看作合振動(dòng)的振幅 隨時(shí)間變化較快可隨時(shí)間變化較快可 看作作諧振動(dòng)的部分看作作諧振動(dòng)的部分 , 2 12 ww+ ) 2 cos(2 12 tA ww 振幅為振幅為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 由于振幅總是正值，而余弦函數(shù)的絕對(duì)值以由于振幅總是正值，而余弦函數(shù)的絕對(duì)值以 為周期，因而為周期

31、，因而 振幅變化的周期振幅變化的周期 可由可由決定， ww = 2 12 振幅變化的頻率即拍頻振幅變化的頻率即拍頻 12 12 2 1 ww = = 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 同一直線上，不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成同一直線上，不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成 拍拍 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量幾何法分析幾何法分析 ) cos( 2222 w+=tAx) cos( 1111 w+=tAx 重合：重合： 21 AAA+= 21 AAA=反向：反向： 12 ww j o x 1 A 1 w 2 A 2 w A,w w 拍頻拍頻: : 單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù) =| 2- 1| 5 6 1 單位時(shí)間內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)A

32、2比比A1多轉(zhuǎn)多轉(zhuǎn) 2 - 1圈，也就是合圈，也就是合 振動(dòng)時(shí)加強(qiáng)時(shí)減弱（頻率為振動(dòng)時(shí)加強(qiáng)時(shí)減弱（頻率為 2 - 1）的拍現(xiàn)象。）的拍現(xiàn)象。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 從視覺(jué)從視覺(jué)聽聽覺(jué)覺(jué) 再次感覺(jué)拍現(xiàn)象再次感覺(jué)拍現(xiàn)象 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 );cos( 11 jw+=tAx )cos( 22 jw+=tAy 11 1 sinsincoscosjwjw=tt A x 22 2 sinsincoscosjwjw=tt A y )sin(sincoscos 121 2 2 1 jjwjj=t A y A x 兩個(gè)互相垂直的同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 4.4.4 相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

33、 )sin(cossinsin 121 2 2 1 jjwjj=t A y A x 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 (1)(1) j j2- j j 1 =0,0,兩個(gè)分振動(dòng)同相位，得兩個(gè)分振動(dòng)同相位，得 x A A y 1 2 = (2)(2) j j 2- j j 1 =, 兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)反相位，得兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)反相位，得 x A A y 1 2 = 幾種特殊情況：幾種特殊情況： （4.22） )(sin)cos( 2 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 jjjj=+ AA xy A y A x 合運(yùn)動(dòng)一般是在合運(yùn)動(dòng)一般是在2A1 ( x 向向)、2A2 2 ( y 向向)范圍內(nèi)范圍內(nèi) 的一個(gè)橢圓。

34、的一個(gè)橢圓。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 (3)(3) j j 2- j j 1=/2，得，得 1 2 2 2 2 1 2 =+ A y A x (4)(4) j j 2- j j 1 =3/2，仍然得，仍然得 1 2 2 2 2 1 2 =+ A y A x 這是坐標(biāo)軸為主軸的橢圓，這是坐標(biāo)軸為主軸的橢圓， 質(zhì)點(diǎn)的軌跡是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。質(zhì)點(diǎn)的軌跡是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。 與與(3)(3)相同，只是質(zhì)點(diǎn)的軌相同，只是質(zhì)點(diǎn)的軌 跡沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。跡沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。 j2 j0質(zhì)點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)； 質(zhì)點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 0 12 =jj 4 12 jj= 4 3 12 jj= 4 7 4 5 2 1

35、2 jj= 2 3 綜上所述：兩個(gè)頻率相同的互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后，合振 動(dòng)在一直線上或者在橢圓上進(jìn)行（直線是退化了的橢圓）當(dāng)兩 個(gè)分振動(dòng)的振幅相等時(shí)，橢圓軌道就成為圓。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 方向垂直的不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成方向垂直的不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 兩分振動(dòng)頻率相差很小兩分振動(dòng)頻率相差很小 可看作兩頻率相等而可看作兩頻率相等而 j j隨隨t 緩慢變化，合運(yùn)緩慢變化，合運(yùn) 動(dòng)軌跡將按上頁(yè)圖依次緩慢變化動(dòng)軌跡將按上頁(yè)圖依次緩慢變化. . t )( 12 wwj= 0,4 2:3: 1020 = = ww yx 用李薩如圖形在無(wú)線電用李薩如圖形在無(wú)線電 技術(shù)中可以測(cè)量頻率：技術(shù)中可以測(cè)

36、量頻率： 在示波器上，垂直方向與水平方 向同時(shí)輸入兩個(gè)振動(dòng)，已知其中 一個(gè)頻率，則可根據(jù)所成圖形與 已知標(biāo)準(zhǔn)的李薩如圖形去比較， 就可得知另一個(gè)未知的頻率。 條件: 位相差恒定，頻率成簡(jiǎn)單整數(shù)比。 合成結(jié)果：李薩如圖形合成結(jié)果：李薩如圖形。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 4.5.1 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) vf r = t x kx t x m d d d d 2 2 = 4.5 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振 m =2; 2 0 m k =w 令：令： 0 d d 2 d d 2 0 2 2 =+x t x t x w 2 0 2 w 22 0 ww=其中)cos()( 00 jw += te

37、Atx t 方程的解方程的解: 稱稱 為振動(dòng)系統(tǒng)的固有圓頻率，稱為振動(dòng)系統(tǒng)的固有圓頻率，稱 為阻尼系數(shù)為阻尼系數(shù) 0 w (1) 欠阻尼欠阻尼 （4.23） （4.24） （4.25） （4.26） 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 欠阻尼欠阻尼 t )(tx 過(guò)阻尼過(guò)阻尼 t etCCtx +=)()( 21 （3）如果如果 方程的解：方程的解： 2 0 2 w= tt eCeCtx )( 2 )( 1 2 0 22 0 2 )( ww+ += 2 0 2 )2(w 方程的解: 過(guò)阻尼過(guò)阻尼 臨界阻尼臨界阻尼 臨界阻尼臨界阻尼 2 0 2 w 22 0 ww=其中 )cos()( 00 jw += teA

38、tx t 方程的解方程的解: (1) 欠阻尼欠阻尼 （4.26） 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 臨界阻尼臨界阻尼:生產(chǎn)和技術(shù)中可根據(jù)需要生產(chǎn)和技術(shù)中可根據(jù)需要,用不同辦法改變阻尼用不同辦法改變阻尼 大小以控制系統(tǒng)的振動(dòng)情況大小以控制系統(tǒng)的振動(dòng)情況 靈敏電流計(jì)內(nèi)靈敏電流計(jì)內(nèi):表頭中的指針和通電線圈相連表頭中的指針和通電線圈相連,它在磁場(chǎng)中運(yùn)它在磁場(chǎng)中運(yùn) 動(dòng)動(dòng),受到電磁阻尼的作用受到電磁阻尼的作用;若電磁阻尼過(guò)小或過(guò)大若電磁阻尼過(guò)小或過(guò)大,會(huì)使指針擺會(huì)使指針擺 動(dòng)不停或到達(dá)平衡點(diǎn)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)動(dòng)不?；虻竭_(dá)平衡點(diǎn)時(shí)間過(guò)長(zhǎng),而不利于測(cè)量讀數(shù)而不利于測(cè)量讀數(shù),所以必須所以必須 調(diào)整電路的電阻調(diào)整電路的電阻,使電表工作在

39、臨界阻尼狀態(tài)使電表工作在臨界阻尼狀態(tài). 類似情況在使用精密天平時(shí)也會(huì)遇到類似情況在使用精密天平時(shí)也會(huì)遇到;一般加有阻尼氣墊一般加有阻尼氣墊, 以防止長(zhǎng)時(shí)間擺動(dòng)以防止長(zhǎng)時(shí)間擺動(dòng),因而節(jié)約時(shí)間因而節(jié)約時(shí)間,便于快速讀數(shù)便于快速讀數(shù) 機(jī)器裝有避震器機(jī)器裝有避震器,大都采用一系列阻尼裝置大都采用一系列阻尼裝置,目的是使頻繁目的是使頻繁 撞擊變?yōu)榫徛駝?dòng)撞擊變?yōu)榫徛駝?dòng),并迅速衰減并迅速衰減,從而達(dá)到保護(hù)機(jī)件目的從而達(dá)到保護(hù)機(jī)件目的 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 應(yīng)用：電表阻尼、天平阻尼應(yīng)用：電表阻尼、天平阻尼 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 ; 2 0 m k =w令 （1） 諧振子的受迫振動(dòng)諧振子的受迫振動(dòng) （二）（二）

40、 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振 設(shè)強(qiáng)迫力設(shè)強(qiáng)迫力 ptHfcos= pthx t x t x cos d d 2 d d 2 0 2 2 =+w ptH t x kx t x mcos d d d d 2 2 += ； m2 = m H h = 2 0 2 w 其解為：其解為： )cos()cos()( 22 00 jw += ptAteAtx p t 穩(wěn)態(tài)解：穩(wěn)態(tài)解： )cos()(+=ptAtx p （4.28） （4.29） （4.30） （4.31） 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 求振幅求振幅 對(duì)頻率的極值，對(duì)頻率的極值， 22222 0 4)(pp h Ap w+ = 22 0 2w= r p

41、位移共振的圓頻率。位移共振的圓頻率。 22 0 2w = h Ar 振幅極大值：振幅極大值： （2） 共振共振 （4.32） （4.35） （4.36） A Ow 0 w 阻尼阻尼=0=0 阻尼較小阻尼較小 阻尼較大阻尼較大 簡(jiǎn)諧振動(dòng)平面簡(jiǎn)諧波 受迫振動(dòng)速度在一定受迫振動(dòng)速度在一定 條件下發(fā)生共振的的現(xiàn)象條件下發(fā)生共振的的現(xiàn)象 稱為速度共振。稱為速度共振。 0 d d = w m v 根據(jù)根據(jù) 0 ww= 共振共振 在阻尼很小的前提在阻尼很小的前提 下，速度共振和位移共下，速度共振和位移共 振可以認(rèn)為等同。振可以認(rèn)為等同。 m v Ow 0 w 阻尼阻尼=0=0 阻尼較小阻尼較小 阻尼較大阻尼較大 22222 0 0 4)(www w + =