五種常見(jiàn)小波基函數(shù)及其matlab實(shí)現(xiàn)

1、。與標(biāo)準(zhǔn)的傅里葉變換相比，小波分析中使用到的小波函數(shù)具有不唯一性，即小波函數(shù)具有多樣性。 小波分析在工程應(yīng)用中，一個(gè)十分重要的問(wèn)題就是最優(yōu)小波基的選擇問(wèn)題，因?yàn)橛貌煌男〔ɑ治鐾粋€(gè)問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果。目前我們主要是通過(guò)用小波分析方法處理信號(hào)的結(jié)果與理論結(jié)果的誤差來(lái)判定小波基的好壞，由此決定小波基。常用小波基有Haar小波、 Daubechies(dbN)小波、 Mexican Hat(mexh)小波、 Morlet小波、 Meyer小波等。Haar小波Haar函數(shù)是小波分析中最早用到的一個(gè)具有緊支撐的正交小波函數(shù)，也是最簡(jiǎn)單的一個(gè)小波函數(shù)，它是支撐域在t0,1 范圍內(nèi)的單個(gè)矩形波。Haa

2、r函數(shù)的定義如下：10 t12(t) -1 012t1其他Haar小波在時(shí)域上是不連續(xù)的，所以作為基本小波性能不是特別好。但它也有自己的優(yōu)點(diǎn) :1. 計(jì)算簡(jiǎn)單。2.(t)不但與(2jt) j z 正交，而且與自己的整數(shù)位移正交， 因此，在 a2 j 的多分辨率系統(tǒng)中， Haar 小波構(gòu)成一組最簡(jiǎn)單的正交歸一的小波族。(t ) 的傅里葉變換是：（） j 42()ej /2=sinaHaar小波的時(shí)域和頻域波形phi,g1,xval = wavefun(haar,20);- 可編輯修改 -。subplot(2,1,1);plot(xval,g1,LineWidth,2);xlabel(t)titl

3、e(haar時(shí)域);g2=fft(g1);g3=abs(g2);subplot(2,1,2);plot(g3,LineWidth,2);xlabel(f)title(haar頻域)Daubechies(dbN)小波Daubechies小波是世界著名的小波分析學(xué)者Inrid Daubechies構(gòu)造的小波函數(shù)，簡(jiǎn)寫(xiě)為dbN ，N 是小波的階數(shù)。小波(t)和尺度函數(shù)(t) 中的支撐區(qū)為 2N1，(t)的消失矩為 N 。除 N1（ Harr 小波）外， dbN不具有- 可編輯修改 -。對(duì)稱性（即非線性相位） 。除 N1（ Harr小波）外， dbN沒(méi)有明確的表達(dá)式，但轉(zhuǎn)換函數(shù) h 的平方模是明確的

4、:令 p(y)N 1kN -1kN -1 kC ky，其中 C k為二項(xiàng)式的系數(shù)，則有k 02220 ()(cos)p(sinm22其中：m0 ()122 N1- jkhk ek0Daubechies小波具有以下特點(diǎn)：1.在時(shí)域是有限支撐的，即(t)長(zhǎng)度有限。2.在頻域( ) 在 =0 處有 N階零點(diǎn)。3.(t)和它的整數(shù)位移正交歸一，即(t) (t - k)dtk 。4.小波函數(shù)(t)可以由所謂 “ 尺度函數(shù) ” (t) 求出來(lái)。尺度函數(shù)(t)為低通函數(shù)，長(zhǎng)度有限，支撐域在t=02N-1 的范圍內(nèi)。db4的時(shí)域和頻域波形：phi,g1,xval = wavefun(db4,10);subpl

5、ot(2,1,1);plot(xval,g1,LineWidth,2);xlabel(t)title(db4時(shí)域 );g2=fft(g1);g3=abs(g2);subplot(2,1,2);plot(g3,LineWidth,2);- 可編輯修改 -。xlabel(f)title(db4頻域 )Daubechies小波常用來(lái)分解和重構(gòu)信號(hào)，作為濾波器使用:Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R = wfilters(db4);%計(jì)算該小波的 4 個(gè)濾波器subplot(2,2,1); stem(Lo_D,LineWidth,2);title( 分解低通濾波器 );subplot(2,2,2)

6、; stem(Hi_D,LineWidth,2);title( 分解高通濾波器 );subplot(2,2,3); stem(Lo_R,LineWidth,2);title( 重構(gòu)低通濾波器 );subplot(2,2,4); stem(Hi_R,LineWidth,2);title( 重構(gòu)高通濾波器 );- 可編輯修改 -。Mexican Hat(mexh)小波Mexican Hat函數(shù)為 Gauss 函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：t2(t)(1t2 )e 22( )22e 2因?yàn)樗男螤钕衲鞲缑钡慕孛?，所以也稱為墨西哥帽函數(shù)。Mexihat小波的時(shí)域和頻域波形：d=-6; h=6; n=100;g1,

7、x=mexihat(d,h,n);subplot(2,1,1);plot(x,g1,LineWidth,2);xlabel(t);title(Mexihat時(shí)域 );g2=fft(g1);- 可編輯修改 -。g3=(abs(g2);subplot(2,1,2);plot(g3,LineWidth,2);xlabel(f);title(mexihat頻域 );Mexihat小波的特點(diǎn)：1.在時(shí)間域與頻率域都有很好的局部化，并且滿足(t)dt0 。R2.不存在尺度函數(shù)，所以Mexihat小波函數(shù)不具有正交性。Morlet小波它是高斯包絡(luò)下的單頻率副正弦函數(shù)：t 2(t) Ce 2 cos(5 t

8、)其中 C 是重構(gòu)時(shí)的歸一化常數(shù)。Morlet小波沒(méi)有尺度函數(shù)，而且是非正交分解。- 可編輯修改 -。Morlet小波的時(shí)域和頻域波形圖：d=-6; h=6; n=100;g1,x=morlet(d,h,n);subplot(2,1,1);plot(x,g1,LineWidth,2);xlabel(t);title(morlet時(shí)域);g2=fft(g1);g3=(abs(g2);subplot(2,1,2);plot(g3,LineWidth,2);xlabel(f);title(morlet頻域);Meyer小波1. Meyer 小波不是緊支撐的，但它收斂的速度很快2. (t)無(wú)限可微Meyer小波的時(shí)域和頻域波形圖：- 可編輯修改 -。d=-6; h=6; n=128;psi,x=meyer(d,h,n,psi);subplot(2,1,1);plot(x,psi,LineWidth,2);xlabel(t);title(meyer時(shí)域 );g2=fft(psi);g3=(abs(g2);subplo