高考數(shù)學(xué)(理數(shù))沖刺大題提分(講義+練習(xí))大題精做06《立體幾何：動(dòng)點(diǎn)與設(shè)未知量》(含答案詳解)

1、高考數(shù)學(xué)(理數(shù))沖刺大題提分(講義+練習(xí))大題精做06立體幾何：動(dòng)點(diǎn)與設(shè)未知量【例題】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，側(cè)面底面，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（1）求證：平面；（2）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（3）如果直線與平面所成的角和直線與平面所在的角相等，求的值解：（1）證明：在平行四邊形中，分別為，的中點(diǎn)，側(cè)面底面，且，底面，又，平面，平面，平面（2）證明：為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，又平面，平面，平面，同理，得平面，又，平面，平面，平面平面，又平面，平面（3）解：底面，兩兩垂直，故以，分別為軸，軸和軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，易得平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，直線與

2、平面所成的角和此直線與平面所成的角相等，即，解得或（舍去），故如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABPC，AD/BC，ADCD，且PC=BC=2AD=2CD=,PA=2.（1）證明：平面；（2）在線段上，是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為？如果存在，求的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由如圖所示，正四棱椎中，底面的邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為（1）若點(diǎn)為上的點(diǎn)，且平面，試確定點(diǎn)的位置；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)且，若平面和平面所成的銳二面角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，為正三角形，且側(cè)面底面，為線段的中點(diǎn)，在線段上（1）當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；（2）是否存在點(diǎn)，使二

3、面角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AE平面ABCD,EFCD,BC=CD=AE=EF=12AD=1.(1)求證:CE平面ABF;(2)在直線BC上是否存在點(diǎn)M,使二面角EMDA的大小為?若存在,求出CM的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，BCD=，四邊形ACFE為矩形，且CF平面ABCD，AD=CD=BC=CF.(1)求證：EF平面BCF；(2)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值答案解析解：（1）在底面中，且，又，平面，平面，平

4、面，又平面，又，平面，平面，平面（2）方法一：在線段上取點(diǎn)，使，則，又由（1）得平面，平面，又平面，作于，又，平面，平面，平面，又平面，又，是二面角的一個(gè)平面角，設(shè)，則，這樣，二面角的大小為，即，即，滿足要求的點(diǎn)存在，且方法二：取的中點(diǎn)，則、三條直線兩兩垂直可以分別以直線、為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，且由（1）知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)，則，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，則，它背向二面角，又平面的法向量，它指向二面角，這樣，二面角的大小為，即，即，滿足要求的點(diǎn)存在，且解：（1）設(shè)交于點(diǎn)，連結(jié)，平面，平面平面，又為的中點(diǎn)，在中，為中點(diǎn)（2）連結(jié)，由題意得平面，且，以為原點(diǎn)，、所成直線為，軸，建立空間

5、直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量，由，得，令，得，平面和平面所成的銳二面角的余弦值為，解得解：（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，四邊形是菱形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，又平面，平面，平面（2）是菱形，是的中點(diǎn)，又平面，以為原點(diǎn)，分別以，為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，假設(shè)棱上存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，設(shè)平面的法向量為，則，解得令，則，得平面，平面的法向量，二面角的大小為，即，解得，或（舍去）在棱上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角的大小為 (1)證明:如圖(1),作FGEA,AGEF,連接EG交AF于點(diǎn)H,連接BH,BG.因?yàn)镋FCD且EF=CD,所以AGCD,即點(diǎn)G在平面

6、ABCD內(nèi).由AE平面ABCD,知AEAG,所以四邊形AEFG為正方形,四邊形CDAG為矩形,所以H為EG的中點(diǎn),B為CG的中點(diǎn),所以BHCE.因?yàn)锽H平面ABF,CE平面ABF,所以CE平面ABF.(2)解:存在.求解過(guò)程如下:如圖(2),以A為原點(diǎn),AG為x軸,AD為y軸,AE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),E(0,0,1),D(0,2,0).設(shè)M(1,y0,0),所以=(0,2,-1),=(1,y0-2,0).設(shè)平面EMD的法向量為n=(x,y,z),則令y=1,得z=2,x=2-y0,所以n=(2-y0,1,2).又因?yàn)锳E平面AMD,所以=(0,0,1)為平面AMD的

7、一個(gè)法向量,所以|cos|=|2|1(2-y0)2+1+4=cos =,解得y0=2.故在直線BC上存在點(diǎn)M,使二面角EMDA的大小為,且CM=|2-(2)|=.解：(1)證明：在梯形ABCD中，設(shè)AD=CD=BC=1，ABCD，BCD=，AB=2，AC2=AB2BC22ABBCcos=3.AB2=AC2BC2，BCAC.CF平面ABCD，AC平面ABCD，ACCF，又CFBC=C，AC平面BCF.四邊形ACFE是矩形，EFAC，EF平面BCF. (2)由(1)，以CA，CB，CF所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，設(shè)AD=CD=BC=CF=1，令FM=(0)，則C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，M(，0，1)，=(，1，0)，=(，1，1)，設(shè)平面MAB的法向量為n1=(x，y，z)，則即令x=1，則n1=(1，)為平面MA