琴生不等式【學(xué)生版】

1、f(X1X2(2反之，若有f(f(X1) f(x2)，則稱 f(x)為 a,b上的上凸(凹)函數(shù)。常見的下凸(凸)函數(shù)有y ax，0,)上的 y tanx， R2上的yyx3等常見的上凸(凹)函數(shù)有0,)上的 y sinx， y cosx， 2R上的y In x等自招競賽數(shù)學(xué)講義琴生不等式和幕平均不等式知識定位不等式問題在高考中較為簡單，但是在自招和競賽中，是非常重要且富于變化的一類 問題。在復(fù)旦大學(xué)近三年自主招生試題中，不等式題目占12%其中絕大多數(shù)涉及到不等式的證明；交大華約中，不等式部分通常占10%-15%其中還會涉及到一些考綱之外的特殊不等式。本節(jié)介紹了琴生不等式以及它的一些簡單推論諸

2、如加權(quán)琴生和幕平均不等式，希望借 助這些補(bǔ)充知識給同學(xué)們解決不等式問題提供一個(gè)思考的方向。知識梳理琴生不等式1.凸函數(shù)的定義: 設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a,b，對于區(qū)間 a,b內(nèi)任意兩點(diǎn)xnx2，都有f(X|) f(X2)，則稱f(x)為a,b上的下凸(凸)函數(shù);2.琴生(Jensen)不等式若f (x)為a,b上的下凸(凸)函數(shù)，則f(X1X2Xn )nf(xj f(X2)f (Xn)上式等號在反之顯然：若f (x)為a,b上的上凸(凹)函數(shù)，則上式不等號反向 琴生(Jensen)不等式證明(數(shù)學(xué)歸納)：1 ) n 2時(shí)，由下凸(凸)函數(shù)性質(zhì)知結(jié)論成立；Xk 1Xn時(shí)取到2 )假設(shè)nk

3、時(shí)命題成立，即那么當(dāng)n k 1時(shí)，設(shè)Ak 1f(X1 X2f(G f(X2)f (Xk)X1 X2XkXk 1 (k 1)Ak 1f(A 1)f(k 1)人i (k 1)人2k2)f(k2k12“)xk 1 f (亠(k 1)Ak1)kf (Xi)1r i 1f(Xk1)(k 1)f(Ak1) 2 kk所以 2kf(Ak 1) f(xj f(X2)f(Xk) fE) (k 1)f (Ak 1)所以(k 1)f(Ak 1) f(xj f(X2)，且0,0，Xi0，則(口Xi1)_nnXi 1(j.n3.加權(quán)平均琴生不等式：若f (x)為a,b上的下凸(凸)函數(shù)，n且ii 1nn1, i 0，則

4、f ( iXi)i f (Xi)i 1i 14 曲線凸性的充分條件:設(shè)函數(shù)f (X)在開區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，(1 )如果對任意xI , f (X) 0 ,則曲線yf (x)在I內(nèi)是下凸的；(2)如果對任意XI , f (x) 0 ,則y f(x)在l內(nèi)是上凸的。f (Xk) f (Xk 1)，變形即得證。幕平均不等式(幕平均不等式的證明見當(dāng)堂練習(xí)題)推論：由幕平均不等式得3.33a b c32.2 2a b c3例題精講【試題來源】2006復(fù)旦【題目】設(shè) XpX?(。，刁)，且 X1 X2 ,(1) tan X1 tanx2F列不等式成立的有2)sin% sinx2(3tan2X2(2)ta

5、nx1 tanx2【選項(xiàng)】(A) (1) ( 3)sin2(4)2sin%sinx2tan2sin2(B) (1) (4)(C) (2)(3)( D) (2)【試題來源】【題目】證明：(1) f (x) sinx在0,)上是上凸函數(shù) g（x） Igx在（0,）上是上凸函數(shù)(3) h(x) tanx在0 ,2）上是下凸函數(shù)【試題來源】【題目】用琴生不等式證明均值不等式【試題來源】【題目】An Gn，即：ai R，則 ai a2 L一幻 naia2L an nnnXi丄Xi丄證明幕平均不等式：若，且 0,0 , x 0，則()一 ()nn【試題來源】【題目】a, b, c R，且 a + b +

6、c = 3，求證：U8a 1 78b 1 v8c1 9 .【試題來源】【題目】X2(a，b)，f(x)定義在(a, b)上，f(x)在(a, b)上恒大于0,且對心f(xJf(X2)f(L)2。求證：當(dāng) Xi, X2,L Xn (a, b)時(shí)，有 f(xJf(X2)L f (xn) f( 一X2 -)n n【試題來源】【題目】設(shè) x 0 (in1,2,n)，X1求證：X1X2.1X1.1X2【試題來源】【題目】已知a,b,c0， a b c 1，求證:1 a, 1 b 1c a b c【試題來源】【題目】證明赫爾德(Holder )不等式：ai ,bi(1 i n)是2n個(gè)正實(shí)數(shù)， ，0,1

7、,則印“a2b2an bn佝 a2a.) (D b?bn)【試題來源】匈牙利奧林匹克數(shù)學(xué)競賽【題目】2 2X y求橢圓 飛 21 a b 0內(nèi)接n邊形的最大面積a b習(xí)題演練【試題來源】02成都模擬【題目】在 ABC中，sinA sinB sinC的最大值為()【選項(xiàng)】3. 2【試題來源】02成都模擬改編【題目】在銳角 ABC中，cosA cos BcosC的最大值為（【選項(xiàng)】3.2【試題來源】【題目】2 2 2若印?,.是一組實(shí)數(shù)，且印 a? . a. k（ k為定值），試求a! a?. a.的最小值?！驹囶}來源】【題目】設(shè)A B、C是ABC的三個(gè)內(nèi)角,是非負(fù)常數(shù)，求UanBtanCV 22

8、tanCtanA-tanAtanBV 22的最大值?！驹囶}來源】【題目】已知：X 0,(i1,2丄，n), n 2“x2 L xn 1,求證：x1Xlx2X2 L xnX1 -.n【試題來源】【題目】證明不等式(abc)aabbcc，其中,a,b,c均為正數(shù)。【試題來源】【題目】求證：在凸四邊形 ABCD中，有ABCD11) sin sin sin sin2222 4.A . B sin sin2） 2 2sinC sinD 2 22 2【試題來源】【題目】若2A B 3C則求證：1） 2sin A sinB 3sin C 323272） cos AcosBcos C -64【試題來源】【題目

9、】30 ；若P為 ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證 PAB、 PBC、 PCA中至少有一個(gè)小于或等于【試題來源】2011湖北【題目】設(shè)ak,bk k 1,2, L , n均為正數(shù)，證明：（i ）若 a1b1a2b2Lanbn0b2Lbn，則anbn11（ii）若b1b2Lbn1，則bib2b2Lbnbnbi2b22Lbn2。n【試題來源】【題目】xt (x 1)t (x 2)t (x 3)t ； (x 1)t(x 2)t (x 3)t。已知x 3，求證：(1 )當(dāng)0 t 1時(shí)，有不等式(2 )當(dāng)t 1時(shí)，有不等式xt【試題來源】【題目】nai R ,0 x 1,i1,2,., n 且i 1n1求證：-i 1 1 Xi