Fibonacci數(shù)列在初等數(shù)學(xué)上的應(yīng)用

1、Fibonacci數(shù)列在初等數(shù)學(xué)上的應(yīng)用作者：摘 要意大利數(shù)學(xué)家比薩的列奧納多，又稱斐波那契（Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年）在一本題為算盤書(shū)的數(shù)學(xué)著作中，給出了著名的Fibonacci數(shù)列。它的許多有趣性質(zhì)，引起了許多人的興趣，由于它在數(shù)論 、幾何 、概率、數(shù) 據(jù)處理、信息檢索等數(shù)學(xué)中有很 多應(yīng)用 ，因此有人說(shuō) ：Fibonacci以他的兔子問(wèn)題猜中了大自然的奧秘，本文主要研究了元素為廣義Fibonacci數(shù)的行列式的性質(zhì)以及廣義Fibonacci數(shù)在初等數(shù)學(xué)上的應(yīng)用，給出了一些有用的結(jié)果.關(guān)鍵詞 ：Fibon

2、acci數(shù)列；遞歸序列目 錄1Fibonacci數(shù)列的引入31.1有趣的兔子問(wèn)題31.2應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法31.3一些其他問(wèn)題32Fibonacci數(shù)列的基本定義和性質(zhì)42.1Fibonacci數(shù)列的定義42.2Fibonacci數(shù)列的性質(zhì)63Fibonacci數(shù)列更廣義的定義及其性質(zhì)114元素為廣義Fibonacci數(shù)列的行列式的性質(zhì)131 Fibonacci數(shù)列的引入1.1 有趣的兔子問(wèn)題有這樣一個(gè)有趣的問(wèn)題：“有人養(yǎng)了一對(duì)兔子，一個(gè)月后長(zhǎng)大并開(kāi)始每月生下一對(duì)小兔子。新的每對(duì)小兔子也是按此規(guī)律繁衍. 若兔子都不死亡，問(wèn)一年后總共有多少對(duì)兔子？”這是一道很有意思的算術(shù)問(wèn)題，結(jié)果也不難逐月算出來(lái)，

3、但對(duì)由此問(wèn)題產(chǎn)生出來(lái)的Fibonacci數(shù)列的研究至今仍有相當(dāng)價(jià)值，它最早出自1202年，意大利比薩市的數(shù)學(xué)家費(fèi)波那契寫的一本書(shū)算經(jīng)中. 由于Fibonacci數(shù)列在理論上的嚴(yán)謹(jǐn)性及應(yīng)用上的廣泛性，近年來(lái)越來(lái)越引起人們的研究興趣. 1963年開(kāi)始出版的專門性雜志Fibonacci Quarterly標(biāo)志著對(duì)其性質(zhì)及應(yīng)用研究進(jìn)入了一個(gè)嶄新的歷史階段. 在我國(guó)自八十年代以來(lái)也加大了對(duì)它的研究力度，主要標(biāo)志是一批中青年數(shù)學(xué)工作者加入研究行列，陸續(xù)發(fā)表了一些研究文章.出版兩部專著：吳振奎教授的斐波那契數(shù)列，周持中教授的Fibonacci數(shù)，Lucas數(shù)及其應(yīng)用.1.2 應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法Fibonacci

4、數(shù)列的應(yīng)用是研究工作中的一個(gè)重要方面，早在1854年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉姆就利用Fibonacci數(shù)列證明了“應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除（歐幾里得除法）法的步驟（既輾轉(zhuǎn)相除的次數(shù)）不大于較小的那個(gè)數(shù)的位數(shù)的五倍”.這是Fibonacci數(shù)列第一次有價(jià)值的應(yīng)用. 后來(lái)，魯卡斯利用Fibonacci數(shù)列的性質(zhì)證明2-1是一個(gè)質(zhì)數(shù).這在當(dāng)時(shí)是人們所知的最大素?cái)?shù).1.3 一些其他問(wèn)題它的完美的前后項(xiàng)之比的極限使其在歷史上贏得黃金分割的美譽(yù).古埃及的金字古希臘雅典的他農(nóng)神廟、巴黎的圣母院、印度的泰姬陵以至近世紀(jì)的埃菲爾鐵塔等建筑中都有不少與黃金分割率相關(guān)的尺寸數(shù)據(jù)；桌面的長(zhǎng)寬比、圍巾的折疊圍起位置、報(bào)幕員在前臺(tái)上午站立點(diǎn)，

5、以至弦樂(lè)器琴弦下聲碼的放置點(diǎn)也都以黃金分割點(diǎn)最佳. 運(yùn)籌學(xué)方面單因數(shù)優(yōu)選法中的“分?jǐn)?shù)法”則是一種直接應(yīng)用費(fèi)波那契數(shù)列作為試驗(yàn)區(qū)間長(zhǎng)度序列的方法，它可以做到在盡量少的試驗(yàn)次數(shù)內(nèi)尋求出最佳的投產(chǎn)方案. 費(fèi)波那契數(shù)列還在估計(jì)輾轉(zhuǎn)相除法的步驟，表示真分?jǐn)?shù)為單位分?jǐn)?shù)之和以及發(fā)現(xiàn)梅森素?cái)?shù)等方面顯示了威力. 它甚至還被應(yīng)用到平面正方形鋪砌、火柴游戲、象棋馬步以及一些幾何圖形的研究方面. 更有趣的是：植物的生長(zhǎng)也與費(fèi)波那契數(shù)列有關(guān).2 Fibonacci數(shù)列的基本定義和性質(zhì)2.1 Fibonacci數(shù)列的定義文獻(xiàn)3探討了Fibonacci數(shù)列在研究一些特殊行列式值方面的應(yīng)用，為了后文討論的需要本文將其敘述如下

6、：定義1 滿足遞推關(guān)系，及初始條件=1，=1的關(guān)系式稱為 Fibonacci關(guān)系式，稱為Fibonacci數(shù)，稱為Fibonacci數(shù)列，即1，1，2，3，5，8，13，21， 該數(shù)列的通項(xiàng)為，那么=1，=1，且=+，并且我們知道該數(shù)列的通項(xiàng)公式為 =. (a)還有一些其他的表達(dá)式 = ， ， (b) =， ， (c) = ， . (d)3費(fèi)波那契數(shù)列還有很多有趣的性質(zhì)：1. ； 2. ；3. ，；4.；5. ；6. ；7. ；8. +=.費(fèi)波那契數(shù)列還有一些更深刻的性質(zhì)，比如它的數(shù)論性質(zhì)、倒數(shù)性質(zhì)、與連分?jǐn)?shù)及循環(huán)小數(shù)的關(guān)聯(lián)等等.也正因?yàn)樗倪@些性質(zhì)，使得它在許多方面有著廣泛的應(yīng)用. 這里對(duì)這

7、些性質(zhì)暫時(shí)不加研究.在高等代數(shù)中階行列式 將行列式按第一行展開(kāi)可得：，若令=1，=，則上面的遞推關(guān)系式變?yōu)椋?，且易知=1，如果再令1，那么易見(jiàn)數(shù)列與完全相同. 從而有：= 這就是說(shuō)Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)可以用行列式來(lái)表示，同上(d)式. 這樣就把行列式和Fibonacci數(shù)列兩個(gè)似乎風(fēng)馬牛不相及的東西有機(jī)地聯(lián)系在一起了.我們可以利用矩陣對(duì)Fibonacci數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行證明. 其中稱為Fibonacci矩陣2.2 Fibonacci數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)1 ；證明： 即得性質(zhì)2 證明： 性質(zhì)3 ，證明： 又 性質(zhì)4 證明：由 同樣 把這些式子相加 上面我們用行列式表示了Fibonacci數(shù)列的

8、通項(xiàng)，下面考慮一個(gè)階行列式的元素都是Fibonacci數(shù)列的項(xiàng)時(shí)，階行列式值的情形.首先考察階行列式： (1)當(dāng)時(shí)，由=+ ，將行列式(1)的第一列加到第二列上去，則行列式(1)變?yōu)椋?()行列式(的第二列與第三列完全相同，當(dāng)時(shí)，行列式()為0，即行列式(1)為0；當(dāng)=2，=1時(shí)易見(jiàn)行列式(1)均為1.從而得到下面的結(jié)論：命題1 階行列式 =下面再考察階行列式 (2)當(dāng)時(shí)，將行列式(2)的第一列加到第二列上去可得到第二列與第三列完全相同，從而行列式為0；當(dāng)=2，=1時(shí)易見(jiàn)行列式(2)均為1. 從而得到下面的結(jié)論：命題2 階行列式 =由上面兩個(gè)命題我們得到啟發(fā)：只要行列式每行個(gè)元素是Fibona

9、cci數(shù)列連續(xù)的項(xiàng)，那么這類行列式當(dāng)時(shí)必為0. 即有下面的結(jié)論：命題3 設(shè)是任意非負(fù)整數(shù)，當(dāng)時(shí)，階行列式：=0 (3)證明：將第一列加到第二列上去，則第二列與第三列完全相同，所以當(dāng)時(shí)，行列式為0.上面我們討論的行列式的每一行的元素在Fibonacci數(shù)列中的位置是連續(xù)的，下面考慮每行元素在數(shù)列中的位置是不連續(xù)的情形. 先考慮行列式： (4)因?yàn)?，所以，先將行列?4)的第二列乘(-2)加到第三列上再將第一列加到第二列上去可得：，此行列式有兩列相同，則行列式必為0. 所以有下面的結(jié)論：命題4 當(dāng)時(shí)，階行列式=0一般地有先面的結(jié)論：命題5設(shè)是任意非負(fù)整數(shù)，為不小于1的整數(shù)，當(dāng)時(shí)，階行列式 (5)的

10、值為零.證明：因?yàn)?所以 因此將行列式(5)的第二列的()倍加到第三列上去，行列式(5)變?yōu)椋? = 這樣一直下去，因?yàn)槭亲匀粩?shù)，所以經(jīng)過(guò)有限次的變換之后，行列式的第二列或者第三列總會(huì)變得與第一列相同，因此，當(dāng)時(shí)，行列式(5)為0.以上所討論的行列式的每行元素的下標(biāo)都是有規(guī)律變化的，對(duì)于元素的下標(biāo)無(wú)規(guī)律的變化所得到的行列式也可以通過(guò)若干次的恒等變換將第二列或第三列變?yōu)榕c第一列相同，從而D=0. 故當(dāng)時(shí)，階行列式D=0. 本文的目的是探討與廣義Fibonacci數(shù)列相類似的結(jié)果，為此首先敘述廣義Fibonacci數(shù)列.3 Fibonacci數(shù)列更廣義的定義及其性質(zhì)上面我們通過(guò)對(duì)Fibonacci

11、數(shù)列的研究，定義較Fibonacci數(shù)列更為一般的數(shù)列形式：廣義Fibonacci數(shù)列.定義2 如果序列是滿足方程，且；，則稱序列為廣義Fibonacci數(shù)列.廣義Fibonacci數(shù)列的任一項(xiàng)都是它的前兩項(xiàng)之線性組合，初始兩項(xiàng)是兩個(gè)非零常數(shù).如果廣義Fibonacci數(shù)列中的四個(gè)常數(shù)都等于1，則變?yōu)镕ibonacci數(shù)列. Fibonacci數(shù)列的數(shù)論性質(zhì)一直引起人們的廣泛關(guān)注，所以有必要探討廣義Fibonacci數(shù)列的數(shù)論性質(zhì).為求得廣義Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)，現(xiàn)引入特征方程，特征根等有關(guān)知識(shí).定義3對(duì)于數(shù)列有：=0，0，稱為數(shù)列的特征方程. 它在復(fù)數(shù)域上的個(gè)根稱為該數(shù)列的特征根.定

12、理1 設(shè)數(shù)列，0，的特征根為，重?cái)?shù)依次為，則數(shù)列通項(xiàng)為：，其中共個(gè)數(shù)完全由初始值所確定.下面我們來(lái)求廣義Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng).因?yàn)閺V義Fibonacci數(shù)列為，且，所以其特征方程為特征根為，于是有：1） 當(dāng)時(shí)，其中滿足即，從而2） 當(dāng)時(shí)， ，其中，滿足=0，且1=，即=0，=，從而 對(duì)于廣義Fibonacci數(shù)列之增長(zhǎng)率數(shù)列，因?yàn)?，設(shè)，則有，即，是方程的根，此時(shí)負(fù)根沒(méi)有意義，所以 .上面我們對(duì)廣義Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行求解，下面我們對(duì)一般的遞歸數(shù)列求通項(xiàng)，并討論它與行列式的聯(lián)系.已知數(shù)列滿足遞歸關(guān)系： 及初值求此遞歸關(guān)系.解：特征方程：的根為.重?cái)?shù)為.故.代入初值.得方程組

13、：得通項(xiàng)公式 .4 元素為廣義Fibonacci數(shù)列的行列式的性質(zhì) 類似Fibonacci數(shù)列的研究方法，我們考慮一個(gè)階行列式的元素都是數(shù)列的項(xiàng)，階行列式值的情形.首先考察階行列式： （I）當(dāng)時(shí)，由 ，將行列式（I）的第二列乘以3，再將第一列的2倍加到第二列上，則行列式（I）變?yōu)椋?= 因?yàn)樾辛惺降诙信c第四列完全相同，所以當(dāng)時(shí)，行列式為0，即行列式（I）為0，從而有下面的結(jié)論：命題 階行列式，當(dāng)時(shí)=0，下面再考察階行列式： （II）當(dāng)時(shí)，將行列式（II）的第二行乘以3，再將第一列的2倍加到第二列上，得到行列式第二列與第四列完全相同，所以當(dāng)時(shí)，行列式為0，從而的大批下面的結(jié)論：命題 階行列式，

14、當(dāng)時(shí)=0由此我們得到啟發(fā)，只要行列式每行個(gè)元素是數(shù)列連續(xù)的項(xiàng)，那么這類行列式當(dāng)時(shí)必為0.即有下面的結(jié)論：命題 設(shè)是任意非負(fù)整數(shù)，當(dāng)時(shí)，階行列式 =0 （III）證明：將第二列乘以3，再將第一列的2倍加到第二列上，則第二列與第四列完全相同. 所以當(dāng)時(shí)，行列式為0.上面我們討論的是行列式的每一行元素在數(shù)列中的位置是連續(xù)的，下面考慮每行元素不連續(xù)的情形.考察行列式： （IV） 因?yàn)?，所以將第三列的?6）倍加到第四列上，再將第二列的9倍加到第四列上，得到：此行列式有兩列相同，則行列式必為0.所以有下面的結(jié)論：命題 當(dāng)時(shí)，階行列式：=0一般地有下面的結(jié)論：命題設(shè)是任意非負(fù)整數(shù)，為不小于1的整數(shù)，當(dāng)時(shí)，

15、階行列式 （V）的值為零.證明：因?yàn)?=+ = = = =這里引入數(shù)列，其中，從而 = = = =從而.因此將行列式（V）的第二列的倍加到第三列，將第二列的倍加到第四列，行列式（V）變?yōu)椋?=利用公式 對(duì)于行列式 將第四列的（-3）倍加到第二列上，得到行列式（常數(shù)提出）：= 再將第二列的（-3）倍加到第三列上，得到行列式（常數(shù)提出）： = =這樣一直進(jìn)行下去，因?yàn)槭亲匀粩?shù)，所以 有限次的變換后，行列式的第二列或第三列或第四列總會(huì)變得與第一列相同，因此，當(dāng)時(shí)，行列式為0.以上所討論的行列式的每行元素的下標(biāo)是有規(guī)律變化的，對(duì)于元素的下標(biāo)無(wú)規(guī)律的變化所得到的行列式的情況在這里我們就不再進(jìn)行討論.此外

16、, 廣義Fibonacci數(shù)列還有助于解決高中數(shù)學(xué)中的相關(guān)問(wèn)題:某君舉步上高樓,每跨一次或上一個(gè)臺(tái)階或上二個(gè)臺(tái)階, 或上三個(gè)臺(tái)階,問(wèn)有多少種不同的方式上高樓?解:設(shè)登上個(gè)臺(tái)階的方式數(shù)為,則顯然有(即登上一個(gè)臺(tái)階只有一種方式), (即登上兩個(gè)臺(tái)階有兩種方式), (即登上三個(gè)臺(tái)階有四種方式).= ,分析如下:因?yàn)樵诘巧蟼€(gè)臺(tái)階的所有方式中,跨第一步只有三種可能性,(1)第一步跨一個(gè)臺(tái)階,后面登個(gè)臺(tái)階的方式有個(gè), (2)第一步跨二個(gè)臺(tái)階,后面登個(gè)臺(tái)階的方式有個(gè), (3)第一步跨三個(gè)臺(tái)階,后面登個(gè)臺(tái)階的方式有個(gè). 由此得到以上的廣義Fibonacci數(shù)列.對(duì)上式我們可以進(jìn)行推廣:即將橫線處改為” 或上個(gè)

17、臺(tái)階”,或在該橫線后加上”個(gè)臺(tái)階”,都可以用廣義Fibonacci數(shù)列來(lái)求解.例: 某一樓梯有12級(jí)臺(tái)階,若上樓梯時(shí)可以一步上1個(gè)臺(tái)階,也可以一步上2個(gè)臺(tái)階,則上此樓梯的方法有多少種?解: 上一個(gè)臺(tái)階的方法數(shù),上二個(gè)臺(tái)階的方法數(shù),上12個(gè)臺(tái)階的方法數(shù)為.由=得到 =233.所以,上此樓梯的方法有233種.參考文獻(xiàn)：1 康慶德. 組合數(shù)學(xué)趣話.河北科學(xué)技術(shù)出版社M,1999年12月.2 盧開(kāi)澄. 組合數(shù)學(xué).清華大學(xué)出版社M, 1991年10月.3 曲貴東. 談與Fibonacci數(shù)列有關(guān)的行列式J.衡陽(yáng)師專學(xué)報(bào), 1991,9(1):56-62.4 姜慶華. 行列式在Fibonacci數(shù)列中的一個(gè)應(yīng)用J.聊城師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1997，（3）：2627.5 高顯文. Fibonacci數(shù)列Cassini公式的推廣J. 昭通師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，1997，（2）：8-11.6 陳文清. 廣義Fibonacci數(shù)列J.韶關(guān)大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，（3）：15-17.7 王紅,張家宏. Fibonacci數(shù)列與Fibonacci行列式J.齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào)，1999，