小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題

1、小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題小學(xué)數(shù)學(xué)中把含有數(shù)量關(guān)系的實際問題用語言或文字?jǐn)⑹龀鰜?，這樣所形成的題目叫做應(yīng)用題。任何一道應(yīng)用題都由兩部分構(gòu)成。第一部分是已知條件（簡稱條件），第二部分是所求問題（簡稱問題）。應(yīng)用題的條件和問題，組成了應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)。 應(yīng)用題可分為一般應(yīng)用題與典型應(yīng)用題。沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運(yùn)算的應(yīng)用題，叫做一般應(yīng)用題。題目中有特殊的數(shù)量關(guān)系，可以用特定的步驟和方法來解答的應(yīng)用題，叫做典型應(yīng)用題。這本資料主要研究以下30類典型應(yīng)用題：1、歸一問題2、歸總問題3、和差問題4、和倍問題5、差倍問題6、倍比問題7、相遇問題8、追及問題9、植樹問題10、年齡問題11、行船問題12、列車問題1

2、3、時鐘問題14、盈虧問題15、工程問題16、正反比例問題17、按比例分配18、百分?jǐn)?shù)問題19、“牛吃草”問題20、雞兔同籠問題21、方陣問題22、商品利潤問題23、存款利率問題24、溶液濃度問題25、構(gòu)圖布數(shù)問題26、幻方問題27、抽屜原則問題28、公約公倍問題29、最值問題30、列方程問題1 歸一問題【含義】 在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題?！緮?shù)量關(guān)系】 總量份數(shù)1份數(shù)量 1份數(shù)量所占份數(shù)所求幾份的數(shù)量另一總量（總量份數(shù)）所求份數(shù)【解題思路和方法】 先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。例1 買5支鉛筆要0.6

3、元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？解（1）買1支鉛筆多少錢？ 0.650.12（元）（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12161.92（元）列成綜合算式 0.65160.12161.92（元）答：需要1.92元。例2 3臺拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機(jī)6 天耕地多少公頃？解（1）1臺拖拉機(jī)1天耕地多少公頃？ 903310（公頃）（2）5臺拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？ 1056300（公頃）列成綜合算式 9033561030300（公頃）答：5臺拖拉機(jī)6 天耕地300公頃。例3 5輛汽車4次可以運(yùn)送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運(yùn)送105噸鋼材，需要運(yùn)幾次？解 （1）1輛汽車

4、1次能運(yùn)多少噸鋼材？ 100545（噸）（2）7輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？ 5735（噸）（3）105噸鋼材7輛汽車需要運(yùn)幾次？ 105353（次）列成綜合算式 105（100547）3（次）答：需要運(yùn)3次。2 歸總問題【含義】 解題時，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等?！緮?shù)量關(guān)系】 1份數(shù)量份數(shù)總量 總量1份數(shù)量份數(shù)總量另一份數(shù)另一每份數(shù)量【解題思路和方法】 先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。例1 服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用

5、布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？解 （1）這批布總共有多少米？ 3.27912531.2（米）（2）現(xiàn)在可以做多少套？ 2531.22.8904（套）列成綜合算式 3.27912.8904（套）答：現(xiàn)在可以做904套。例2 小華每天讀24頁書，12天讀完了紅巖一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完紅巖？解 （1）紅巖這本書總共多少頁？ 2412288（頁）（2）小明幾天可以讀完紅巖？ 288368（天）列成綜合算式 2412368（天）答：小明8天可以讀完紅巖。例3 食堂運(yùn)來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計劃多吃10

6、千克，這批蔬菜可以吃多少天？解 （1）這批蔬菜共有多少千克？ 50301500（千克）（2）這批蔬菜可以吃多少天？ 1500（5010）25（天）列成綜合算式 5030（5010）15006025（天）答：這批蔬菜可以吃25天。3 和差問題【含義】 已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題?！緮?shù)量關(guān)系】 大數(shù)（和差） 2 小數(shù)（和差） 2【解題思路和方法】 簡單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。例1 甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？解 甲班人數(shù)（986）252（人）乙班人數(shù)（986）246（人）答：甲班有52人，乙班有46人。

7、例2 長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。解 長（182）210（厘米） 寬（182）28（厘米）長方形的面積 10880（平方厘米）答：長方形的面積為80平方厘米。例3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。解 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（3230）2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知甲袋化肥重量（222）212（千克）丙袋化肥重量（222）210（千克）乙袋化肥重量321220（千克）答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。例4 甲乙兩車原來共裝蘋

8、果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？解 “從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（1423），甲與乙的和是97，因此甲車筐數(shù)（971423）264（筐）乙車筐數(shù)976433（筐）答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。4 和倍問題【含義】 已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題。【數(shù)量關(guān)系】 總和 （幾倍1）較小的數(shù) 總和 較小的數(shù) 較大的數(shù)較小的數(shù) 幾倍 較大的數(shù)【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的

9、題目變通后利用公式。例1 果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？解 （1）杏樹有多少棵？ 248（31）62（棵）（2）桃樹有多少棵？ 623186（棵）答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。例2 東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？解 （1）西庫存糧數(shù)480（1.41）200（噸）（2）東庫存糧數(shù)480200280（噸）答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。例3 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？解 每天從甲站開往乙站28輛，從乙

10、站開往甲站24輛，相當(dāng)于每天從甲站開往乙站（2824）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（5232）就相當(dāng)于（21）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為 （5232）（21）28（輛）所求天數(shù)為 （5228）（2824）6（天）答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。例4 甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？解 乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。因為乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍；又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍；這時（17046）就相當(dāng)于（123）倍

11、。那么，甲數(shù)（17046）（123）28乙數(shù)282452丙數(shù)283690答：甲數(shù)是28，乙數(shù)是52，丙數(shù)是90。5 差倍問題【含義】 已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題?！緮?shù)量關(guān)系】 兩個數(shù)的差（幾倍1）較小的數(shù)較小的數(shù)幾倍較大的數(shù)【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1 果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？解 （1）杏樹有多少棵？ 124（31）62（棵）（2）桃樹有多少棵？ 623186（棵）答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。例2 爸爸比兒

12、子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？解 （1）兒子年齡27（41）9（歲）（2）爸爸年齡9436（歲）答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。例3 商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？解 如果把上月盈利作為1倍量，則（3012）萬元就相當(dāng)于上月盈利的（21）倍，因此 上月盈利（3012）（21）18（萬元）本月盈利183048（萬元）答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。例4 糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥

13、的3倍？解 由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差（13894）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（13894）就相當(dāng)于（31）倍，因此剩下的小麥數(shù)量（13894）（31）22（噸）運(yùn)出的小麥數(shù)量942272（噸）運(yùn)糧的天數(shù)7298（天）答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。6 倍比問題【含義】 有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題?！緮?shù)量關(guān)系】 總量一個數(shù)量倍數(shù) 另一個數(shù)量倍數(shù)另一總量【解題思路和方法】 先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。例1

14、 100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？解 （1）3700千克是100千克的多少倍？ 370010037（倍）（2）可以榨油多少千克？ 40371480（千克）列成綜合算式 40（3700100）1480（千克）答：可以榨油1480千克。例2 今年植樹節(jié)這天，某小學(xué)300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？解 （1）48000名是300名的多少倍？ 48000300160（倍）（2）共植樹多少棵？ 40016064000（棵）列成綜合算式 400（48000300）64000（棵）答：全縣48000名師生共植樹64000棵。例

15、3 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？解 （1）800畝是4畝的幾倍？ 8004200（倍）（2）800畝收入多少元？ 11111200（元）（3）16000畝是800畝的幾倍？ 1600080020（倍）（4）16000畝收入多少元？ 20（元）答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入元，全縣16000畝果園共收入元。7 相遇問題【含義】 兩個運(yùn)動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題。【數(shù)量關(guān)系】 相遇時間總路程（甲速乙速）總路程（甲速乙速）相遇時間【解題思路和方法】 簡單的

16、題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1 南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？解 392（2821）8（小時）答：經(jīng)過8小時兩船相遇。例2 小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？解 “第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為4002相遇時間（4002）（53）100（秒）答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時間。例3 甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而

17、行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。解 “兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說甲比乙多走的路程是（32）千米，因此，相遇時間（32）（1513）3（小時）兩地距離（1513）384（千米）答：兩地距離是84千米。8 追及問題【含義】 兩個運(yùn)動物體在不同地點(diǎn)同時出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時出發(fā)）作同向運(yùn)動，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題?！緮?shù)量關(guān)系】

18、 追及時間追及路程（快速慢速）追及路程（快速慢速）追及時間【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？解 （1）劣馬先走12天能走多少千米？ 7512900（千米）（2）好馬幾天追上劣馬？ 900（12075）20（天）列成綜合算式 7512（12075）9004520（天）答：好馬20天能追上劣馬。例2 小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點(diǎn)同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多

19、跑一圈，即200米，此時小亮跑了（500200）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用40（500200）秒，所以小亮的速度是 （500200）40（500200）3001003（米）答：小亮的速度是每秒3米。例3 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點(diǎn)開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？解 敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（2216）小時，這段時間敵人逃跑的路程是10（226）千米，甲乙兩地

20、相距60千米。由此推知追及時間10（226）60（3010）2202011（小時）答：解放軍在11小時后可以追上敵人。例4 一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解 這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（162）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，這個時間為 162（4840）4（小時）所以兩站間的距離為 （4840）4352（千米）列成綜合算式 （4840）162（4840）884352（千米）答：甲乙兩站的距離是352千米。例5 兄妹二人同時由家上學(xué)

21、，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？解 要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（1802）米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走（9060）米，那么，二人從家出走到相遇所用時間為1802（9060）12（分鐘）家離學(xué)校的距離為 9012180900（米）答：家離學(xué)校有900米遠(yuǎn)。例6 孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校，他以每小時4千米的速度從家步行去學(xué)校，當(dāng)他走了1千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時上課。后來算了

22、一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。解 手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（105）分鐘，后段路程跑步恰準(zhǔn)時到學(xué)校，說明后段路程跑比走少用了（105）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用9（105）分鐘。所以步行1千米所用時間為 19（105）0.25（小時）15（分鐘）跑步1千米所用時間為 159（105）11（分鐘）跑步速度為每小時 111605.5（千米）答：孫亮跑步速度為每小時 5.5千米。9 植樹問題【含義】 按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中

23、的兩個量，要求第三個量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題?！緮?shù)量關(guān)系】 線形植樹 棵數(shù)距離棵距1環(huán)形植樹 棵數(shù)距離棵距方形植樹 棵數(shù)距離棵距4三角形植樹 棵數(shù)距離棵距3面積植樹 棵數(shù)面積（棵距行距）【解題思路和方法】 先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。例1 一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解 1362168169（棵）答：一共要栽69棵垂柳。例2 一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？解 4004100（棵） 答：一共能栽100棵白楊樹。例3 一個正方形的運(yùn)動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個

24、照明燈？解 2204841104106（個）答：一共可以安裝106個照明燈。例4 給一個面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？解 96（0.60.4）960.24400（塊）答：至少需要400塊地板磚。例5 一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？解 （1）橋的一邊有多少個電桿？ 50050111（個）（2）橋的兩邊有多少個電桿？ 11222（個）（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22244（盞）答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。10 年齡問題【含義】

25、這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化?！緮?shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點(diǎn)。【解題思路和方法】 可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。例1 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？解 3557（倍） （35+1）（5+1）6（倍）答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。例2 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？解 （1）母親比女兒的年齡大多少歲？ 37730

26、（歲）（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30（41）73（年）列成綜合算式 （377）（41）73（年）答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。例3 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？解 今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加（32）歲，今年二人的年齡和為 493255（歲）把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當(dāng)于（41）倍，因此，今年兒子年齡為 55（41）11（歲）今年父親年齡為 11444（歲）答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。例4 甲對乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲”。乙對甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將

27、61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？解這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：過去某一年今 年將來某一年甲歲歲61歲乙4歲歲歲表中兩個“”表示同一個數(shù)，兩個“”表示同一個數(shù)。因為兩個人的年齡差總相等：461，也就是4，61成等差數(shù)列，所以，61應(yīng)該比4大3個年齡差，因此二人年齡差為 （614）319（歲）甲今年的歲數(shù)為 611942（歲）乙今年的歲數(shù)為 421923（歲）答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲。11 行船問題【含義】 行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度

28、，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差?！緮?shù)量關(guān)系】 （順?biāo)俣饶嫠俣龋?船速（順?biāo)俣饶嫠俣龋?水速順?biāo)俅?逆水速逆水速水速2逆水速船速2順?biāo)夙標(biāo)偎?【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一只船順?biāo)?20千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？解 由條件知，順?biāo)俅偎?208，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時 32081525（千米）船的逆水速為 251510（千米）船逆水行這段路程的時間為 3201032（小時）答：這只船逆水行這段路程需用32小時。例2 甲船逆水行3

29、60千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？解由題意得 甲船速水速3601036甲船速水速3601820可見 （3620）相當(dāng)于水速的2倍，所以， 水速為每小時 （3620）28（千米）又因為， 乙船速水速36015，所以， 乙船速為 36015832（千米）乙船順?biāo)贋?32840（千米）所以， 乙船順?biāo)叫?60千米需要 360409（小時）答：乙船返回原地需要9小時。例3 一架飛機(jī)飛行在兩個城市之間，飛機(jī)的速度是每小時576千米，風(fēng)速為每小時24千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛行3小時到達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時？解 這道題可以按照流水問題來解答。（1）兩城

30、相距多少千米？ （57624）31656（千米）（2）順風(fēng)飛回需要多少小時？1656（57624）2.76（小時）列成綜合算式（57624）3（57624）2.76（小時）答：飛機(jī)順風(fēng)飛回需要2.76小時。12 列車問題【含義】 這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。【數(shù)量關(guān)系】 火車過橋：過橋時間（車長橋長）車速火車追及： 追及時間（甲車長乙車長距離）（甲車速乙車速）火車相遇： 相遇時間（甲車長乙車長距離）（甲車速乙車速）【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共

31、需要3分鐘。這列火車長多少米？解 火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。（1）火車3分鐘行多少米？ 90032700（米）（2）這列火車長多少米？ 27002400300（米）列成綜合算式 90032400300（米）答：這列火車長300米。例2 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？解 火車過橋所用的時間是2分5秒125秒，所走的路程是（8125）米，這段路程就是（200米橋長），所以，橋長為8125200800（米）答：大橋的長度是800米。例3 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的

32、速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？解 從追上到追過，快車比慢車要多行（225140）米，而快車比慢車每秒多行（2217）米，因此，所求的時間為（225140）（2217）73（秒）答：需要73秒。例4 一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？解 如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問題。150（223）6（秒）答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。例5 一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？

33、解 車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因為隧道比大橋長?？芍疖囋冢?858）秒的時間內(nèi)行駛了（20001250）米的路程，因此，火車的車速為每秒（20001250）（8858）25（米）進(jìn)而可知，車長和橋長的和為（2558）米，因此，車長為 25581250200（米）答：這列火車的車速是每秒25米，車身長200米。13 時鐘問題【含義】 就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比?！緮?shù)量關(guān)系】 分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為11/12。通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算?！窘忸}

34、思路和方法】 變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例1 從時針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？解 鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/601/12格。每分鐘分針比時針多走（11/12）11/12格。4點(diǎn)整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以分針追上時針的時間為 20（11/12） 22（分）答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。例2 四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時針和分針在什么時候成直角？解 鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點(diǎn)整的時候，分針在時針后（54）

35、格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走 （5415）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5415）格。再根據(jù)1分鐘分針比時針多走（11/12）格就可以求出二針成直角的時間。 （5415）（11/12） 6（分）（5415）（11/12） 38（分）答：4點(diǎn)06分及4點(diǎn)38分時兩針成直角。例3 六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時候時針與分針重合？解 六點(diǎn)整的時候，分針在時針后（56）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。（56）（11/12） 33（分）答：6點(diǎn)33分的時候分針與時針重合。14 盈虧問題【含義】 根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分

36、配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題?！緮?shù)量關(guān)系】 一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)（盈虧）分配差如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)（大盈小盈）分配差參加分配總?cè)藬?shù)（大虧小虧）分配差【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解 按照“參加分配的總?cè)藬?shù)（盈虧）分配差”的數(shù)量關(guān)系：（1）有小朋友多少人？（111）（43）12（人）（2）有多少個蘋果？ 3121147（個）答：

37、有小朋友12人，有47個蘋果。例2 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？解 題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)（大虧小虧）分配差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知原定完成任務(wù)的天數(shù)為 （26083004）（300260）22（天）這條路全長為 300（224）7800（米）答：這條路全長7800米。例3 學(xué)校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解 本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有（1）有多少車？（300）（4

38、540）6（輛）（2）有多少人？ 40630270（人）答：有6 輛車，有270人。15 工程問題【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量?！緮?shù)量關(guān)系】 解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量工作效率工作時間 工作時間工作量工作效率工作時間總工作量（甲工作效率乙工作效率

39、）【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一項工程，甲隊單獨(dú)做需要10天完成，乙隊單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？解 題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨(dú)做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨(dú)做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/101/15）。由此可以列出算式： 1（1/101/15）11/66（天）答：兩隊合做需要6天完成。例2 一批零件，甲獨(dú)做6小時完成，乙獨(dú)做8小時完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時甲比乙多做24個，求這批零

40、件共有多少個？解 設(shè)總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/61/8），二人合做時每小時完成（1/61/8）。因為二人合做需要1（1/61/8）小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做24個零件，所以（1）每小時甲比乙多做多少零件？241（1/61/8）7（個）（2）這批零件共有多少個？ 7（1/61/8）168（個）答：這批零件共有168個。解二 上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做，完成任務(wù)時甲乙的工作量之比為 1/61/843由此可知，甲比乙多完成總工作量的 43 / 43 1/7所以，這批零件共有 241/7168（個）例3 一件工作，甲獨(dú)做12小時完

41、成，乙獨(dú)做10小時完成，丙獨(dú)做15小時完成。現(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是60125 60106 60154 因此余下的工作量由乙丙合做還需要 （6052）（64）5（小時）答：還需要5小時才能完成。例4 一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個進(jìn)水管時，需要5小時才能注滿水池；當(dāng)打開2個進(jìn)水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿

42、，至少要打開多少個進(jìn)水管？解 注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時內(nèi)將水池注滿，即要使2小時內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。我們設(shè)每個同樣的進(jìn)水管每小時注水量為1，則4個進(jìn)水管5小時注水量為（145），2個進(jìn)水管15小時注水量為（1215），從而可知每小時的排水量為 （1215145）（155）1即一個排水管與每個進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為 1451515 又因為在

43、2小時內(nèi)，每個進(jìn)水管的注水量為 12， 所以，2小時內(nèi)注滿一池水至少需要多少個進(jìn)水管？ （1512）（12）8.59（個）答：至少需要9個進(jìn)水管。16 正反比例問題【含義】 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運(yùn)用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運(yùn)用?！緮?shù)量關(guān)系】 判斷正比

44、例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷?！窘忸}思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？解 由條件知，公路總長不變。原已修長度總長度1（13）14312現(xiàn)已修長度總長度1（12）13412比較以上兩式可知，把總長度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（43）份，從而知公路總長為 300（43）123600（米）答： 這條公路總長3600米。例2 張晗做

45、4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？解 做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關(guān)系設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題 則有 28491X28X914 X91428 X13答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。例3 孫亮看十萬個為什么這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？解 書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系設(shè)X天可以看完，就有 2436X15 36X2415 X10答：10天就可以看完。例4 一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。A 252036B16解 由面積寬長可知，當(dāng)長一定時，面積與寬成正比，所

46、以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。因此，A362016 25B2016 解這兩個比例，得 A45 B20所以，大矩形面積為 453625202016162答：大矩形的面積是162.17 按比例分配問題【含義】 所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。【數(shù)量關(guān)系】 從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少?？偡輸?shù)比的前后項之和【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾

47、，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。例1 學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？解 總份數(shù)為 474845140一班植樹 56047/140188（棵）二班植樹 56048/140192（棵）三班植樹 56045/140180（棵）答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。例2 用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是345。三條邊的長各是多少厘米？解 34512 60

48、3/1215（厘米） 604/1220（厘米）605/1225（厘米）答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。例3 從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。解 如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到 1/21/31/996296217 179/179 176/176 172/172答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。例4 某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為81221，第一車間

49、比第二車間少80人，三個車間共多少人？人 數(shù)80人一共多少人？對應(yīng)的份數(shù)12881221解 80（128）（81221）820（人）答：三個車間一共820人。18 百分?jǐn)?shù)問題【含義】 百分?jǐn)?shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常?？梢酝ǚ帧⒓s分，而百分?jǐn)?shù)則無需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個專門的記號“%”。在實際中和常用到“百分點(diǎn)”這個概念，一個百分點(diǎn)就是1%，兩個百分點(diǎn)就是2%?！緮?shù)量關(guān)系】 掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：百分?jǐn)?shù)比較量

50、標(biāo)準(zhǔn)量 標(biāo)準(zhǔn)量比較量百分?jǐn)?shù)【解題思路和方法】 一般有三種基本類型：（1）求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；（2）已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。例1 倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？解 （1）用去的占 720（7206480）10%（2）剩下的占 6480（7206480）90%答：用去了10%，剩下90%。例2 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？ 解 本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量所以 （525420）5250.220% 或者 1

51、4205250.220%答：男職工人數(shù)比女職工少20%。例3 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？ 解 本題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此 （525420）4200.2525% 或者 52542010.2525%答：女職工人數(shù)比男職工多25%。例4 紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？解 （1）男職工占 420（420525）0.44444.4%（2）女職工占 525（420525）0.55655.6%答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。例5 百分?jǐn)?shù)又叫百分

52、率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛，常見的百分率有：增長率增長數(shù)原來基數(shù)100%合格率合格產(chǎn)品數(shù)產(chǎn)品總數(shù)100%出勤率實際出勤人數(shù)應(yīng)出勤人數(shù)100%出勤率實際出勤天數(shù)應(yīng)出勤天數(shù)100%缺席率缺席人數(shù)實有總?cè)藬?shù)100%發(fā)芽率發(fā)芽種子數(shù)試驗種子總數(shù)100%成活率成活棵數(shù)種植總棵數(shù)100%出粉率面粉重量小麥重量100%出油率油的重量油料重量100%廢品率廢品數(shù)量全部產(chǎn)品數(shù)量100%命中率命中次數(shù)總次數(shù)100%烘干率烘干后重量烘前重量100%及格率及格人數(shù)參加考試人數(shù)100%19 “牛吃草”問題【含義】 “牛吃草”問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長這個因

53、素?！緮?shù)量關(guān)系】 草總量原有草量草每天生長量天數(shù)【解題思路和方法】 解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。例1 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？解 草是均勻生長的，所以，草總量原有草量草每天生長量天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？ 設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：（1）求草每天的生長量因為，一方面20天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（11020）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長量，所以11020原有草量20天內(nèi)生長量同理 11510原有草量10天內(nèi)生長量由此可知 （2010）天內(nèi)草的生長量為 110