2019高考試題匯編理科數(shù)學(xué)-概率統(tǒng)計

1、2019 全國 1理） 6.我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“ ”和陰爻“ ”，下圖就是一重卦 . 在所有重卦中隨機取一重卦，則 該重卦恰有 3 個陽爻的概率是（ ）A. 516答案：B.A1132C.2132D.1116解答：每爻有陰陽兩種情況，所以總的事件共有26 種，在 6 個位置上恰有 3 個是陽爻的情況有 C63 種，所以C632620 564 16（2019 全國 1理）15. 甲乙兩隊進行籃球決賽， 采取七場四勝制 （當(dāng)一隊贏得四場勝利時， 該對獲勝， 決賽結(jié)束） 根據(jù)前期的比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主

2、”設(shè)甲隊主場取勝的概率為 0.6 ，客場取勝的 概率為 0.5 ，且各場比賽相互獨立，則甲隊以4 :1獲勝的概率是答案：0.18解答：甲隊要以 4 :1 ，則甲隊在前 4場比賽中輸一場，第 5 場甲獲勝，由于在前 4 場比賽中甲有 2 個主場 2 個客場，于 是分兩種情況：1 2 2 1C12 0.6 0.4 0.52 0.6 0.62 C12 0.5 0.5 0.6 0.18 .（2019 全國 1 理） 21為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物實 驗實驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比實驗對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施 以乙藥一輪

3、的治療結(jié)果得出后， 再安排下一輪實驗 當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多 4 只時， 就停止實驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問題，約定：對于每輪實驗，若施以甲藥的白鼠治愈 且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得 1 分，乙藥得 1 分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得 1 分，甲藥得 1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為 和 ，一輪 實驗中甲藥的得分記為 X （ 1）求 X 的分布列；（2）若甲藥、乙藥在實驗開始時都賦予4分， pi （i 0,1, ,8） 表示“甲藥的累計得分為 i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p00

4、，p81， piapi 1bpicpi1 (i 1,2, ,7) ，其中 a P(X1)，b P(X 0)， c P(X 1)假設(shè)0.5，0.8i ）證明： pi 1 pi（i 0,1,2, ,7） 為等比數(shù)列；(ii )求 p4 ，并根據(jù) p4的值解釋這種實驗方案的合理性 答案：(1)略；(2)略解答：(1)一輪實驗中甲藥的得分有三種情況：1、 1、0 P(X 1) (1 ) ；P(X 1) (1 ) ；得1分時是施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則 得 1 分時是施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則 得 0分時是都治愈或都未治愈，則 P(X 0) (1 )(1 ) 則 X

5、的分布列為：(2)(i )因為0.5，0.8，則 a P(X 1) 0.4， b P(X 0) 0.5， c P(X 1) 0.1可得 pi 0.4pi 1 0.5pi 0.1pi 1，則 0.5pi 0.4pi 1 0.1pi 1 ，則 0.4( pi pi 1) 0.1(pi 1 pi )，則 pi 1 pi 4 ， pi pi 1所以 pi 1 pi(i 0,1,2, ,7)為等比數(shù)列(ii ) pi 1 pi(i 0,1,2, ,7) 的首項為 p1 p0 p1 ，那么可得： p8 p7 p1 47 ， p7 p6 p1 46 ，p2 p1 p1 4 ，以上 7 個式子相加，得到 p8

6、 p1 p1 (47 464) ，8 8 3則 p8p1(1 44647)p111 44431p1，則p14831，再把后面三個式子相加，得 p4 p1 p1 (4 42 43 )，23p4 p1 (1 4 4 4 )3p144 1 343 1 483111444 1 257p4 表示“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只，且甲藥的累計得分為 4”，因為0.5，0.8，則實驗結(jié)果中 “甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多 4 只，且甲藥的累計得分為 4”這種情況的概率是非常小的，1而 p4的確非常小，說明這種實驗方案是合理的4 257（2019 全國 2 理 ）5. 演講比賽共有 9 位評委分別給

7、出某位選手的原始評分，評定該選手的成績時，從 9 個原始評 分中去掉 1 個最高分、 1個最低分，得到 7 個有效評分。 7個有效評分與 9 個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是 （）A 中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D極差答案： A解答：由吧，于共 9 個評委，將評委所給分?jǐn)?shù)從小到大排列，中位數(shù)是第5 個，假設(shè)為 a ，去掉一頭一尾的最低和最高分后，中位數(shù)還是 a ，所以不變的是數(shù)字特征是中位數(shù)。其它的數(shù)字特征都會改變。（2019全國 2理）18. 11分制乒乓球比賽，每贏一球得 1分，當(dāng)某局打成 10:10 平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得 2 分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束 .甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽，

8、假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5 ，乙發(fā)球時甲得分的概率為 0.4 ，各球的結(jié)果相互獨立 .在某局雙方 10:10 平后，甲先發(fā)球，兩人又打了 X 個球該局比賽結(jié)束 .（1）求 P（X 2） ；（2）求事件“ X 4 且甲獲勝”的概率 .答案：（1）0.5；（2） 0.06解析：（ 1） X 2 時，有兩種可能： 甲連贏兩局結(jié)束比賽，此時 P1 0.5 0.4 0.2 ； 乙連贏兩局結(jié)束比賽，此時 P2 0.5 0.6 0.3 ， P（X 2） P1 P2 0.5；（ 2） X 4 且甲獲勝，即只有第二局乙獲勝，其他都是甲獲勝，此時 P 0.5 0.6 0.5 0.4 0.06.（2019 全

9、國 3 理） 3.西游記三國演義 水滸傳和紅樓夢是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說 四大名著，某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了 100 位學(xué)生，其中閱讀過西游記或紅 樓夢的學(xué)生共有 90 位，閱讀過紅樓夢的學(xué)生共有 80 位，閱讀過西游記且閱讀過紅樓夢的學(xué)生共 有 60 位，則該校閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8答案： C解答：90 80 601000.73 / 10（2019 全國 3理） 17.為了解甲，乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下實驗：將200 只小鼠隨機分成A, B兩組，每組 100 只，其

10、中 A組小鼠給服甲離子溶液， B 組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積 相同， 摩爾溶度相同。 經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比， 根據(jù)實驗數(shù)據(jù)分別 得到如下直方圖：7 / 10記 C 為事件“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到 P（C） 的估計值為 0.70.1）依題意得a 0.2 0.15 0.70.05 b 0.15 0.15 0.2 a 1解得a 0.35 b 0.11）求乙離子殘留百分比直方圖中 a,b 的值；（2）分別估計甲，答案：乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）見解析 解答:（2） 0.15

11、 2 0.2 3 0.3 4 0.2 5 0.1 6 0.05 7 4.050.05 3 0.1 4 0.15 5 0.3 6 0.2 7 0.15 8 5.7得到甲離子殘留百分比的平均值為 4.05,，乙離子殘留百分比的平均值為 5.7.（ 2019 北京理） 17.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變近年來，移動支付已成為主要支付方式之 一為了解某校學(xué)生上個月 A，B 兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A ，B兩種支付方式都不使用的有 5人，樣本中僅使用 A 和僅使用 B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：交付( 0,1000(1000,2000大于 2

12、000金額（元）付方式僅使用 A18 人9人3人僅使用 B10 人14人1人）從全校學(xué)生中隨機抽取 1人，估計該學(xué)生上個月 A，B 兩種支付方式都使用的概率；）從樣本僅使用 A 和僅使用 B 的學(xué)生中各隨機抽取 1人，以 X表示這 2 人中上個月支付金額大于 1000 元的4 / 10人數(shù)，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望；()已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化現(xiàn)從樣本僅使用 A 的學(xué)生中，隨機抽查 3 人，發(fā)現(xiàn)他 們本月的支付金額都大于 2000元根據(jù)抽查結(jié)果， 能否認(rèn)為樣本僅使用 A 的學(xué)生中本月支付金額大于 2000元的人數(shù)有變化？說明理由2【答案】 ( ) 2 ；5()見解析；( )

13、見解析 .【解析】【分析】()由題意利用古典概型計算公式可得滿足題意的概率值； ()首先確定 X 可能的取值，然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學(xué)期望即可()由題意結(jié)合概率的定義給出結(jié)論即可100 30 25 5 40 人，則：詳解】 ( )由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為：該學(xué)生上個月 A，B 兩種支付方式都使用的概率40p 100()由題意可知，32 僅使用 A支付方法的學(xué)生中，金額不大于 1000 的人數(shù)占 ，金額大于 1000 的人數(shù)占 ，5523 僅使用 B支付方法的學(xué)生中，金額不大于 1000 的人數(shù)占 ，金額大于 1000的人數(shù)占 ，55 且 X 可能的取值為 0,

14、1,2.6 ， p X 1255513 ， p X 2 325 525X 分布列為：X012pX6136252525其數(shù)學(xué)期望： E X 0 6 1 13 2 6 1.25 25 25()我們不認(rèn)為樣本僅使用 A 的學(xué)生中本月支付金額大于 2000元的人數(shù)有變化 .理由如下：隨機事件在一次隨機實驗中是否發(fā)生是隨機的，是不能預(yù)知的，隨著試驗次數(shù)的增多，頻率越來越穩(wěn)定于概率。出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象學(xué)校是一個相對消費穩(wěn)定的地方， 每個學(xué)生根據(jù)自己的實際情況每個月的消費應(yīng)該相對固定， 可能是發(fā)生了 “小概率事件 ”.【點睛】本題以支付方式相關(guān)調(diào)查來設(shè)置問題， 考查概率統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用， 考查概率的定義和分

15、布列的應(yīng)用， 使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活息息相關(guān) .2(2019 天津理) 16.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為 2 .假定甲、乙兩位同學(xué)到校3 情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立 .()用 X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中 7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望； ()設(shè) M 為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7： 30 之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在 7：30 之前到校的天數(shù)恰好多 2”，求事件 M 發(fā)生的概率 .20【答案】()見解析； ()243【解析】【分析】( ) 由題意可知分布列為二項分布， 結(jié)合二項分布的公式求得概率可得分布列， 然

16、后利用二項分布的期望公式求 解數(shù)學(xué)期望即可；( ) 由題意結(jié)合獨立事件概率公式計算可得滿足題意的概率值.7:30 之前到校的概率均為 2 ，3故XB從面 P X k C3kk 0,1,2,3 .【詳解】 ( )因為甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨立，且每天所以，隨機變量 X 的分布列為：X0123P12482799272隨機變量 X 的數(shù)學(xué)期望 E(X) 32.32 ( )設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中 7:30 之前到校的天數(shù)為 Y，則 Y B 3,3且 M X 3,Y 1 X 2,Y 0.由題意知事件 X 3,Y 1 與 X 2,Y 0 互斥，且事件 X 3 與 Y 1 ，事件 X 2 與

17、Y 0 均相互獨立，從而由( ) 知：P(M ) P X 3,Y 1 X 2,Y 0P X 3,Y 1 P X 2,Y 0P(X 3)P(Y 1) P(X 2)P(Y 0)8 2 4 120.27 9 9 27 243【點睛】 本題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望， 互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等基礎(chǔ)知 識 . 考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.(2019 江蘇 )5.已知一組數(shù)據(jù) 6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是5 【答案】3【解析】【分析】 由題意首先求得平均數(shù)，然后求解方差即可 .詳解】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6 7 8 8 9 108，所以該組數(shù)據(jù)的

18、方差是1(68)2(78)2(8 8)2 (88)2(9 8)2 (108)2563 【點睛】本題主要考查方差的計算公式，屬于基礎(chǔ)題 .(2019江蘇)6.從 3名男同學(xué)和 2名女同學(xué)中任選 2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的 2名同學(xué)中至少有 1名女同 學(xué)的概率是 .【答案】 710【解析】【分析】先求事件的總數(shù)， 再求選出的 2 名同學(xué)中至少有 1 名女同學(xué)的事件數(shù)， 最后根據(jù)古典概型的概率計算公式得出答 案.【詳解】從 3 名男同學(xué)和 2名女同學(xué)中任選 2 名同學(xué)參加志愿服務(wù)，共有 C52 10種情況 .若選出的 2名學(xué)生恰有 1 名女生，有 C31C21 6 種情況，若選出的 2 名學(xué)生

19、都是女生，有 C22 1種情況，所以所求的概率為6 1 710 1099 / 10【點睛】計數(shù)原理是高考考查的重點內(nèi)容，考查的形式有兩種，一是獨立考查，二是與古典概型結(jié)合考查，由于古典概型概率的計算比較明確，所以，計算正確基本事件總數(shù)是解題的重要一環(huán) .在處理問題的過程中，應(yīng)注意審清題意，明確 “分類”分“步 ”，根據(jù)順序有無，明確 “排列”“組合”(2019江蘇)25.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，設(shè)點集 An (0,0),(1,0),(2,0),( n,0) ，Bn (0,1),( n,1),Cn (0,2),(1 ,2),(2,2), ,(n,2), n N .令Mn An Bn Cn.從

20、集合 Mn中任取兩個不 同的點，用隨機變量 X 表示它們之間的距離 .( 1)當(dāng) n=1 時，求 X 的概率分布；( 2)對給定的正整數(shù) n( n3)，求概率 P( Xn)(用 n 表示) . 【答案】(1)見解析；( 2)見解析 .【解析】【分析】(1) 由題意首先確定 X 可能的取值，然后利用古典概型計算公式求得相應(yīng)的概率值即可確定分布列；(2)將原問題轉(zhuǎn)化為對立事件的問題求解 P X n 的值，據(jù)此分類討論 .b d ，.b 0,d 1，.b 0,d 2，.b 1,d 2四種情況確定 X 滿足 X n的所有可能的取值，然后求解相應(yīng)的概率值即可確定P X n 的值.【詳解】(1)當(dāng)n 1時， X的所有可能取值是 1， 2，2， 57 7 4 4X 的概率分布為 P(X 1) C762 175,P(X 2) C462 145 ，P(X 2) C226 15125,P(X 5) C226152)設(shè) A(a，b)和 B(c，d)是從 Mn中取出的兩個點因為 P(X n) 1 P(X n) ，所以僅需考慮 X n的情況若 b d ，則 AB n ，不存在 X n 的取法；若 b0，d1，則 AB(ac)21n2 1，所以 Xn 當(dāng)且僅當(dāng)ABn21，此時a0，cn 或a n，c 0 ，有 2 種取法；若 b0，d2 ，則 AB(a c)24n2 4 ，因為當(dāng)n 3 時，(n 1)2