50知識梳理不等式的綜合應用(提高)(20210112130109)

1、不等式的綜合應用 【考綱要求】 1在熟練掌握一元一次不等式（組）、一元二次不等式的解法基礎上，掌握其它的一些簡單不等式的解 法.通過不等式解法的復習，提高學生分析問題、解決問題的能力以及計算能力； （組），會 2掌握解不等式的基本思路，即將分式不等式、絕對值不等式等不等式，化歸為整式不等式 用分類、換元、數形結合的方法解不等式； 3. 通過復習不等式的性質及常用的證明方法（比較法、分析法、綜合法、數學歸納法等），使學生較靈 活的運用常規(guī)方法（即通性通法）證明不等式的有關問題； 4. 通過證明不等式的過程，培養(yǎng)自覺運用數形結合、函數等基本數學思想方法證明不等式的能力； 5. 能較靈活的應用不等式

2、的基本知識、基本方法，解決有關不等式的問題. 6. 通過不等式的基本知識、基本方法在代數、三角函數、數列、復數、立體幾何、解析幾何等各部 分知識中的應用，深化數學知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力.在應用不等式的基本 知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學生數學素質及創(chuàng)新意識. 【知識網絡】 【考點梳理】 考點一：不等式問題中相關方法 1. 解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質則是不等式變形的理論依據，方程的根、 函數的性質和圖象都與不等式的解法密切相關，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，互相轉化.在解不等式 中，換元法和圖解法是常用的技巧之一.通過換元，可將較復雜的不

3、等式化歸為較簡單的或基本不等式， 通過構造函數、數形結合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關系，對含有參數的不等式，運 用圖解法可以使得分類標準明晰. 2. 整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等式的基礎，利用不等式的性質及函 數的單調性，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式（組）是解不等式的基本思想，分類、換元、 數形結合是解不等式的常用方法.方程的根、函數的性質和圖象都與不等式的解密切相關，要善于把它們 有機地聯(lián)系起來，相互轉化和相互變用. 3在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復雜的不等式 化歸為較簡單的或基本不等式，通過構造函數，

4、將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關系，對含有參數 的不等式，運用圖解法，可以使分類標準更加明晰.通過復習，感悟到不等式的核心問題是不等式的同解 變形，能否正確的得到不等式的解集，不等式同解變形的理論起了重要的作用. （商）7變形 4 .比較法是不等式證明中最基本、也是最常用的方法，比較法的一般步驟是：作差 7判斷符號（值）. 5證明不等式的方法靈活多樣，內容豐富、技巧性較強，這對發(fā)展分析綜合能力、正逆思維 等，將會起到很好的促進作用在證明不等式前，要依據題設和待證不等式的結構特點、內在聯(lián)系，選擇 適當的證明方法.通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等 式

5、得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經過一系列的運算而導出待證的不等式，前者是“執(zhí) 果索因”，后者是“由因導果”，為溝通聯(lián)系的途徑，證明時往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相 成，達到欲證的目的. 6 .證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數學歸納法仍是證明不等式的 基本方法.要依據題設、題斷的結構特點、內在聯(lián)系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思 維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點. 考點二：不等式與相關知識的滲透 1.不等式這部分知識，滲透在中學數學各個分支中，有著十分廣泛的應用.因此不等式應用問題體 現(xiàn)了一定的綜合性、 靈活多樣性，這對同學們將所

6、學數學各部分知識融會貫通，起到了很好的促進作用. 在 解決問題時，要依據題設、題斷的結構特點、內在聯(lián)系、選擇適當的解決方案，最終歸結為不等式的求解 或證明.不等式的應用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學數學之中.諸如集合問題，方程(組)的解的 討論，函數單調性的研究，函數定義域的確定，三角、數列、復數、立體幾何、解析幾何中的最大值、最 小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結為不等式的求解或證明。 2 .不等式應用問題體現(xiàn)了一定的綜合性.這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等 式；另一類是建立函數式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函數的最值時，要特別注意“

7、正數、定 值和相等”三個條件缺一不可，有時需要適當拼湊，使之符合這三個條件.利用不等式解應用題的基本步 驟：審題，建立不等式模型，解數學問題，作答。 要點詮釋：解不等式的基本思想是轉化、化歸，一般都轉化為最簡單的一元一次不等式(組)或一 元二次不等式(組)來求解，。 解含參數不等式時，要特別注意數形結合思想，函數與方程思想，分類討論思想的錄活運用。 不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎上，選 用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注意調整放縮的度。 根據題目結構特點，執(zhí)果索因，往往是有效的思維方法。 【典型例題】 類型一：不等式求解問題 例1 .

8、解關于 【思路點撥】 解：不等式 1) x a=1 時, 竺1. x 2 考慮轉化為整式不等式。 a.1 可化為(a Qx 20 . 2x 原不等式的解集為 x的不等式 2 x|x 2) 1時, 原不等式的解集為 x|x 3) 10,則原不等式可化為 a 2 x 1 a x 2 2； 2 -或 x2; 1 故當0 a 1時，原不等式的解集為 x|2 當a 0時，原不等式的解集為 當a 0時，原不等式的解集為x| 2 2 x 1 a 【總結升華】 分式不等式應移項、通分，轉化為整式不等式。這是解決分式不等式的基本方法和思路。 舉一反三: x 2 2 【變式1】己知三個不等式： 2x 4 5 x

9、1 2x2 mx 1 0 x2 3x 2 (1) 若同時滿足、的 x值也滿足，求 m的取值范圍； (2) 若滿足的x值至少滿足和中的一個，求 m的取值范圍。 解：記的解集為A，的解集為B，的解集為C。 解得 A= (-1, 3);解得 B= 0,1)(2,4 , A B 0,1)(2,3) (1)因同時滿足、的 x值也滿足，ABC 設f (x) 2x2 mx 1，由f (x)的圖象可知：方程的小根小于0,大根大于或等于3時，即可滿足 (2) 此C 因滿足的 (1,4 f(0) 01 017 即m f(3) 03m 17 03 x值至少滿足和中的一個， C A 方程2x2 mx 10小根大于或等

10、于-1, B,而 A B 大根小于或等于 1,4因 4,因而 f( 1) 1 f (4) 4m 310,解之得 31 m 1 4 【高清課堂：基本不等式394889典型例題一】 【變式2】已知函數f(x) ax2 2x 1(a R) (1)若f(x)的圖像與x軸恰有一個公共點, 求 a的值; (2)若方程f(x) 0至少有一個正跟，求 a的范圍。 解：(1)當a 0時函數f (x)為一次函數，符合題意; 當a 0時，函數f (x)為二次函數，則 4 4a 0，所以 a 1 綜上，a 0或1. 當a 0時，f (x)0為一次方程，不符合題意; 0時，f(x) 0為二次方程，顯然 f(0)1 所以

11、 當a a 0時有一正一負根，符合題意; 0時， x1 X1 x2 x a 類型二：不等式證明 綜上, 的范圍 0. 例2.已知 ABC的三邊長是a, b,c，且m為正數，求證: 【思路點撥】尋找各項的統(tǒng)一性，可以從函數單調性方面來考慮。 證明：設f(x) -(m 0)，易知(0,)是f(x)的遞增區(qū)間 x m c, f(a b) f(c)，即 b b m b b m a b a b b a b m 【總結升華】函數是高中數學的重要知識，很多問題都可以從函數的角度來思考和分析。 m、 舉一反三： 【變式1】設函數f(x)定義在R上，對任意 m、n恒有f(m+n)=f(m) f(n),且當x0時

12、，0vf(x)v 1. f(0)=1，且當 XV 0 時，f(x) 1； f(x)在R上單調遞減； A= (X, y)|f(x2) f(y2)f(1)，集合 B=(x, y)|f(ax g+2)=1 , a R，若 An B=，求 a 的 (1) 求證： (2) 求證： (3) 設集合 m 0, n=0 得：f(m)=f(m) f(0). / f(m)豐 0,a f(0)=1 n= m, (mv 0),得 f(0)=f(m)f( m) 1 ,V mv 0, m 0,.0v f( m)v 1 , f(m) 1 取值范圍. 證明：令 取 m=m, f(m)= f ( m) 證明：任取 X1, X2

13、 R，貝u f(X1) f(X2)=f(X1) f (X2 X1)+X1 = f(X1) f(X2 X1) f(X1)=f(X1): 1 f(X2 X1)L f(X1 ) 0 , 1 f(X2 X1) 0,. f(X1) f(X2), 函數f(x)在R上為單調減函數. (3)由 f(x f (ax )f (1) 得 2) 1 f(廠 X2 ax ，由題意此不等式組無解, 0 數形結合得: |2L 1，解得 1 4a2 a2w 3 a ： 73, 73: 類型三：不等式與相關知識的融合 例3.(2015 甘肅一模)已知函數f X In 1 x(其中常數m0) X (1)當m=2時，求f X的極大

14、值. (2)時談論f X在區(qū)間0,1上的單調性 當m 3, 時，曲線y f 上總存在相異兩點 P Nf N ，Q x2, f x2 ，使得曲線 y f X 在點P,Q處的切線互相平行，求 Xi X2的取值范圍. 【解析】(1)當m=2時, 5|nx 2 fx 2 2x 2x 1 2X2X 0 x 令f X 0可得0 令f X 1 0解得一 2 f X 1 在0,和 2 故f X 的極大值為 x 2, f 2 上單調遞減, 單調遞增 1 m X m X 當 1 m 1時，則一 m 此時 0,m 當 此時 0,1 當 1時，0 時, 此時 5ln2 X2 0,m , 上單調遞減，在m,1 1 故

15、X 0,1 有 f X 上單調遞減 上單調遞增. 2 X 1 2 X 上單調遞減，在 (3)由題意，可得 X2 m X1 1 2 X1 X2 1 2 X2 Q x1 x2由不等式性質可得 X1X2 X1 X2 X1 2 X2 3易知 1 X m X m 2 X 1 丄,1上單調遞增. m X1,X2 1所以 0且X1 X1X2 X1 X2 x2 m,1 時，f X 0 0恒成立, 1 m x1x2 m 恒成立又x1, x2 ,m 0 Zr對m 3, 恒成立 1 在3, 上單增 2 2 Xi 6 X2 5 Xi x2的取值范圍為 舉一反三: 【變式】 （2015 遼寧二模）已知a a,b 0,

16、14 1+- |2x 1 |x 1 恒成立 4 的最小值; b （2）求x的取值范圍. (1)求- a 【解析】 (1) Qa 0,b 4a V 當且僅當 2a時等號成立, 1 2 ?b 3時， 等號成立 14 故一一的最小值為 a b 9. 因為對a,b 0, l2x 所以|2x 1 1時，2 1 x 時, 2 3x 11 綜上可知x的取值范圍是 7,11 . 類型四：不等式相關應用題 例4 .如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬 隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀。 22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米, y_j 7弋: i i A i ! L : 1 ! （1）若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱寬I是多少? （2）若最大拱高h不小于6米，則應如何設計拱高 半個橢圓形隧道的土方工程最??？ h和拱寬I ,才能使 S= Ih,柱體體積為: 4 1.414 , 472.646本題結果均精確到 0.1 【思路點撥】顯然本題是一個橢圓模型的實際問題，應該考慮從橢圓方面入手。 （半個橢圓的面積公式為 底面積乘以高, 米） 【解析】1）建立如圖所示直角坐標系，則P（ 11, 4.5 ） 2 2 橢圓方程為：冷與 1 a2 b2 將b=h=