中考數(shù)學(xué) 輔助線

1、中考數(shù)學(xué) 輔助線幾何輔助線(圖)作法探討一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時顯得十分復(fù)雜，若通過適當?shù)淖儞Q,即添加適當?shù)妮o助線（圖），將原圖形轉(zhuǎn)換成一個完整的、特殊的、簡單的新圖形，則能使原問題的本質(zhì)得到充分的顯示，通過對新圖形的分析，原問題順利獲解。有許多初中幾何常見輔助線作法歌訣,下面這一套是很好的：人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線,如何添?把握定理和概念.還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗.三角形圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線,等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線,常向兩端把線連.要證線段倍與半，延長縮

2、短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形 平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看.平行移動對角線，補成三角形常見。證相似,比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換,尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。圓半徑與弦長計算，弦心距來中間站.圓上若有一切線，切點圓心半徑連.切線長度的計算，勾股定理最方便.要想證明是切線，半徑垂線仔細辨.是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦,同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線.還要

3、作個內(nèi)切圓，內(nèi)角平分線夢圓.如果遇到相交圓,不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓,證明題目少困難。 輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實驗。基本作圖很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變.分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。在幾何題的證明或求解時，需要構(gòu)成一些基本圖形來求證（解）時往往要通過添加輔助線（圖）來形成，添加輔助線(圖），構(gòu)成的基本圖形是結(jié)果，構(gòu)造的手段是方法.筆者從作輔助線的結(jié)果和方法兩方面將幾何輔助線（圖）作法歸納為結(jié)果（1

4、）構(gòu)造基本圖形；（2)構(gòu)造等腰（邊）三角形：（3）構(gòu)造直角三角形；（4)構(gòu)造全等三角形；（5）構(gòu)造相似三角形;（6）構(gòu)造特殊四邊形;（7）構(gòu)造圓的特殊圖形；方法（8）基本輔助線；(9)截取和延長變換；（10）對稱變換；（11）平移變換;(12）旋轉(zhuǎn)變換.下面通過近年全國各地中考的實例探討其應(yīng)用。一、構(gòu)造基本圖形：每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形,我們把它叫做基本圖形,添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補完整基本圖形。如平行線，垂直線，直角三角形斜邊上中線,三角形、四邊形的中位線等。等腰(邊)三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四邊形和圓的特殊圖形也都是基本圖形，

5、但我們后面把它們單獨表述。典型例題：例1。（2012四川內(nèi)江3分）如圖，【 】a. b。 c。 d.例2。（2012江蘇宿遷3分）已知點e,f，g，h分別是四邊形abcd的邊ab,bc，cd,da的中點，若acbd，且acbd,則四邊形efgh的形狀是 。（填“梯形“矩形”“菱形 ）【答案】矩形.【考點】三角形中位線定理，矩形的判定?！痉治觥咳鐖D，連接ac,bd。 e，f，g,h分別是ab，bc，cd，da的中點,根據(jù)三角形中位線定理，heabgf，hgacef。又acbd,ehg=hgf=gfe=feh=900。四邊形efgh是矩形。且acbd，四邊形efgh鄰邊不相等。四邊形efgh不可能

6、是菱形。例3.(2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖,線段ac=n+1（其中n為正整數(shù)），點b在線段ac上，在線段ac同側(cè)作正方形abmn及正方形bcef,連接am、me、ea得到ame當ab=1時，ame的面積記為s1；當ab=2時，ame的面積記為s2；當ab=3時,ame的面積記為s3；當ab=n時，ame的面積記為sn當n2時，snsn1= 【答案】?！究键c】正方形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì),同底等高的三角形面積，整式的混合運算?！痉治觥窟B接be，在線段ac同側(cè)作正方形abmn及正方形bcef，beam。ame與amb同底等高。ame的面積=amb的面積.當ab=n時,ame

7、的面積為，當ab=n1時，ame的面積為。 當n2時,。例4.(2012江蘇鎮(zhèn)江6分)如圖，在四邊形abcd中，adbc,e是ab的中點，連接de并延長交cb的延長線于點f，點g在bc邊上，且gdf=adf.（1）求證：adebfe；（2)連接eg，判斷eg與df的位置關(guān)系,并說明理由?！敬鸢浮拷猓海?）證明：adbc，ade=bfe（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。 e是ab的中點,ae=be. 又aed=bef,adebfe（aas）。 （2)eg與df的位置關(guān)系是egdf。理由如下： ade=bfe，gdf=adf，gdf=bfe(等量代換）。gd=gf（等角對等邊）. 又adebfe，de=

8、ef（全等三角形對應(yīng)邊相等）。egdf（等腰三角形三線合一）。例5.（2012廣西南寧10分)如圖,已知矩形紙片abcd，ad=2，ab=4將紙片折疊，使頂點a與邊cd上的點e重合，折痕fg分別與ab，cd交于點g，f，ae與fg交于點o（1）如圖1，求證：a，g，e，f四點圍成的四邊形是菱形；(2）如圖2，當aed的外接圓與bc相切于點n時，求證：點n是線段bc的中點；(3）如圖2，在(2)的條件下，求折痕fg的長【答案】解：（1)由折疊的性質(zhì)可得，ga=ge，agf=egf，dcab,efg=agf.efg=egf。ef=eg=ag.四邊形agef是平行四邊形（efag,ef=ag）.又a

9、g=ge，四邊形agef是菱形。（2）連接on，aed是直角三角形,ae是斜邊，點o是ae的中點,aed的外接圓與bc相切于點n,onbc。點o是ae的中點，on是梯形abce的中位線。點n是線段bc的中點.（3）oe、on均是aed的外接圓的半徑，oe=oa=on=2.ae=ab=4。在rtade中，ad=2，ae=4,aed=30.在rtoef中，oe=2，aed=30,。fg=。二、構(gòu)造等腰（邊)三角形:當問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰（邊)三角形;出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰(邊)三角形。通過構(gòu)造等腰（邊）三角形，應(yīng)用等腰（邊）三角形的

10、性質(zhì)得到一些邊角相等關(guān)系，達到求證（解）的目的.典型例題:例1. (2012浙江麗水、金華4分）如圖，在等腰abc中，abac,bac50bac的平分線與ab的中垂線交于點o，點c沿ef折疊后與點o重合，則cef的度數(shù)是 【答案】50。連接bo，abac，ao是bac的平分線，ao是bc的中垂線.boco。bac50，bac的平分線與ab的中垂線交于點o,oaboac25.等腰abc中，abac，bac50，abcacb65。obc652540.obcocb40.點c沿ef折疊后與點o重合,eoec，ceffeo。ceffeo（18002400）250。例2.（2012甘肅白銀10分）如圖，已

11、知abc是等邊三角形，點d、f分別在線段bc、ab上，efb=60,dc=ef（1）求證:四邊形efcd是平行四邊形;（2）若bf=ef,求證：ae=ad【答案】證明：（1)abc是等邊三角形，abc=60.efb=60，abc=efb.efdc（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。dc=ef，四邊形efcd是平行四邊形.（2）連接be。bf=ef，efb=60，efb是等邊三角形。eb=ef，ebf=60。dc=ef,eb=dc。abc是等邊三角形，acb=60，ab=ac。ebf=acb。aebadc(sas)。ae=ad.例3。（2011上海12分）如圖，在梯形abcd中，ad/bc,abdc，過

12、點d作debc，垂足為e，并延長de至f，使efde聯(lián)結(jié)bf、cd、ac（1）求證：四邊形abfc是平行四邊形； （2）如果de2bece,求證四邊形abfc是矩形 【答案】解：（1）證明：連接bd。梯形abcd中，adbc，ab=dc，ac=bd，acb=dbcdebc,ef=de，bd=bf，dbc=fbc。ac=bf，acb=cbf。acbf.四邊形abfc是平行四邊形；（2）de2bece，。deb=dec=90，bdedec。cde=dbe,bfc=bdc=bdecde=bdedbe=90。四邊形abfc是矩形。三、構(gòu)造直角三角形：通過構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)得到一些邊角

13、關(guān)系(勾股定理,兩銳角互余，銳角三角函數(shù)),達到求證（解）的目的.典型例題:例1。(2012廣西柳州3分)已知：在abc中，ac=a，ab與bc所在直線成45角，ac與bc所在直線形成的夾角的余弦值為 (即cosc=)，則ac邊上的中線長是 【答案】或a。【分析】分兩種情況:abc為銳角三角形時，如圖1，be為ac邊的中線。作abc的高ad，過點e作efbc于點f.在rtacd中，ac=a，cosc=,cd=a，ad=a。在rtabd中，abd=45，bd=ad=a。.bc=bd+cd=a。點e是ac的中點，efad，ef是acd的中位線.fc=dc=a,ef=ad=a。bf=a.在rtbef

14、中，由勾股定理,得。abc為鈍角三角形時，如圖2，be為ac邊的中線。作abc的高ad.在rtacd中,ac=a,cosc=，cd=a，ad=a。在rtabd中，abd=45，bd=ad=a.bc= bd=a。點e是ac的中點，be是acd的中位線.be=ad=a。綜上所述，ac邊上的中線長是或a.例2. （2012廣西河池3分）如圖，在矩形abcd中,adab,將矩形abcd折疊，使點c與點a重合，折痕為mn,連結(jié)cn若cdn的面積與cmn的面積比為14，則 的值為【 】a2b4 cd【答案】d。 過點n作ngbc于g，四邊形abcd是矩形,四邊形cdng是矩形，adbc。cd=ng,cg=

15、dn，anm=cmn。由折疊的性質(zhì)可得:am=cm，amn=cmn，anm=amn。am=an。am=cm，四邊形amcn是平行四邊形。am=cm,四邊形amcn是菱形。cdn的面積與cmn的面積比為1：4,dn:cm=1：4。設(shè)dn=x,則an=am=cm=cn=4x，ad=bc=5x，cg=x。bm=x，gm=3x.在rtcgn中，在rtmng中，.故選d。例3。（2012北京市5分）如圖,在四邊形abcd中，對角線ac,bd交于點e，bac=900,ced=450,dce=900，de=，be=2求cd的長和四邊形abcd的面積【答案】解：過點d作dhac,ced=45,dhec，de=

16、，eh=dh=1.又dce=30，dc=2,hc=。aeb=45，bac=90，be=2，ab=ae=2。ac=2+1+ =3+。 ?！究键c】勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四、構(gòu)造全等三角形：通過構(gòu)造全等三角形，應(yīng)用全等三角形對應(yīng)邊、角相等的性質(zhì)，達到求證(解）的目的.典型例題：例1。 (2012浙江紹興5分)如圖,在矩形abcd中,點e，f分別在bc，cd上,將abe沿ae折疊，使點b落在ac上的點b處，又將cef沿ef折疊，使點c落在eb與ad的交點c處則bc:ab的值為 。例2. (2012山東泰安3分）如圖,abcd，e，f分別為ac,bd的中點,若ab

17、=5，cd=3，則ef的長是【 】a4b3c2d1【答案】d。【考點】三角形中位線定理,全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥窟B接de并延長交ab于h,cdab,c=a,cde=ahe。e是ac中點，de=eh。dcehae（aas)。de=he，dc=ah。f是bd中點,ef是dhb的中位線。ef=bh。bh=abah=abdc=2.ef=1。故選d。例3.(2012山東德州12分）如圖所示,現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片abcd，點p為正方形ad邊上的一點（不與點a、點d重合）將正方形紙片折疊，使點b落在p處，點c落在g處，pg交dc于h，折痕為ef，連接bp、bh（1）求證：apb=bph；(2

18、）當點p在邊ad上移動時，pdh的周長是否發(fā)生變化?并證明你的結(jié)論;（3）設(shè)ap為x，四邊形efgp的面積為s,求出s與x的函數(shù)關(guān)系式，試問s是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在,請說明理由【答案】解：(1）如圖1,pe=be，ebp=epb又eph=ebc=90，ephepb=ebcebp，即pbc=bph。又adbc,apb=pbc。apb=bph。(2)phd的周長不變?yōu)槎ㄖ?。證明如下:如圖2,過b作bqph，垂足為q。由（1)知apb=bph，又a=bqp=90，bp=bp,abpqbp（aas）。ap=qp,ab=bq。又ab=bc，bc=bq.又c=bqh=90，bh

19、=bh，bchbqh(hl)。ch=qh。phd的周長為：pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8。(3）如圖3,過f作fmab，垂足為m,則fm=bc=ab。又ef為折痕，efbp。efm+mef=abp+bef=90.efm=abp.又a=emf=90，ab=me，efmbpa（asa）。em=ap=x在rtape中，（4be）2+x2=be2，即。又四邊形pefg與四邊形befc全等，。,當x=2時，s有最小值6。例4。 （2011廣西南寧3分）如圖，在abc中，acb90，a15，ab8，則acbc的值為【 】a14 b16 c4 d16【答案】d?！究键c】全等三角形的

20、判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)?！痉治觥垦娱Lbc到點d，使cdcb，連接ad，過點d作deab，垂足為點e。則知acdacb，從而由已知得cada15，adab.因此，在rtade中,ad8,bad30，deadsin304.從而sadeabde16，又sadebdac2bcacacbc，即acbc16.例5。 （2011山東濟南3分)如圖，在abc中,acb90，acbc,分別以ab、bc、ca為一邊向abc外作正方形abde、bcmn、cafg,連接ef、gm、nd，設(shè)aef、bnd、cgm的面積分別為s1、s2、s3，則下列結(jié)論正確的是【 】as1s2s3 bs1s2s3cs1s3s2 ds2

21、s3s1【答案】a。【分析】過點d作dqmn交cb的延長線于點p，交mn的延長線于點q； 過點e作ergf交ca的延長線于點s，交gf的延長線于點r。 易證cgmcab（sas),即s2sabc； 易證pbdcab（aas），bp=ac，即s3的底為bn=bc，高為bp=ac，s2sabc；易證seacab（aas），as=bc，即s1的底為fa=ca，高為as=bc，s2sabc.s1s2s3sabc。故選a.例6. （2011山東德州8分）如圖 ab=ac，cdab于d，beac于e，be與cd相交于點o（1）求證ad=ae；（2）連接oa,bc，試判斷直線oa,bc的關(guān)系并說明理由【答案

22、】解：(1）證明：在acd與abe中，a=a，adc=aeb=90，ab=ac,acdabe（aas）。ad=ae。 （2）在rtado與rtaeo中，oa=oa，ad=ae，adoaeo（hl）。dao=eao。即oa是bac的平分線。又ab=ac，oabc。五、構(gòu)造相似三角形：通過構(gòu)造相似三角形,應(yīng)用相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，達到求證（解）的目的。典型例題：例1。（2012湖北十堰3分）如圖，矩形abcd中，ab=2，ad=4，ac的垂直平分線ef交ad于點e、交bc于點f,則ef= 【答案】?！痉治觥窟B接ec，ac、ef相交于點o.ac的垂直平分線ef，ae=ec.四邊形

23、abcd是矩形，d=b=90,ab=cd=2，ad=bc=4，adbc.aoecof。.oa=oc，oe=of，即ef=2oe。在rtced中，由勾股定理得：ce2=cd2+ed2，即ce2=（4ce）2+22，解得：ce=。在rtabc中，ab=2,bc=4，由勾股定理得：ac=，co=.在rtceo中，co=，ce=，由勾股定理得：eo=.ef=2eo=。例2。（2012天津市10分)已知一個矩形紙片oacb,將該紙片放置在平面直角坐標系中，點a（11，0)，點b(0，6），點p為bc邊上的動點（點p不與點b、c重合），經(jīng)過點o、p折疊該紙片，得點b和折痕op設(shè)bp=t（）如圖,當bop=

24、300時,求點p的坐標;（）如圖，經(jīng)過點p再次折疊紙片，使點c落在直線pb上,得點c和折痕pq，若aq=m，試用含有t的式子表示m；（)在（）的條件下，當點c恰好落在邊oa上時，求點p的坐標（直接寫出結(jié)果即可）【答案】解:（)根據(jù)題意，obp=90,ob=6。在rtobp中，由bop=30,bp=t，得op=2t。op2=ob2+bp2,即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=（舍去）點p的坐標為（ ，6）。()obp、qcp分別是由obp、qcp折疊得到的，obpobp，qcpqcp。opb=opb，qpc=qpc.opb+opb+qpc+qpc=180，opb+qpc=90。bop+

25、opb=90，bop=cpq.又obp=c=90,obppcq。由題意設(shè)bp=t,aq=m，bc=11,ac=6，則pc=11t,cq=6m。（0t11)。()點p的坐標為(，6）或（,6)?！痉治觥?）首先過點p作peoa于e，易證得pcecqa,由勾股定理可求得cq的長,然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與，即可求得t的值： 過點p作peoa于e，pea=qac=90。pce+epc=90.pce+qca=90，epc=qca。pcecqa.。pc=pc=11t,pe=ob=6，aq=m,cq=cq=6m，。，即,，即。將代入,并化簡，得。解得：。點p的坐標為（，6）或（，6）。例3。（20

26、12湖南岳陽3分)如圖，abc中，ab=ac，d是ab上的一點，且ad=ab，dfbc，e為bd的中點若efac，bc=6，則四邊形dbcf的面積為 【答案】15?！痉治觥咳鐖D,過d點作dgac，垂足為g,過a點作ahbc，垂足為h，ab=ac,點e為bd的中點，且ad=ab,設(shè)be=de=x，則ad=af=4x。dgac，efac，dgef，即，解得。dfbc，adfabc，即，解得df=4.又dfbc，dfg=c，rtdfgrtach，,即，解得。在rtabh中，由勾股定理，得。.又adfabc，。例4. （2011山東淄博4分)如圖，正方體的棱長為3，點m,n分別在cd,he上，cm=d

27、m，hn=2ne，hc與nm的延長線交于點p，則tannph的值為 【答案】.【考點】正方形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)。【分析】cmdm,hn2ne，cmcd，hnhecd,又pcmphn,即ph2ch2cd。tannph。六、構(gòu)造特殊四邊形：通過構(gòu)造平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四邊形，應(yīng)用它們邊、角、對角線、中位線的性質(zhì),達到求證（解)的目的.典型例題:例1。 （2012貴州遵義3分)如圖，矩形abcd中,e是ad的中點,將abe沿be折疊后得到gbe，延長bg交cd于f點，若cf=1,fd=2，則bc的長為【 】a b c d【答案】b.【分析】過點e作em

28、bc于m，交bf于n。四邊形abcd是矩形，a=abc=90，ad=bc，emb=90，四邊形abme是矩形。ae=bm,由折疊的性質(zhì)得:ae=ge,egn=a=90，eg=bm。eng=bnm，engbnm（aas）。ng=nm.e是ad的中點，cm=de,ae=ed=bm=cm.emcd，bn:nf=bm:cm。bn=nf。nm=cf=.ng=。bg=ab=cd=cf+df=3，bn=bgng=3。bf=2bn=5。故選b.例2. （2012四川德陽3分） 如圖，點d是abc的邊ab的延長線上一點，點f是邊bc上的一個動點（不與點b重合）.以bd、bf為鄰邊作平行四邊形bdef，又apbe

29、（點p、e在直線ab的同側(cè)），如果，那么pbc的面積與abc面積之比為【 】a. b。 c。 d.【答案】d.【分析】過點p作phbc交ab于h，連接ch，pf，pe.apbe，四邊形apeb是平行四邊形。peab。，四邊形bdef是平行四邊形,efbd.efab。p，e，f共線。設(shè)bd=a，pe=ab=4a。pf=peef=3a。phbc,shbc=spbc.pfab,四邊形bfph是平行四邊形。bh=pf=3a。shbc:sabc=bh:ab=3a：4a=3：4，spbc：sabc=3：4.故選d.例3。（2012安徽省5分)如圖，p是矩形abcd內(nèi)的任意一點，連接pa、pb、pc、pd，

30、得到pab、pbc、pcd、pda，設(shè)它們的面積分別是s1、s2、s3、s4，給出如下結(jié)論： s1+s2=s3+s4 s2+s4= s1+ s3 若s3=2 s1,則s4=2 s2 若s1= s2，則p點在矩形的對角線上其中正確的結(jié)論的序號是 （把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上)?！敬鸢浮?。【分析】如圖，過點p分別作四個三角形的高，apd以ad為底邊，pbc以bc為底邊，此時兩三角形的高的和為ab，s1+s3=s矩形abcd；同理可得出s2+s4=s矩形abcd。s2+s4= s1+ s3正確，則s1+s2=s3+s4錯誤.若s3=2 s1，只能得出apd與pbc高度之比，s4不一定等于2s2

31、；故結(jié)論錯誤。如圖，若s1=s2，則pfad=peab，apd與pba高度之比為：pf：pe =ab：ad 。dae=pea=pfa=90，四邊形aepf是矩形，矩形aepf矩形abcd。連接ac。pf:cd =pe ：bc=ap：ac，即pf:cd =af ：ad=ap：ac。apfacd。paf=cad。點a、p、c共線。p點在矩形的對角線上。故結(jié)論正確。綜上所述，結(jié)論和正確。例4.(2012廣西貴港8分)如圖,在abcd中,延長cd到e，使decd，連接be交ad于點f，交ac于點g.（1）求證：afdf；（2）若bc2ab，de1，abc60，求fg的長.【答案】解：（1)證明：如圖1

32、，連接bd、ae， 四邊形abcd是平行四邊形,abcd，abcd。decd，abde，abde.四邊形abde是平行四邊形.afdf。（2）如圖2，在bc上截取bnab1，連接an， abc60,anb是等邊三角形。an1bn，anbban60。bc2ab2，cn1an。acncan6030.bac90。由勾股定理得:ac.四邊形abcd是平行四邊形，abcd。agbcge.。,解得ag。在bga中,由勾股定理得：bg。，ge，be2。四邊形abde是平行四邊形,bfbe.fg。例5。(2012江蘇常州7分）如圖,在四邊形abcd中，adbc,對角線ac的中點為o，過點o作ac的垂直平分線分

33、別與ad、bc相交于點e、f，連接af。求證：ae=af?！敬鸢浮孔C明：連接ce。adbc，aeo=cfo，eao=fco，. 又ao=co,aeocfo（aas）。ae=cf。四邊形aecf是平行四邊形。又efac，平行四邊形aecf是菱形。ae=af。【考點】菱形的判定和性質(zhì),平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).例6。（2012海南省11分）如圖（1），在矩形abcd中，把b、d分別翻折，使點b、d分別落在對角線bc上的點e、f處，折痕分別為cm、an。(1）求證：andcbm。（2)請連接mf、ne，證明四邊形mfne是平行四邊形，四邊形mfne是菱形嗎？請說明理由？(3）p、q是矩形的

34、邊cd、ab上的兩點，連結(jié)pq、cq、mn，如圖（2）所示，若pq=cq,pqmn.且ab=4，bc=3,求pc的長度.【答案】(1）證明:四邊形abcd是矩形，d=b，ad=bc，adbc. dac=bca。 又由翻折的性質(zhì)，得dan=naf，ecm=bcm，dan=bcm。 andcbm(asa）.（2）證明：andcbm，dn=bm。 又由翻折的性質(zhì)，得dn=fn，bm=em, fn=em。 又nfa=acdcnf=bacema=mec， fnem.四邊形mfne是平行四邊形.四邊形mfne不是菱形，理由如下：由翻折的性質(zhì)，得cem=b=900，在emf中，femefm。fmem。四邊形

35、mfne不是菱形.(3)解:ab=4，bc=3，ac=5。 設(shè)dn=x,則由sadc=sandsnac得3 x5 x=12,解得x=,即dn=bm=。過點n作nhab于h,則hm=43=1.在nhm中,nh=3，hm=1,由勾股定理,得nm=。pqmn，dcab，四邊形nmqp是平行四邊形。np=mq，pq= nm=。又pq=cq，cq=。在cbq中，cq=，cb=3，由勾股定理,得bq=1。np=mq=。pc=4=2。【考點】翻折問題,翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì),平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理。七、構(gòu)造圓的特殊圖形:通過構(gòu)造圓的特殊圖形，應(yīng)用圓周

36、角定理、垂徑定理、切線與過切點的半（直）徑的關(guān)系、兩圓相切公切線的性質(zhì)、兩圓相交公共弦的性質(zhì)等，達到求證(解)的目的。典型例題:例3.(2012山東日照4分）如圖，過a、c 、d三點的圓的圓心為e，過b、f、e三點的圓的圓心為d,如果a=63，那么= 來源【答案】180。【分析】如圖，連接ce，de, 過a、c 、d三點的圓的圓心為e，過b、f、e三點的圓的圓心為d， ae=ce=de=db。a=ace，ecd=cde，deb=dbe=。 a=63，aec=18002630=540. 又ecd=cde=2，aec=ecddbe=3，即3=540.=180。例4.（2012湖北鄂州3分)如下圖o

37、a=ob=oc且acb=30，則aob的大小是【 】 a.40b.50c.60d.70【答案】c。【考點】圓周角定理.【分析】oa=ob=oc,a、b、c在以o為圓心oa為半徑的圓上。 作o。 acb和aob是同弧所對的圓周角和圓心角，且acb=30， 根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半的性質(zhì)，得aob=60。故選c. 例5。(2012天津市3分）如圖，已知正方形abcd的邊長為1，以頂點a、b為圓心，1為半徑的兩弧交于點e，以頂點c、d為圓心，1為半徑的兩弧交于點f，則ef的長為 【答案】?！究键c】正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟B接ae，be，df，cf。以頂點a、

38、b為圓心，1為半徑的兩弧交于點e，ab=1，ab=ae=be，aeb是等邊三角形.邊ab上的高線為：。同理：cd邊上的高線為:。延長ef交ab于n，并反向延長ef交dc于m,則e、f、m，n共線。ae=be，點e在ab的垂直平分線上。同理：點f在dc的垂直平分線上。四邊形abcd是正方形，abdc。mnab，mndc.由正方形的對稱性質(zhì),知em=fn。ef2em=ad=1，efem=，解得ef=。例6。（2012廣西玉林、防城港3分）如圖，矩形oabc內(nèi)接于扇形mon，當cn=co時，nmb的度數(shù)是 ?！敬鸢浮?0?！痉治觥窟B接ob，cn=co,ob=on=2oc.四邊形oabc是矩形,bco

39、=90。boc=60。nmb=boc=30.八、基本輔助線：基本輔助線包括連接兩點的線段、平行線、垂直線、角平分線等，如連接直角三角形直角頂點與斜邊的中點構(gòu)成斜邊上的中線；過三角形一邊的中點作另一邊的平行線構(gòu)成三角形的中位線；過三角形一頂點作對邊的垂直線構(gòu)成直角三角形；連接圓上一點和直徑的兩端點構(gòu)成直角三角形；等等。典型例題：例2。（2012廣東佛山6分）如圖，已知ab=dc，db=ac（1)求證：abd=dca,注:證明過程要求給出每一步結(jié)論成立的依據(jù)(2）在（1）的證明過程中，需要作輔助線，它的意圖是什么？【答案】證明:(1）連接ad，在bad和cda中， ab=cd （已知），db=ac

40、（已知）， ad=ad（公共邊），badcda（sss)。abd=dca（全等三角形對應(yīng)角相等）。(2）作輔助線的意圖是構(gòu)造全等的三角形即兩個三角形的公共邊?！究键c】全等三角形的判定和性質(zhì)。例3。(2012貴州貴陽3分）如圖，在rtabc中，acb=90，ab的垂直平分線de交于bc的延長線于f,若f=30，de=1，則ef的長是【 】a3 b2 c d1【答案】b?！痉治觥窟B接af，df是ab的垂直平分線,af=bf。fdab，afd=bfd=30,b=fab=9030=60.acb=90,bac=30,fac=6030=30。de=1，ae=2de=2.fae=afd=30，ef=ae=2

41、。故選b。例5。（2012四川宜賓3分）如圖,在四邊形abcd中，dcab，cbab，ab=ad，cd=ab，點e、f分別為abad的中點，則aef與多邊形bcdfe的面積之比為【 】a b c d【答案】c.【分析】如圖，連接bd，過點f作fgab交bd于點g，連接eg,cg。 dcab，cbab，ab=ad,cd=ab,點e、f分別為abad的中點， 根據(jù)三角形中位線定理，得ae=be=af=df=dc=fg. 圖中的六個三角形面積相等。 aef與多邊形bcdfe的面積之比為。故選c.例6.（2012天津市3分）若一個正六邊形的周長為24,則該正六邊形的面積為 【答案】?！痉治觥扛鶕?jù)題意畫

42、出圖形,如圖，連接ob，oc，過o作ombc于m， boc=360=60。ob=oc，obc是等邊三角形。obc=60。正六邊形abcdef的周長為24，bc=246=4。ob=bc=4，bm=obsinobc =4.。例7.(2012福建廈門10分）已知abcd，對角線ac與bd相交于點o，點p在邊ad上，過點p分別作peac、pfbd,垂足分別為e、f,pepf（1)如圖，若pe，eo1，求epf的度數(shù);（2）若點p是ad的中點，點f是do的中點，bf bc34，求bc的長【答案】解：（1）連接po ， pepf，popo，peac、pfbd， rtpeortpfo(hl）.epofpo。

43、在rtpeo中， tanepo， epo30。 epf60。(2）點p是ad的中點， apdp。又 pepf， rtpeartpfd（hl）。oadoda. oaod。 ac2oa2odbd。abcd是矩形。 點p是ad的中點，點f是do的中點， aopf。 pfbd, acbd。abcd是菱形。abcd是正方形。 bdbc。 bfbd，bc34bc，解得，bc4。例8.（2012河北省2分）如圖，cd是o的直徑，ab是弦(不是直徑），abcd于點e，則下列結(jié)論正確的是【 】aaebe b cd=aec dadecbe【答案】d?！究键c】垂徑定理，圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，相似三角形的判定和

44、性質(zhì)?！痉治觥縞d是o的直徑，ab是弦（不是直徑),abcd于點e，根據(jù)垂徑定理,得ae=be.故選項a錯誤。如圖，連接ac，則根據(jù)同弧所對的圓周角相等的性質(zhì)，得d=b，bc=ac.根據(jù)垂徑定理，只有在ab是直徑時才有ac=ad,而ab不是直徑,adac。故選項b錯誤。如圖，連接ao，則根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角一半的性質(zhì)，得d=aoc。aec是aoe的外角，aecaoc。daec.故選項c錯誤。根據(jù)同弧所對的圓周角相等的性質(zhì),得d=b，dae=bce，adecbe.故選項d正確。例9.(2012寧夏區(qū)6分）在o中，直徑abcd于點e,連接co并延長交ad于點f，且cfad。求d的度數(shù).【答

45、案】解：連接bd 。abo是直徑，bd ad。又cfad，bdcf。bdc=c。又bdc=boc，c=boc。abcd，c=30.adc60。九、截取和延長變換：在一個平面幾何圖形內(nèi)，延長或截取某一條線段,使條件和問題相對集中 ,達到化隱為現(xiàn)的目的,常常使線段所在的三角形與平面內(nèi)某一三角形成為全等三角形。證明兩條線段的和差,80的情況都要用截長補短法.典型例題：例1。（2012江蘇南京2分）如圖，菱形紙片abcd中,a=600，將紙片折疊，點a、d分別落在a、d處,且ad經(jīng)過b，ef為折痕，當dfcd時，的值為【 】a。 b. c。 d. 【答案】a.【分析】延長dc與ad，交于點m，在菱形紙

46、片abcd中,a=60,dcb=a=60，abcd。d=180-a=120。根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得adf=d=120，fdm=180adf=60。dfcd，dfm=90,m=90-fdm=30。bcm=180bcd=120，cbm=180-bcmm=30。cbm=m。bc=cm。設(shè)cf=x，df=df=y, 則bc=cm=cd=cf+df=x+y。fm=cm+cf=2x+y，在rtdfm中，tanm=tan30=，。故選a。例2。（2012黑龍江牡丹江3分）如圖，菱形abcd中，ab=ac，點e、f分別為邊ab、bc上的點，且ae=bf，連接ce、af交于點h，連接dh交ag于點o則下列結(jié)論ab

47、fcae,ahc=1200,ah+ch=dh，ad 2=oddh中,正確的是【 】a. b。 c。 d. 【答案】d?！痉治觥苛庑蝍bcd中，ab=ac，abc是等邊三角形.b=eac=600. 又ae=bf，abfcae（sas）。結(jié)論正確。 abfcae，baf=ace。ahc=1800（acecaf）=1800(bafcaf）=1800bac=1800600=1200。結(jié)論正確.如圖，在hd上截取hg=ah。菱形abcd中，ab=ac，adc是等邊三角形。acd=adc=cad=600。又ahc=1200，ahcadc =1200600=1800。a,h，c，d四點共圓。ahd=acd

48、=600。ahg是等邊三角形。ah=ag，gah=600.cah=600cag=dag。又ac=ad，cahdag(sas)。ch=dg。ah+ch= hg+ dg =dh。結(jié)論正確。ahd =oad=600,adh=oda，adhoda。ad 2=oddh。結(jié)論正確。綜上所述，正確的是。故選d。例3。(2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，abc為等邊三角形,點e在ba的延長線上，點d在bc邊上，且ed=ec若abc的邊長為4,ae=2,則bd的長為【 】a2 b3 c d【答案】a?！痉治觥垦娱Lbc至f點，使得cf=bd,ed=ec，edb=ecf。ebdefc（sas）。b=f。abc是等邊三角形，b=acb.acb=f。acef.ae=cf=2。bd=ae=cf=2。故選a.例4。（2012山東棗莊8分)已知：如圖,在四邊形abcd中，abc90，cdad,ad2cd22