數(shù)學建模病人候診問題

1、2013年浙江理工大學數(shù)學建模競賽封面題目： A（） B （在相應的題號上打鉤）姓名年級（注1）專業(yè)手機號（注1）：須注明本科生或研究生及年級浙江理工大學 理學院 數(shù)學建模實踐基地二零一三年三月病人候診問題摘要本文針對病人候診問題，通過采用服從泊松分布的病人到達率和服從負指數(shù)分布的看病時間，建立病人候診單服務臺的排隊模型，來分析診所的工作狀態(tài)。 針對問題一，我們假設病人到達率服從泊松分布，病人的看病時間服從負指數(shù)分布，診所容量無限，引入排隊論原理和“生滅過程”狀態(tài)方程表達出病人排隊看病過程，編寫LINGO程序來運算得到該診所內(nèi)排隊候診病人的數(shù)學期望，病人每看一次病平均所花費的時間、醫(yī)生空閑的概

2、率，以及排隊隊長。同時通過模型分析，給出了最優(yōu)服務率（即病人看病時間）的求解方程式。針對問題二，我們在問題一的基礎上將模型進行推廣，在問題一的基礎上限制診所的容量，通過計算得出了診所內(nèi)排隊候診病人的數(shù)學期望，病人每看一次病平均所花費的時間、醫(yī)生空閑的概率，以及排隊隊長的表達式，將數(shù)據(jù)代入得到最后的結論。編寫LINGO程序方便求解。得出最優(yōu)服務率的方程式。關鍵字：泊松分布，負指數(shù)分布，容量，排隊論，生滅過程，LINGO，最優(yōu)服務率。 一、問題的提出某私人診所只有一位醫(yī)生，已知來看病的病人和該醫(yī)生的診病時間都是隨機的，若病人的到達服從泊松分布且每小時有4位病人到來，看病時間服從負指數(shù)分布，平均每個

3、病人需要12分鐘。試分析該診所的工作狀況，即求出該診所內(nèi)排隊候診病人的數(shù)學期望，病人每看一次病平均所花費的時間、醫(yī)生空閑的概率等。二、模型的準備 本題是單服務臺的排隊模型，排隊是日常生活中常見的一種現(xiàn)象，其特點是：在一個排隊服務系統(tǒng)中包含有一個或多個“服務設施”，有許多需要進入服務系統(tǒng)的“被服務者”或“顧客”，當被服務者進入系統(tǒng)后不能立即得到服務，也就出現(xiàn)排隊現(xiàn)象。由于“ 被服務者”到達服務系統(tǒng)的時間不確定，是隨即的，所以排隊論又稱為“隨即服務系統(tǒng)理論”，因此，排隊論在實際中有著廣泛的應用。如：病人候診，顧客到商店購物，輪船入港，機器等待修理。排隊論主要研究的內(nèi)容是性態(tài)問題，最優(yōu)化問題和排隊系

4、統(tǒng)的統(tǒng)計推斷。排隊論中的排隊系統(tǒng)由下列三部分組成：（1）輸入過程，即顧客來到服務臺的概率分布。在輸入過程中要弄清顧客按怎樣的規(guī)律到達。（2）排隊規(guī)則，即顧客排隊和等待的規(guī)則，排隊規(guī)則一般有即時制和等待制兩種。所謂即時制就是當服務臺被占用時顧客便隨即離去；等待制就是當服務臺被占用時顧客便排隊等待服務。等待制服務的次序規(guī)則有先到先服務，隨機服務，有優(yōu)先權的先服務等。（3）服務機構，其主要特征為服務臺的數(shù)目，服務時間的分布。服務機構可以是沒有服務員的，也可以是一個或多個服務員；可以對單獨顧客進行服務，也可以對成批顧客進行服務。和輸入過程一樣，多數(shù)的服務時間都是隨機的，但通常假定服務時間的分布是平穩(wěn)的

5、。 排隊論主要是研究排隊系統(tǒng)運行的效率，估計服務質(zhì)量，確定系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)值，以決定系統(tǒng)結構是否合理、研究設計改進措施。因此，研究排隊問題，首先要確定用以判斷系統(tǒng)運行優(yōu)劣的基本量化指標，然后求出這些指標的概率分布和數(shù)學特征。要研究的系統(tǒng)運行指標主要有：（1）隊長 指在系統(tǒng)中的顧客數(shù)，期望值記作；（2）排隊長（隊列長） 指在系統(tǒng)中等待服務的顧客數(shù)，其期望值記作，即=+，其中為正在接受服務的顧客數(shù)；（3）逗留時間 指一個顧客在系統(tǒng)中的停留時間，其期望值記作；（4）等待時間 指一個顧客在系統(tǒng)中排對等待的時間，其期望值記作，即=+，其中為服務時間；（5）忙期 服務機構連續(xù)工作的時間長度，記作；（6）損失

6、率 由于系統(tǒng)的條件限制，使顧客被拒絕服務而使服務部門受到損失的概率，用表示；（7）服務強度 絕對通過能力A，表示單位時間內(nèi)被服務完顧客的均值，或稱為平均服務率；相對通過能力Q，表示單位時間內(nèi)被服務完的顧客數(shù)與請求服務的顧客數(shù)之比值。 要解決這里的病人候診問題，只要分析排隊論中最簡單的單服務臺排隊問題即可。所謂單服務臺是指服務機構由一個服務員組成，對顧客進行單獨的服務。下面通過對這類問題的分析和討論來解決病人候診問題。三、模型假設（1）顧客源無限，顧客單個到來且相互獨立，顧客流平穩(wěn)，不考慮出現(xiàn)高峰期和空閑期的可能性。（2）排隊方式為單一隊列的等待制，先到先服務。隊長沒有限制。（3）顧客流滿足參數(shù)

7、為的泊松分布，其中是單位時間到達顧客的平均數(shù)。（4）各顧客的服務時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布，其中表示單位時間內(nèi)能服務完的顧客的平均數(shù)。（5）顧客到達的時間間隔和服務時間是相互獨立的。四、模型的分析與建模確定系統(tǒng)在任意時刻t的狀態(tài)為n的概率(t)。由假設知，當充分小時，在 t,t+時間間隔內(nèi)：有一個顧客到達的概率為：+；沒有一個顧客到達的概率為：1+；有一個顧客被服務完的概率為：+；沒有一個顧客被服務完的概率為: 1+;多于一個顧客到達或被服務完離開的概率為：；現(xiàn)在考慮在+時刻系統(tǒng)中有n個顧客的概率(+)，可能有四種情況A：時刻t顧客數(shù)為n (+)=(t)(1)(1)B：時刻t顧客數(shù)為n+1 (

8、+)=(t)(1)C：時刻t顧客數(shù)為n1 (+)=(t)()(1)D：時刻t顧客數(shù)為n (+)=(t)()()這是一個生滅過程，四種情況相互獨立，則有(+)=()(1)+()+()+()，令0，則得=()+()(+)()， n=1,2,. 當=0時，類似有=+.于是，一般的，有 n=1,2.五、模型求解此方程為差分微分方程，假設，極限存在，于是有=0，=則狀態(tài)平衡方程為 令=，它表示平均每單位時間內(nèi)系統(tǒng)可以為顧客服務的時間比例，它是刻畫服務效率和服務機構利用程度的重要標志，稱為服務強度。我們的問題求解將在1的條件下進行，否則系統(tǒng)內(nèi)排隊的長度將無窮增大，永遠不能達到穩(wěn)定狀態(tài)。由差分方程（1），得

9、= , n = 0,1,2,又由概率的性質(zhì)=1和1，得從而， 下面我們就可以計算出系統(tǒng)的一些重要運行指標。（1）隊長 =(1)=；（2）隊列長 =；（3）逗留時間 逗留時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布，分布函數(shù)和分布密度分別為=1 和 =()所以=；（4） 等待時間 等待時間=逗留時間被服務時間，即 =由題意可得=，從而，該診所內(nèi)平均有病人人數(shù)為：=（人）該診所內(nèi)排隊候診病人的平均數(shù)為：=（人）看一次病平均所需的時間：= （小時）排隊等候看病的平均時間：= （小時）診所的醫(yī)生空閑的概率，即診所中沒有病人的概率為：結論：由結果可知病人平均等待的概率為0.8，病人平均等待時間0.8h，系統(tǒng)排隊長3.2人

10、，病人平均逗留時間為1h，系統(tǒng)隊長4人。六、模型推廣在剛剛的建模中，我們考慮的是顧客源為無限的情形。在實際情況下，我們常考慮系統(tǒng)容量有限的模型（記之為模型）。這類模型，可以在模型假設中將原模型假設中的假設1中“認為顧客源無限”改為“認為排隊系統(tǒng)的容量為N，即排隊等待的顧客最多為N1，在某時刻一顧客到達時，如系統(tǒng)中已有N個顧客，那么這個顧客就被拒絕進入系統(tǒng)”，其他假設一樣。 當n=N時，由同樣的方法得： 在穩(wěn)態(tài)情況下，令，得 在條件下，解得 這里，不用假設1（因為我們限制了系統(tǒng)的容量）。得到的各種指標為：（1） ， （2） （3）（4） 應該指出，是指有效到達率，它與平均到達率不同。這兒對,的導

11、出過程中用而不采用主要是由于當系統(tǒng)已滿時，顧客的實際到達率為0。又正在被服務的顧客的平均數(shù)為 ，又概率 , 從而。把病人候診問題修改為：某私人診所只有一位醫(yī)生，診所內(nèi)有8個椅子，當8個椅子都坐滿時，后來的病人不進診所就離開了，病人平均到達率為5人/小時，醫(yī)生每小時可診6個病人，試分析該服務系統(tǒng)，給出求解該問題的數(shù)學模型和一般的計算公式，并計算求出該診所內(nèi)排隊候診病人的期望，病人每看一次病平均所花費的時間、醫(yī)生空閑的概率等。診所的醫(yī)生空閑的概率，即診所中沒有病人的概率為：= 從而，該診所內(nèi)平均有病人人數(shù)為 =（人）該診所內(nèi)排隊候診病人的平均數(shù)為：= （人）系統(tǒng)的有效到達率：=看一次病平均所需的時

12、間：= （小時）排隊等候看病的平均時間：= （小時）結論：由結果可知排隊等待時間0.472h，排隊長2.27.看病完成需要0.639h，醫(yī)生空閑概率0.1988。七、最優(yōu)化問題針對問題一模型，設目標函數(shù)，即單位時間服務成本與顧客等待費用之和的期望值，其中表示（單位時間內(nèi)服務完一個顧客）時服務機構的服務費用，為每個顧客在系統(tǒng)中停留單位時間的費用，由=，則，求其最小值，令，解得最優(yōu)解，即為最優(yōu)服務率。針對問題二模型，設系統(tǒng)服務完一個顧客收入G元，于是單位時間收入的期望值為則系統(tǒng)的純利潤為令，得其中用數(shù)值方法求解出的數(shù)值解。八、參考文獻【1】韓中庚 實用運籌學 模型、方法與計算 清華大學出版社 20

13、07 195-223【2】徐全智 楊晉浩 數(shù)學建模 .高等教育出版社 .2003 95-107 九、附錄附錄一：診所容量無限制的模型下，求出該診所內(nèi)排隊候診病人的數(shù)學期望，病人每看一次病平均所花費的時間、醫(yī)生空閑的概率的LINGO程序：Model:S=1;R=4;T=1/5;load=R*T;Pwait=peb(load,S);W_Q=Pwait*T/(S-load);L_Q=R*W_Q;W_S=W_Q+T;L_S=W_S*R;End運行結果： Variable Value S 1. R 4. T 0. LOAD 0. PWAIT 0. W_Q 0. L_Q 3. W_S 1. L_S 4.病

14、人平均等待的概率為0.8，病人平均等待時間0.8h，系統(tǒng)排隊長3.2人，病人平均逗留時間為1h，系統(tǒng)隊長4人。附錄二：診所容量有限制的模型下，求出該診所內(nèi)排隊候診病人的數(shù)學期望，病人每看一次病平均所花費的時間、醫(yī)生空閑的概率的LINGO程序：MODEL: sets: num_i/1.9/:P; endsets c=1;N=9;L=5;T=1/6; P0*L=(1/T)*p(1); (L+1/T)*p(1)=L*p0+c/T*p(2); for(num_i(i)|i#gt#1#and#i#lt#N:(L+c/T)*p(i)=L*p(i-1)+c/T*p(i+1); L*p(N-1)=c/T*P(N); P0+sum(num_i(i)|i#le#N:P(i)=1; Plost=p(N); Q=1-p(N); L_E=Q*L; L_S=sum(num_i(i)|i#le#N:i*P(i); L_Q=L_S-L_E*T; W_S=L_S/L_E; W_Q=W_S-T; end 運行結果為 Var