用雙線性變換法設(shè)計(jì)原型低通為切比雪夫I型的數(shù)字IIR高通濾波器畢業(yè)設(shè)計(jì)

1、學(xué)生姓名專業(yè)班級(jí)學(xué)院名稱用雙線性變換法設(shè)計(jì)原型低通為切比雪夫I型的數(shù)字IIR高通濾波器課題性質(zhì)課題來(lái)源指導(dǎo)教師同組姓名用雙線性變換法設(shè)計(jì)原型低通為切比雪夫I型的數(shù)字IIR高通濾波器，要求通帶邊界頻率為 500Hz，阻帶邊界頻率分別為 400Hz，通帶最大衰減 1dB，阻帶最小衰減40dB，抽樣頻率為2000Hz，用MATLAB畫出幅頻特性，畫出并主要內(nèi)容分析濾波器傳輸函數(shù)的零極點(diǎn);信號(hào) x(t) =%住)+ X2(t) =sin(2tf1t) +sin(2if2t)經(jīng)過(guò)該濾波器，其中t = 300Hz, f2 =600Hz,濾波器的輸出y(t)是什么？用 Matlab驗(yàn)證你的結(jié)論并給出 X1

2、(t), X2(t), x(t), y(t)的圖形。任務(wù)要求1、掌握用雙線性變換法設(shè)計(jì)原型低通為切比雪夫I型的數(shù)字IIR高通濾波器的原理和設(shè)計(jì)方法。2、求出所設(shè)計(jì)濾波器的 Z變換。3、用 MATLAB畫出幅頻特性圖。4、驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的濾波器。1、程佩青著，數(shù)字信號(hào)處理教程，清華大學(xué)出版社，2001參考文獻(xiàn)2、Sanjit K. Mitra 著,孫洪，余翔宇譯，數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書 (MATLAB版)，電子工業(yè)出版社，2005年1月3、郭仕劍等，MATLAB 7.x數(shù)字信號(hào)處理，人民郵電出版社，2006年 4、胡廣書，數(shù)字信號(hào)處理 理論算法與實(shí)現(xiàn)，清華大學(xué)出版社，2003年1需求分析:用雙線性變

3、換法設(shè)計(jì)原型低通為切比雪夫I型的數(shù)字IIR高通濾波器，要求通帶邊界頻率為500Hz,阻帶邊界頻率分別為400Hz,通帶最大衰減1dB, 阻帶最小衰減40dB,抽樣頻率為2000Hz，用MATLAB畫出幅頻特性，畫出并分 析濾波器傳輸函數(shù)的零極點(diǎn);信號(hào)x（t） =xi（t） +X2（t） =s i 2;ifit） +s i 2臥吐）經(jīng)過(guò)該濾波器，其中fi =300Hz, f2 = 600Hz,濾波器的輸出y（t）是什么？用 Matlab驗(yàn)證你的結(jié)論并給出 X1（t）,X2（t）,x（t）,y（t）的圖形。2概要設(shè)計(jì):數(shù)字濾波器介紹數(shù)字濾波器是具有一定傳輸選擇特性的數(shù)字信號(hào)處理裝置，其輸入、輸出均

4、為數(shù)字信號(hào)，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)由有限精度算法實(shí)現(xiàn)的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)。它的基本工作原理是利用離散系統(tǒng)特性對(duì)系統(tǒng)輸入信號(hào)進(jìn)行加工和變換，改變輸入序列的頻譜或信號(hào)波形，讓有用頻率的信號(hào)分量通過(guò)，抑制無(wú)用的信號(hào)分量輸出。數(shù)字 濾波器和模擬濾波器有著相同的濾波概念，根據(jù)其頻率響應(yīng)特性可分為低通、高 通、帶通、帶阻等類型，與模擬濾波器相比，數(shù)字濾波器除了具有數(shù)字信號(hào)處理的 固有優(yōu)點(diǎn)外，還有濾波精度高（與系統(tǒng)字長(zhǎng)有關(guān)）、穩(wěn)定性好（僅運(yùn)行在0與l兩個(gè) 電平狀態(tài)）、靈活性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。時(shí)域離散系統(tǒng)的頻域特性：F用）日（嚴(yán)）,其中皆釣、恥用）分別 是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）字濾波器的單位

5、取樣響應(yīng)的頻譜，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)。輸入序列的頻譜Xh)經(jīng)過(guò)濾波后用),因此，只要按照輸入信號(hào)頻譜的特點(diǎn)和處理信號(hào)的目的，適當(dāng)選擇H(嚴(yán),使得濾波后的龍(嚴(yán)滿足設(shè)計(jì)的要求,這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。IIR數(shù)字濾波器的特征是，具有無(wú)限持續(xù)時(shí)間沖激響應(yīng)，需要用遞歸模型，“)=：吟5 I)+ 2砧5 X)來(lái)實(shí)現(xiàn)，其差分方程為：iZ(1-1)系統(tǒng)函數(shù)為:/(Z)=(1-2)設(shè)計(jì)IIR濾波器的任務(wù)就是尋求一個(gè)物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，使其頻率響應(yīng)H(z)滿足所希望

6、得到的頻域指標(biāo)，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)原理IIR數(shù)字濾波器是一種離散時(shí)間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為(1-3)假設(shè)MC N,當(dāng)辰N時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個(gè)IIR的子系統(tǒng)和一個(gè)(M-N)的FIR子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)際上是求解濾波器的系數(shù) 和知，它是數(shù)學(xué)上的一種逼近問(wèn)題，即在規(guī)定意義上(通常采用最小均方誤差準(zhǔn)則)去逼近系統(tǒng)的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在 z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。設(shè)計(jì)高通、帶通、帶阻等數(shù)字濾波器通?？梢詺w納為如圖所示的兩種常用方法。方法方法12雙線性變換交換圖1-1數(shù)字濾波器設(shè)

7、計(jì)的兩種方法方法1：首先設(shè)計(jì)一個(gè)模擬原型低通濾波器，然后通過(guò)頻率變換成所需要的 模擬高通、帶通或帶阻濾波器，最后再使用沖激不變法或雙線性變換成相應(yīng)的數(shù) 字高通、帶通或帶阻濾波器。方法2 :先設(shè)計(jì)一個(gè)模擬原型低通濾波器，然后采用沖激響應(yīng)不變法或雙線 性變換法將它轉(zhuǎn)換成數(shù)字原型低通濾波器，最后通過(guò)頻率變換把數(shù)字原型低通濾 波器變換成所需要的數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器。方法一的缺點(diǎn)是，由于產(chǎn)生混疊是真，因此不能用沖激不變法來(lái)變換成高通 或阻帶濾波器，故一般采用第二種方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。本課程設(shè)計(jì)先構(gòu)造一個(gè)切比雪夫模擬低通濾波器，然后將模擬低通濾波器轉(zhuǎn) 換成模擬帶通濾波器，最后利用雙線性變換將模擬帶通濾波器

8、轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾 波器。切比雪夫?yàn)V波器目的：構(gòu)造一個(gè)模擬低通濾波器。為了從模擬濾波器出發(fā)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器，必須先設(shè)計(jì)一個(gè)滿足技術(shù)指標(biāo) 的模擬濾波器，亦即要把數(shù)字濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的指標(biāo)，因此必須 先設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的模擬原型濾波器。模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法己發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有一些典型的模擬濾波 器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、 橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些典型的濾波器各有特點(diǎn)。這里介紹切比雪夫?yàn)V波器。切比雪夫?yàn)V波器特點(diǎn)：誤差值在規(guī)定的頻段上等波紋變化。巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)

9、下降的，如果階次一定，則在靠近截止Qf處，幅度下降很多，或者說(shuō)，為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次N很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪夫多項(xiàng)式來(lái)逼近所希望的田(血)。切比 雪夫?yàn)V波器的 H (為 在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以在同樣的通常內(nèi)衰減要 求下，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小。切比雪夫?yàn)V波器的振幅平方函數(shù)為(1-4)式中Q c為有效通帶截止頻率，S表示與通帶波紋有關(guān)的參量，值越大通帶不動(dòng)x|l(1-5)愈大。Vn(x)是N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為cos(Narccg x) cosh(cosh x)切比雪夫?yàn)V波器的振幅平方特性如圖所示:N為偶數(shù)，cos2（ M上）=1，得到min,(1-6

10、)2此儷）N 為奇數(shù)，cos2( M ) = 0，得到 max22 n-0（b）l（為偶數(shù)圖1-2 切比雪夫?yàn)V波器的振幅平方特性有關(guān)參數(shù)的確定：a、通帶截止頻率：Qf預(yù)先給定;b、與通帶波紋有關(guān)的參數(shù)，通帶波紋表示成5 = 101g也（/Q）f = 201g竺二 201g皿 /h7( 1-8)所以， 101g(l+P),，二 1嚴(yán)-1給定通帶波紋值s(dB分貝數(shù)后，可求得?0C、階數(shù)N：由阻帶的邊界條件確定。Q打、A為事先給定的邊界條件，即在阻帶中的頻率點(diǎn)處 Qj,要求濾波器頻響衰減到1/A2以上。(1-9)a ；1 %丿7(1-10)(1-11)cosh(Mjr cosh 兀)|時(shí)&(尤)(

11、1-12)得曲、ar cosh( J/ -1 / Qar cosh(Qj IQJ因此，要求阻帶邊界頻率處衰減越大，要求 N也越大,定后，查閱有關(guān)模擬濾波器手冊(cè)，就可求得系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。雙線性變換法目的：將模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通濾波器S平面到為了克服沖激響應(yīng)法可能產(chǎn)生的頻率響應(yīng)的混疊失真，這是因?yàn)閺腪平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到-nTnT之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說(shuō)，第一步先將整個(gè)S平面壓縮映射到S1平面的-nTnT 條 橫帶里；第二步再通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系 z=es1T將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上

12、去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖1-3為了將S平面的整個(gè)虛軸j Q壓縮到S1平面j Q1軸上的-nT到nT段上，可以通過(guò)以下的正切變換實(shí)現(xiàn)(1-13)式中,T仍是采樣間隔。當(dāng)Q1由-nT經(jīng)過(guò)0變化到nT時(shí)，Q由-X經(jīng)過(guò)0變化到+X,也即映射了整個(gè)j Q軸。將式（1-9）寫成(1-14)2 沖2-jT/2將此關(guān)系解析延拓到整個(gè)S平面和S1平面，令j Q=s, j Q1=s1,則得T es1T/2+eTT/22T2 丿T1eTT1+eTT(1-15)再將S1平面通過(guò)以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到 Z平面 z=e1T從而得到S平面和Z

13、平面的單值映射關(guān)系為:(1-16)(1-17),.T 2 . 1+s +s_ = _,T 21 - s -s2 T式（1-10）與式（1-11 ）是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換式（1-9）與式（1-10）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。首先，把z=eje,可得21-e.2S =:T1+e%(1-18)即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=（+j Q代入式（1-12 ），得因此+ jQz=-CT - jQT izJEt：膽cr】+02 RT丿(1-19)由此看出，當(dāng)（0時(shí)，|Z|V1 ;當(dāng)（0時(shí)，|z|1。也就是說(shuō)，S平面

14、的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到 Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。雙線性變換法優(yōu)缺點(diǎn)：雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)镾平面與Z平面是單值的一 一對(duì)應(yīng)關(guān)系。S平面整個(gè)j Q軸單值地對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個(gè)關(guān)系如式（1-12 ）所示，重寫如下：20 = tanT(1-20)上式表明，S平面上Q與Z平面的G成非線性的正切關(guān)系，如圖1-4所示。由圖1-4看出，在零頻率附近，模擬角頻率Q與數(shù)字頻率3之間的變換關(guān)系

15、接近于線性關(guān)系；但當(dāng)Q進(jìn)一步增加時(shí)，顯曾長(zhǎng)得越來(lái)越慢，最后當(dāng)Qfx時(shí)，跌 止在折疊頻率 併n處，因而雙線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過(guò)折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖1-4雙線性變換法的頻率變換關(guān)系但是雙線性變換的這個(gè)特點(diǎn)是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，如式(1-12 )及圖1-4所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問(wèn) 題。首先，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾 波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅 頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)(這正如圖1-5所示。

16、是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性)，不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對(duì)于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會(huì)有畸變,圖1-5雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對(duì)于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波 器，但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過(guò)頻 率的預(yù)畸來(lái)加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好 映射到所需要的數(shù)字頻率上。數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)步驟根據(jù)以上IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法，下面運(yùn)用雙線性變換法基于MATLABa計(jì)一個(gè)IIR帶通濾波器，其中帶通的中心頻率為wp 0=0.55 n,;通帶截止頻率wp 1

17、=0.45 n wp2=0.65 n通帶最大衰減Ap=1dB;阻帶最小衰減 As=40dB;阻帶截止頻率 ws2=0.75 n(1) 確定性能指標(biāo)在設(shè)計(jì)帶通濾波器之前，首先根據(jù)工程實(shí)際的需要確定濾波器的技術(shù)指標(biāo) 通帶截止頻率 wp 1=0.45 nwp2=0.65 n阻帶截止頻率 ws1=0.3 n, ws2=0.75 n ;阻帶 最小衰減 As=40dB和通帶最大衰減 Ap =1dB;中心頻率wp0=0.55 n。(2) 頻率預(yù)畸變用Q=2/T*tan(w/2)對(duì)帶通數(shù)字濾波器H(z)的數(shù)字邊界頻率預(yù)畸變，得到帶通 模擬濾波器H(s)的邊界頻率主要是通帶截止頻率 Wp1,Wp2阻帶截止頻率

18、Ws1Ws2的轉(zhuǎn)換。雙線性變換法一般T=2s。通帶截止頻率 Wp1=(2/T)*tan(wp1/2)Wp2=(2/T)*ta n(wp2/2)阻帶截止頻率 Ws1=(2/T)*tan(ws1/2)Ws2=(2/T)*ta n(ws2/2)(3) 模擬帶通性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通性能指標(biāo)BW=Wp2-Wp1; %帶通濾波器的通帶寬度W0=Wp1*Wp2WP=1 %歸一化處理WS=WP*(W02-Ws12)/(Ws1*BVV)(4) 模擬低通濾波器的構(gòu)造借助切比雪夫(Chebyshev)濾波器得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)。(5) 模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成模擬高通濾波器調(diào)用Ip2bp函數(shù)將模擬低

19、通濾波器轉(zhuǎn)化為模擬帶通濾波器。(6) 模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器利用雙線性變換法將模擬帶通濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)。(7) 輸入信號(hào)檢驗(yàn)濾波器性能輸入不同頻率的正弦波，觀察輸出波形,檢驗(yàn)濾波器性能。程序流程圖開始讀入數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)將指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化模擬低通濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)歸一化的模擬低通濾波器階數(shù) N和3db截止頻率模擬域頻率變換，將G(P)變換成模擬帶通濾波器H(s)用雙線性變換法將H(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)輸入信號(hào)后顯示相關(guān)結(jié)果結(jié)束圖3-1程序流程圖3運(yùn)行環(huán)境Window xp4開發(fā)工具和編程語(yǔ)言Matlab 6.55詳細(xì)設(shè)計(jì)MATLA程序cic;

20、clear all;Fp=500;%通帶截止頻率Fs=400;%組帶截止頻率Ap=1;%通帶最大衰減As=40;%阻帶最小衰減Ft=2000;%抽樣頻率Wp=2* pi*F p/Ft;Ws=2* pi *Fs/Ft;wp=ta n( Wp/2);ws=ta n( Ws/2);ws1=1 % 歸一化wp 1=w p/ws% 古計(jì)濾波器的階數(shù)N,Wn=cheb1ord(ws1,w p1,A p,As,s);%設(shè)計(jì)濾波器B,A=cheby1(N,1,Wn,s);BT,AT=I p2h p(B,A,w p);nu m,de n=bili near(BT,AT,0.5)z, p,k=tf2z p(nu

21、m,de n)%顯示傳輸函數(shù)disp(分子系數(shù):);disp(num);disp(分母系數(shù):);disp(den);%計(jì)算增益響應(yīng)w = 0:p i/255: pi;h = freqz( nu m,de n,w);g = 20*log10(abs(h);%繪制增益響應(yīng)figure;plot(w/pi,g);grid;%繪制切比雪夫高通濾波器幅頻特性axis(0 1-100 1);xlabel(omega八 pi);ylabelC 增益 /dB);titleC切比雪夫高通濾波器);figure;zp la ne(z ,p); %繪制傳輸函數(shù)零極點(diǎn)titleC傳輸函數(shù)的零極點(diǎn));f1=300;f2

22、=6000;t=0:0.0001:1x1=si n(2* pi *f1*t);x2=si n(2*p i*f2*t);x=x1+x2;figure;subplot(2,2,1)% 繪制 x1 的波形plot(x1);grid on;axis(0,50* pi,-3,3);xlabel(t);ylabel(x1(t);title(x1 的波形);subplot(2,2,2)% 繪制 x1 的波形pl ot(x2);gnd on;axis(0,50* pi,-3,3);xlabel(t);ylabel(x2(t);title(x2 的波形);subplot(2,2,3)%繪制輸入x的波形plot(x);grid on;axis(0,50* pi,-3,3);xlabel(t);ylabel(x(t);title( 輸入信號(hào)x的波形)%X=fft(x);y=filter( num,de n, x);%數(shù)字濾波器輸出subplot(2,2,4);%繪制輸出y的波形plot(real(y);