排列組合知識總結+經典題型(四)

1、(1)知識梳理1分類計數(shù)原理（加法原理）：完成一件事，有幾類辦法，在第一類中有m1 種有不同的方法，在第2 類中有 m2 種不同的方法 在第 n 類型有 m3 種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。2分步計數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 個步驟，做第 1 步有 m1 種不同的方法，做第2 步有 m2 種不同的方法 ，做第 n 步有 mn 種不同的方法；那么完成這件事共有種不同的方法。特別提醒： 分類計數(shù)原理與 “分類 ”有關，要注意 “類”與“類”之間所具有的獨立性和并列性； 分步計數(shù)原理與 “分步 ”有關，要注意“步 ”與“步”之間具有的相依性和連續(xù)性， 應用這兩個原理進

2、行正確地分類、分步，做到不重復、不遺漏。3排列：從 n 個不同的元素中任取 m(m n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列 .4排列數(shù)：從 n 個不同元素中取出 m(m n)個元素排成一列，稱為從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列 . 從 n 個不同元素中取出m 個元素的一個排列數(shù)，用符號表示 .5排列數(shù)公式：特別提醒：（1）規(guī)定 0! = 1（2）含有可重元素的排列問題.對含有相同元素求排列個數(shù)的方法是：設重集S 有 k素 a1， a2, .an 其中限重復數(shù)為n1、 n2 nk ，且個不同元n =n1+n2+ nk , 例如：已知數(shù)字

3、則 S 的排列個數(shù)等于3、2、2，求其排列個數(shù).又例如： 數(shù)字5、5、 5、求其排列個數(shù)？其排列個數(shù).6組合：從n 個不同的元素中任取m(m n)個元素并成一組，叫做從 n 個不同元素中取出m 個元素的一個組合.7組合數(shù)公式：8兩個公式：特別提醒：排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n 個不同元素中取出m 個元素 .區(qū)別：前者是 “排成一排 ”，后者是 “并成一組 ”，前者有順序關系，后者無順序關系 .(2)典型例題考點一 : 排列問題例 1.六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？（ 1）甲不站兩端；（ 2）甲、乙必須相鄰；（ 3）甲、乙不相鄰；（ 4）甲、乙之間間隔兩人；（ 5）甲

4、、乙站在兩端；（ 6）甲不站左端，乙不站右端 .考點二 : 組合問題例 2. 男運動員 6 名，女運動員4 名，其中男女隊長各5 人外出比賽 .在下列情形中各有多少種選派方法？1 人 .選派（ 1）男運動員 3 名，女運動員 2 名；（ 2）至少有 1 名女運動員；（ 3）隊長中至少有 1 人參加；（ 4）既要有隊長，又要有女運動員 .考點三 : 綜合問題例 3.4 個不同的球， 4 個不同的盒子，把球全部放入盒內.（ 1）恰有 1 個盒不放球，共有幾種放法？（ 2）恰有 1 個盒內有 2 個球，共有幾種放法？（ 3）恰有 2 個盒不放球，共有幾種放法？當堂測試1.從 5 名男醫(yī)生、4 名女醫(yī)

5、生中選3 名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有（）A.70 種B.80 種C.100 種D.140 種2.亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有（）A.48 種B.12 種C.18 種D.36 種3.從 0，1，2，3，4，5 這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為（）A.48B.12C.180D.1624.甲組有 5 名男同學， 3 名女同學；乙組有 6 名男同學， 2 名女同

6、學。若從甲、乙兩組中各選出 2 名同學， 則選出的 4 人中恰有1 名女同學的不同選法共有（）A.150 種B.180 種C.300 種D.345 種5.甲、乙兩人從4 門課程中各選修2 門，則甲、乙所選的課程中至少有 1 門不相同的選法共有（）A.6B.12C.30D.366.用 0到 9 這 10 個 數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（）A 324B.328C.360D.6487.從 10 名大學畢業(yè)生中選3 人擔任村長助理，則甲、乙至少有1 人入選，而丙沒有入選的不同選法的總數(shù)為（）A.85B.56C.49D.288.將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一

7、名學生， 且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的總數(shù)為（）A.18B.24C.30D.309.3 位男生和 3 位女生共 6 位同學站成一排， 若男生甲不站兩端，3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）A.360B.288C.216D.96參考答案：例 1 解：（ 1）方法一：要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間 4 個位置上任選 1 個，有 種站法，然后其余 5 人在另外 5 個位置上作全排列有 種站法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有站法：方法二：由于甲不站兩端，這兩個位置只能從其余5 個人中選 2個人站，有種站法，然后中間4 人有種站法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有站法：方法

8、三：若對甲沒有限制條件共有種站法，甲在兩端共有種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)，即共有站法：（2）方法一：先把甲、乙作為一個“整體 ”，看作一個人，和其余 4 人進行全排列有 種站法，再把甲、乙進行全排列，有 種站法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有方法二：先把甲、乙以外的 4 個人作全排列，有 種站法，再在 5 個空檔中選出一個供甲、乙放入，有 種方法，最后讓甲、乙全排列，有種方法，共有（3）因為甲、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法 ”，第一步先讓甲、乙以外的4 個人站隊，有種站法；第二步再將甲、乙排在 4 人形成的 5 個空檔（含兩端）中，有種站法，故共有站法為也可用 “間接法 ”，6

9、個人全排列有種站法，由（ 2）知甲、乙相鄰有種站法，所以不相鄰的站法有.（4）方法一：先將甲、乙以外的4 個人作全排列，有種，然后將甲、 乙按條件插入站隊， 有種，故共有站法 .方法二： 先從甲、乙以外的 4 個人中任選 2 人排在甲、 乙之間的兩個位置上，有 種，然后把甲、乙及中間 2 人看作一個 “大”元素與余下 2 人作全排列有 種方法，最后對甲、乙進行排列，有種方法，故共有站法 .（5）方法一：首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有種，再讓其他 4 人在中間位置作全排列，有種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有站法 .方法二：首先考慮兩端兩個特殊位置，甲、乙去站有種站法，然后考慮中間4 個位置，

10、由剩下的4 人去站，有種站法，由分步乘法計數(shù)原理共有站法 .（6）方法一： 甲在左端的站法有種，乙在右端的站法有種，且甲在左端而乙在右端的站法有A種，共有站法.方法二：以元素甲分類可分為兩類：甲站右端有種站法，甲在中間 4 個位置之一，而乙不在右端有種，故共有站法 .例2解（1）第一步：選3 名男運動員，有種選法.第二步：選2 名女運動員，有種選法.共有種選法.（ 2）方法一 至少 1 名女運動員包括以下幾種情況： 1 女 4 男， 2 女 3 男， 3 女 2 男， 4 女 1 男 .由分類加法計數(shù)原理可得總選法數(shù)為.方法二“至少 1 名女運動員 ”的反面為 “全是男運動員 ”可用間接法求解

11、 .從 10 人中任選 5 人有 種選法，其中全是男運動員的選法有種 .所以 “至少有 1 名女運動員 ”的選法為.（ 3）方法一：可分類求解：“只有男隊長 ”的選法為 ；“只有女隊長 ”的選法為 ；“男、女隊長都入選”的選法為；所以共有種選法 .9 分方法二：間接法：從 10 人中任選 5 人有種選法 .其中不選隊長的方法有種.所以 “至少 1 名隊長 ”的選法為種 . 9 分（ 4）當有女隊長時，其他人任意選，共有種選法 .不選女隊長時，必選男隊長，共有 種選法 .其中不含女運動員的選法有種，所以不選女隊長時的選法共有種選法 .所以既有隊長又有女運動員的選法共有種.例 3 解 （ 1）為保

12、證 “恰有 1 個盒不放球 ”，先從 4 個盒子中任意取出去一個， 問題轉化為 “4個球， 3 個盒子， 每個盒子都要放入球，共有幾種放法？ ”即把 4 個球分成 2，1，1 的三組，然后再從 3 個盒子中選 1 個放 2 個球，其余 2 個球放在另 外 2 個盒子內，由分步乘法計數(shù)原理，共有（ 2）“恰有 1 個盒內有 2 個球 ”，即另外 3 個盒子放 2 個球，每個盒子至多放 1 個球，也即另外 3 個盒子中恰有一個空盒， 因此，“恰有 1 個盒內有 2 個球 ”與“恰有 1 個盒不放球 ”是同一件事， 所以共有 144 種放法 .（3）確定 2 個空盒有種方法 .4 個球放進2 個盒子

13、可分成（ 3， 1）、（ 2， 2）兩類，第一類有序不均勻分組有種方法；第二類有序均勻分組有種方法 .故共有種 .當堂檢測答案1.從 5 名男醫(yī)生、4 名女醫(yī)生中選3 名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有（）A.70種B.80種C.100種D.140種解析：分為2 男1 女，和1 男2 女兩大類，共有=70種，解題策略：合理分類與準確分步的策略。2.亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有（）A.48 種B.1

14、2 種C.18 種D.36 種解析：合理分類，通過分析分為（1）小張和小王恰有1 人入選，先從兩人中選1 人，然后把這個人在前兩項工作中安排一個，最后剩余的三人進行全排列有種選法。（2）小張和小趙都入選，首先安排這兩個人，然后再剩余的3 人中選2 人排列有種方法。共有 24+12=36 種選法。解題策略： 1.特殊元素優(yōu)先安排的策略。2.合理分類與準確分步的策略。3.排列、組合混合問題先選后排的策略。3.從 0，1，2，3，4，5 這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為（）A.48B.12C.180D.162解析：分為兩大類： （1）含有 0，分步 1，從另外兩個

15、偶數(shù)中選一個，種方法， 2.從 3 個奇數(shù)中選兩個，有種方法； 3.給 0安排一個位置，只能在個、十、百位上選，有種方法； 4.其他的 3 個數(shù)字進行全排列， 有 種排法，根據(jù)乘法原理共種方法。（ 2）不含 0，分步，偶數(shù)必然是2，4；奇數(shù)有種不同的選法，然后把 4 個元素全排列，共種排法，不含 0的排法有種。根據(jù)加法原理把兩部分加一塊得解題策略： 1.特殊元素優(yōu)先安排的策略。2.合理分類與準確分步的策略。3.排列、組合混合問題先選后排的策略。4.甲組有 5 名男同學， 3 名女同學；乙組有6 名男同學， 2 名女同學。若從甲、乙兩組中各選出2 名同學， 則選出的 4 人中恰有1 名女同學的不

16、同選法共有（）A.150種B.180種C.300種D.345種解析： 4人中恰有1 名女同學的情況分為兩種，即這1 名女同學或來自甲組，或來自乙組，則所有不同的選法共有種選法。解題策略：合理分類與準確分步的策略。5.甲、乙兩人從4 門課程中各選修2 門，則甲、乙所選的課程中至少有1 門不相同的選法共有（）A.6B.12C.30D.36解析：可以先讓甲、乙任意選擇兩門，有種選擇方法，然后再把兩個人全不相同的情況去掉，兩個人全不相同， 可以讓甲選兩門有種選法，然后乙從剩余的兩門選，有種不同的選法，全不相同的選法是種方法，所以至少有一門不相同的選法為種不同的選法。解題策略：正難則反，等價轉化的策略。

17、6.用 0 到 9 這 10 個 數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（）A.324B.328C.360D.648解析： 第一類個位是零，共種不同的排法。第二類個位不是零，共種不同的解法。解題策略：合理分類與準確分步的策略.7.從 10 名大學畢業(yè)生中選3 人擔任村長助理，則甲、乙1 人入選，而丙沒有入選的不同選法的總數(shù)為（）至少有A.85B.56C.49D.28解析：合理分類，甲乙全被選中，有個被選中，有 種不同的選法，共種 選 法，甲乙有一+=49 種不同的選法。解題策略：（ 1）特殊元素優(yōu)先安排的策略，（ 2）合理分類與準確分步的策略 .8.將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的

18、班，每個班至少分到一名學生， 且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的總數(shù)為（）A.18B.24C.30D.30將甲、乙、丙、丁四名學生分成三組，則共有 種不同的分法，然后三組進行全排列共 種不同的方法；然后再把甲、乙分到一個班的情況排除掉，共 種不同的排法。所以總的排法為種注意 :這里有一個分組的問題， 即四個元素分成三組有幾種不同的分法的問題。這里分為有序分組和無序分組，有興趣的同學可以繼續(xù)研究 ，這里不再詳述。解題策略：1.正難則反、等價轉化的策略2.相鄰問題捆綁處理的策略3.排列、組合混合問題先選后排的策略；9.3 位男生和 3 位女生共 6 位同學站成一排， 若男生甲不站兩端，3 位女生中有且只