連續(xù)型隨機(jī)變量

1、 3連續(xù)型隨機(jī)變量除了離散型隨機(jī)變量之外， 還有非離散型的隨機(jī)變量， 這些隨機(jī)變量的取值已不再是有限個或可列個。 在這類非離散型隨機(jī)變量中，有一類常見而重要的類型，即所謂連續(xù)型隨機(jī)變量。粗略地說，連續(xù)型 隨機(jī)變量可以在某特定區(qū)間內(nèi)任何一點取值。例如某種樹的高度；測量的誤差；計算機(jī)的使用壽命等等都是連續(xù)型隨機(jī)變量。 對于連續(xù)型隨機(jī)變量， 不能一一列出它可能取值，因此不能像對離散型隨機(jī)變量那樣用它取各個可能值的概率來描述它的概率分布，而是要考慮該隨機(jī)變量在某個區(qū)間上取值的概率，我們是用概率密度函數(shù)來研究連續(xù)型隨機(jī)變量的。一.概率密度和連續(xù)型隨機(jī)變量定義：對于隨機(jī)變量，如果存在非負(fù)可積函數(shù)， 使得對

2、于任意實數(shù)，都有則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量；稱為的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度. 由定義可知，分布密度具有如下基本性質(zhì)：(1) .；而可知，研究在某區(qū)間上取值的概率時,R軸所圍的圖形面積 密度的條件。(2) .這兩條性質(zhì)的幾何意義是：概率分布密度曲線不在R軸下方，且該曲線為1。性質(zhì)(1)、(2)可以作為判定一個函數(shù)是否可以作為一個連續(xù)型隨對于連續(xù)型隨機(jī)變量可以證明，它在某一點處取值的概率為零 對于任意實數(shù)，有.即研究在某一點處取值的概率是沒有什么實際意義的。該區(qū)間含不含端點，不影響概率值。即(3 ).對于任意實數(shù)，都有【例1】設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，已知的概率密度為 其中為正常數(shù)試確定常數(shù). 解：由

3、概率密度函數(shù)性質(zhì)，知二.幾個常用的一維連續(xù)型隨機(jī)變量：1.均勻分布：如果連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為記作.因此上述定義中的概率密度可以改為飛一0其中為一常數(shù)，利用概率密度的性質(zhì)，易得2.指數(shù)分布：則稱服從指數(shù)分布(參數(shù)為)，記為若服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則對任意，有如燈泡、電子元件的壽命，電話的通話時間等都被認(rèn)為是 服從指數(shù)分布的。3.正態(tài)分布：(1) 定義：如果連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為可以證明:(2) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：當(dāng)參數(shù)=0 而時，即，稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度為，則正態(tài)分布是概率統(tǒng)計中最重要的一種分布。一方面，正態(tài)分布是實踐中最常見的一種分布， 例如測量的誤差，人的身高、

4、體重，農(nóng)作物的收獲量，大批學(xué)生的考試成績等等，都近似服從 正態(tài)分布。一般說來，若某一數(shù)量指標(biāo)受到很多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，而每個因素所起 的作用都很微小，則這個數(shù)量指標(biāo)近似服從正態(tài)分布。另一方面，正態(tài)分布具有許多良好的性 質(zhì)，許多分布在一定條件下可以用正態(tài)分布來近似，因此在概率數(shù)理統(tǒng)計的理論和實際應(yīng)用中,正態(tài)分布都有著十分重要的地位。(3) 性質(zhì)：(a) 在直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖形呈鐘形 ；(b) 在處得最大值(c) 關(guān)于直線對稱；在處有拐點；(d) 如果固定，改變的值，則的圖形沿R軸平行移動，而不改變其形狀，可見形狀完全由決定，而位置完全由來決定當(dāng)時，曲線以R軸為漸近線;當(dāng)大時，曲線平緩，當(dāng)小

5、時，曲線陡峭.(4) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量落在區(qū)間中的概率：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度，記，當(dāng)，其函數(shù)值可查本書的附表1,其中(i) ；(ii) :可直接查本書的附表1,得(iii) ：.；.；.【例2】設(shè)，則即可利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布求得一般正態(tài)(5) 一般正態(tài)分布的隨機(jī)變量落在區(qū)間中的概率： 只要搞清楚一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系, 分布的隨機(jī)變量落在區(qū)間中的概率.具體地，設(shè)，貝U令 則有轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，查本書的附表1,就可得這概率. 特別地，由上面三式可見，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量之值基本上落在 區(qū)間內(nèi)，而幾乎不在區(qū)間外取值.【例3】，求解：二.例題：a.【例4】對以下各題隨機(jī)變量所對應(yīng)的概率分布，試確定常數(shù)