1.2初等變換與高斯消元法._第1頁
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1、第一章線性方程組與矩陣 1. 2初等變換與 高斯消元法 一、階梯形方程組 階梯形方程組：形如 + q.-v, + 5兀 + + 5凡=d 22 + + 6幾 + + “20, = 2 5兒+%= 0心 0 = 0 的比元線性方程組為階梯形方程組. 判斷下列方程組是否是階梯形方程組 心 -V,-乳2 + 3兀3 = 1 2丫2 + .q = 5 3x, = 3 X, + 0兀2 + 1 6兀3 - 9*4 = 1 1 “2 + 6 一 4尤4 = 4 X| + 2*2 一 兀3 + 3忑=2 3%2 +兀3 = 一1 -X, + “3 = -2 二、方程組的初等變換 例2：解方程組 2x,兀 +

2、 3兀3 = I n + 2%, + 5*3 = 4 X, + 2兀=6 結論：對上述方程消元的過程，實際上是施行 如下三種變換. 互換兩個方程位置； 用一個非零的數(shù)乘某一個方程； 把一個方程的倍數(shù)加到另一個方程. 初等變換的定義：上述(3)稱為線性方程組的 初等變換. 注：初等變換總是將線性方程組化為同解方程組. 怎樣運用初等變換求線性方程組的解 +42兀2 +仏兀=勺 儀21兀1 + 口22兀2 + + 2Hn = E * 6內(nèi)+細2乳2+十陽“凡=嘰 步驟：觀察Y的系數(shù) 若4 衛(wèi)21，匕隹為0,則方程組對“無限 制，可以取應值，于是上述方程可看成尤2, 的方程組； 若41,2，jam不全

3、為0, 當4 不為0時，不作任何變換 當絢=0,4工0,則交換第一個方程與 第i個方程 利用變換燈?I使耳的系數(shù)為1; 利用變換R, +1）消去其余方程中的未 知數(shù)m 保持第一個方程不變，對其余的方程重復上述 步驟，直至得到一個階梯形方程組； 從最后一個方程開始依次解出所有的未知量, 得到其解. 例3：解下列線性方程組 X - y + Z = I -y + 3z = 0 2x + 7z = 4 2X| - “2 + 3“ = 1 -4x, - 2x2 十 5x* = 4 2x, -+ 43 = 0 Xj - 22 + 3禺=4 -5X 4兀2 一 兀,=5 4%, - 2 - 4兀3 = 9 1般解J若心必“七可由X小，耳+，兀,表不出 來，樣的一組表達式就祐為線性方程 組的一般解. 自由未知量，可以自由取值的量稱為自由未知量, 如兀廠+1，耳+2 例4：解下列線性方程組 X, -2x2 +4 -兀=3 3x, 72 +6 兀 +兀=5 -X, + 兀 一 10心 + 5些=-7 4x, -1 lx, - 2y +8兀=0 總結：階梯形線性方程組解的情況 將階梯性線性方程組中“0=（尸的方程去掉, 剩余的方程有以下兩種情況： 1、最后一個方程0 = ?。ü?）,此時方程組無解; 2、最后一個方程左邊不為0,那么有解，此時有 解

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