高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（2）課件1 新人教A版必修4

1、1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（二） 1.1.請(qǐng)回答：什么叫做周期函數(shù)？請(qǐng)回答：什么叫做周期函數(shù)？ 2.2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是否是周期函數(shù)？周期是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是否是周期函數(shù)？周期是 多少？最小正周期是多少？多少？最小正周期是多少？ 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(xf(x) )，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T T，使得當(dāng)，使得當(dāng)x x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+Tf(x+T)=)=f(xf(x) )，那，那 么函數(shù)么函數(shù)f(xf(x) )就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T T叫做這個(gè)叫做這個(gè) 函數(shù)的周期函數(shù)的周期. . 正弦

2、函數(shù)、正弦函數(shù)、 余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，余弦函數(shù)都是周期函數(shù)， 都是它們的周期，最小正周期均是都是它們的周期，最小正周期均是 . 2k (kk0)Z且 2 3.3.函數(shù)的周期性對(duì)于研究函數(shù)有什么意義？函數(shù)的周期性對(duì)于研究函數(shù)有什么意義？ 對(duì)于周期函數(shù)，如果我們能把握它在一個(gè)周期對(duì)于周期函數(shù)，如果我們能把握它在一個(gè)周期 內(nèi)的情況，那么整個(gè)周期內(nèi)的情況也就把握了內(nèi)的情況，那么整個(gè)周期內(nèi)的情況也就把握了. .這這 是研究周期函數(shù)的一個(gè)重要方法，即由一個(gè)周期是研究周期函數(shù)的一個(gè)重要方法，即由一個(gè)周期 的情況，擴(kuò)展到整個(gè)函數(shù)的情況的情況，擴(kuò)展到整個(gè)函數(shù)的情況. . 1.1.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性

3、、單調(diào)性掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性. . ( (重點(diǎn)）重點(diǎn)） 2.2.會(huì)利用三角函數(shù)的單調(diào)性判斷一組數(shù)的大小，會(huì)利用三角函數(shù)的單調(diào)性判斷一組數(shù)的大小， 會(huì)求給出的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間會(huì)求給出的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. .( (重點(diǎn)、難點(diǎn)）重點(diǎn)、難點(diǎn)） 探究一、奇偶性探究一、奇偶性 1.1.觀察正弦曲線和余弦曲線的對(duì)稱性，你有什么發(fā)現(xiàn)？觀察正弦曲線和余弦曲線的對(duì)稱性，你有什么發(fā)現(xiàn)？ x y O - -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O O對(duì)稱對(duì)稱 y x O - -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2

4、 7 2 2 3 2 5 余弦曲線關(guān)于余弦曲線關(guān)于y y軸對(duì)稱軸對(duì)稱 提示提示: 2.2.根據(jù)圖象的特點(diǎn)，猜想正余弦函數(shù)分別有什么性根據(jù)圖象的特點(diǎn)，猜想正余弦函數(shù)分別有什么性 質(zhì)？如何從理論上驗(yàn)證？質(zhì)？如何從理論上驗(yàn)證？ sin(-x)=-sin(-x)=-sinx(xsinx(x R) ) y=y=sinx(xsinx(x R) )是奇函數(shù)是奇函數(shù) cos(-xcos(-x)=)=cosx(xcosx(x R) ) y=y=cosx(xcosx(x R) )是偶函數(shù)是偶函數(shù) 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 提示提示: 【即時(shí)訓(xùn)練即時(shí)訓(xùn)練】 探究二、單調(diào)性探究二、單調(diào)性 1.1.當(dāng)當(dāng) 時(shí)

5、，正弦函數(shù)在哪些區(qū)間上是增時(shí)，正弦函數(shù)在哪些區(qū)間上是增 函數(shù)？在哪些區(qū)間上是減函數(shù)？函數(shù)？在哪些區(qū)間上是減函數(shù)？ x y o - -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 y=sinx 3 x, 22 提示提示: 0 2 2 3 2 y=y=sinxsinx ( (x x R) ) 增區(qū)間為增區(qū)間為 ， 其值從其值從-1-1增至增至1 1 2 2 x x sinxsinx-1 0 1 0 -1 減區(qū)間為減區(qū)間為 ， 其值從其值從1 1減至減至-1-1 2 2 3 還有其他單調(diào)區(qū)間嗎還有其他單調(diào)區(qū)間嗎? 5335 , 222 222 2,2, 22 kkkZ

6、x y o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 y=sinx 2.2.由上面的正弦曲線你能得到哪些正弦函數(shù)的增區(qū)間由上面的正弦曲線你能得到哪些正弦函數(shù)的增區(qū)間 和減區(qū)間？怎樣把它們整合在一起？和減區(qū)間？怎樣把它們整合在一起？ 增區(qū)間：增區(qū)間： 減區(qū)間：減區(qū)間： 3357 , 222222 3 2,2, 22 kkkZ 周期性周期性 提示提示: x y o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 y=sinx 3.3.正弦函數(shù)有多少個(gè)增區(qū)間和減區(qū)間？觀察正弦函數(shù)正弦函數(shù)有多少個(gè)增區(qū)間和減區(qū)間？觀察正弦函數(shù) 的各個(gè)

7、增區(qū)間和減區(qū)間，函數(shù)值的變化有什么規(guī)律？的各個(gè)增區(qū)間和減區(qū)間，函數(shù)值的變化有什么規(guī)律？ 正弦函數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)增區(qū)間和減區(qū)間正弦函數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)增區(qū)間和減區(qū)間. . 在每個(gè)增區(qū)間上，函數(shù)值從在每個(gè)增區(qū)間上，函數(shù)值從 增大到增大到 ，11 在每個(gè)減區(qū)間上，函數(shù)值從在每個(gè)減區(qū)間上，函數(shù)值從 減小到減小到 . .11 提示提示: 正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間 上都是上都是增增函數(shù)，其值從函數(shù)，其值從-1-1增大到增大到1 1； 在每一個(gè)閉區(qū)間在每一個(gè)閉區(qū)間 上都是上都是減減函數(shù)，函數(shù)， 其值從其值從1 1減小到減小到-1. -1. 2k ,2k (k) 22 Z 3 2k ,2k (k)

8、22 Z 4.4.余弦函數(shù)可以得到怎樣相似的結(jié)論呢？余弦函數(shù)可以得到怎樣相似的結(jié)論呢？ 2k ,2k,k Z 2k ,2k,kZ 在每個(gè)閉區(qū)間在每個(gè)閉區(qū)間_上都是減函數(shù)，上都是減函數(shù)， y x o- -1 2 3 4 -2 -3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 cosyx 余弦函數(shù)在每個(gè)閉區(qū)間余弦函數(shù)在每個(gè)閉區(qū)間_上都是增函數(shù)，上都是增函數(shù)， 其值從其值從_增大到增大到_； 11 其值從其值從_減小到減小到_._.11 提示提示: 求函數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間的單調(diào)遞減區(qū)間. .y3sin(2x),x0, 4 ， ， 數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為 33 +2k+2k 2x+2k2x+2

9、k 242242 55 +k+k x+kx+k 8888 55 所所以以函函在在 0，0， 上上的的,.,. 8888 解解： 【即時(shí)訓(xùn)練即時(shí)訓(xùn)練】 正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x=_x=_時(shí)取得最大值時(shí)取得最大值 _；當(dāng)且僅當(dāng)；當(dāng)且僅當(dāng)x=_x=_時(shí)取得最小值時(shí)取得最小值_._. 探究三、最大值和最小值探究三、最大值和最小值 x y o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 sinyx 2k ,k 2 Z 1 2k ,k 2 Z 1 提示提示: 余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x=_x=_時(shí)取得最大值時(shí)取得最大值_； 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=_x=_

10、時(shí)取得最小值時(shí)取得最小值_._. 2k ,kZ 1 2k ,kZ 1 y x o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 cosyx 求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量的集合，求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量的集合， 并寫出最大值、最小值各是多少并寫出最大值、最小值各是多少. . y2sinx,xR x x2k ,k 2 Z最大值為最大值為2 2 最小值為最小值為-2-2 答案：答案： x x2k ,k 2 Z 【即時(shí)訓(xùn)練即時(shí)訓(xùn)練】 例例1.1.下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請(qǐng)寫下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請(qǐng)寫 出取最大值、最小值

11、時(shí)的自變量出取最大值、最小值時(shí)的自變量x x的集合，并說(shuō)出的集合，并說(shuō)出 最大值、最小值分別是什么最大值、最小值分別是什么. . (1)ycosx1,xR.(2)y3sin2x,x R. 解：解：這兩個(gè)函數(shù)都有最大值、最小值這兩個(gè)函數(shù)都有最大值、最小值. (1)(1)使函數(shù)使函數(shù) 取得最大值的取得最大值的 的集合為的集合為ycosx1,xRx x x2k ,k,Z 使函數(shù)使函數(shù) 取得最小值的取得最小值的 的集合為的集合為ycosx1,xRx x x2k ,k, Z 最大值為最大值為1 12. 最小值為最小值為1 10. 使函數(shù)使函數(shù) 取得最大值的取得最大值的 的集合是的集合是 （2 2）令）令

12、 ，2zx z z2k ,k, 2 Z 由由 ，得，得2xz2k 2 xk . 4 y3sinz,z R z 因此使函數(shù)因此使函數(shù) 取得最大值的取得最大值的 的集合為的集合為xy3sin2x,x R x xk ,k. 4 Z 最大值為最大值為3.3. 同理使函數(shù)同理使函數(shù) 取得最小值的取得最小值的 的集合為的集合為xy3sin2x,x R x xk ,k. 4 Z最小值為最小值為-3.-3. 求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量的集合，求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量的集合， 并寫出最大值、最小值各是多少并寫出最大值、最小值各是多少. . x y2cos,x 3 R 答案：答案： x

13、x36k ,k Z最大值為最大值為3 3 x x6k ,kZ最小值為最小值為1 1 【變式練習(xí)變式練習(xí)】 例例2.2.利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的 大?。捍笮。?(1) sin( ) 與與 sin( ). 18 10 (2) cos( ) 與與cos( ). 23 5 17 4 解：解：（1 1）因?yàn)椋┮驗(yàn)? 21018 ， 又又y=y=sinxsinx 在在 上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,0 2 所以所以sin( ) sin( ).sin( ) sin( ). 18 10 想一想：想一想：用正弦函數(shù)用正弦函數(shù) 的哪個(gè)單調(diào)區(qū)間進(jìn)行的哪個(gè)單調(diào)區(qū)間進(jìn)行

14、比較？比較？ (2)(2)coscos( )=( )=coscos = = coscos , , 23 5 23 5 3 5 coscos( )=( )=coscos = =coscos . . 17 4 17 4 4 因?yàn)橐驗(yàn)?3 0, 45 所以所以coscos coscos , , 4 3 5 又又 y=y=cosxcosx 在在 上是減函數(shù)上是減函數(shù), ,0, 即即coscos( ) ( ) coscos( ).( ). 23 5 17 4 比較下列各組中兩個(gè)三角函數(shù)值的大?。罕容^下列各組中兩個(gè)三角函數(shù)值的大?。?(1)sin250 _sin260 1514 (2)cos_cos 89

15、 【變式練習(xí)變式練習(xí)】 例例3.3.求函數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間. . 1 ysin(x),x2 ,2 23 解：解：令令 1 , 23 zx 函數(shù)函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是sinyz 2k ,2k. 22 由由 1 2kx2k , 2232 得得 5 4kx4k ,k. 33 Z 設(shè)設(shè)2 ,2, A 5 Bx|4kx4k ,k, 33 Z 可得可得 5 AB,. 33 所以原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為所以原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 5 ,. 33 【變式練習(xí)變式練習(xí)】 C B A 4 4、比較下列各組中兩個(gè)三角函數(shù)值的大?。?、比較下列各組中兩個(gè)三角函數(shù)值的大?。?(1)cos515 _cos530 5463 (2)sin()_sin() 78 5 5、觀察正弦曲線和余弦曲線，寫出滿足下列條件、觀察正弦曲線和余弦曲線，寫出滿足下列條件 的區(qū)間的區(qū)間: : (1)sin0 x (2)sin0 x (3)cos0 x (4)cos0 x 2k ,2k,k Z2k ,22k,kZ (2k ,2k ),k 22 Z 3 (2k ,2k )