高中數(shù)學(xué)題型全面歸納數(shù)列的綜合25()改

1、第三節(jié)數(shù)列的綜合數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，解數(shù)列題時(shí)要注意運(yùn)用函數(shù)與方程、分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等，將復(fù)雜的數(shù)列問(wèn)題化繁為簡(jiǎn).常見(jiàn)的數(shù)列綜合題主要有數(shù)列與函數(shù)的綜合及數(shù)列與不等式的綜合兩類形式.題型歸納及思路提示題型 87數(shù)列與不等式的綜合思路提示數(shù)列與不等式的綜合是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，內(nèi)容主要包括兩個(gè)方面：其一，不等式恒成立條件下，求參數(shù)的取值范圍；其二，不等式的證明，常見(jiàn)方法有比較法、構(gòu)造輔助函數(shù)法、放縮法和數(shù)學(xué)歸納法等.一、不等式恒成立條件下，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題.aF (n) 恒成立aF (n)max ；aF (n) 恒成立aF (n)min .例 6.38

2、設(shè)數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為1n 1n10 .Sn ， a10, a9S（ 1）求證： lg an 是等差數(shù)列；（ 2）設(shè) Tn 是數(shù)列 3 的前 n 項(xiàng)和，求使 Tn1(m25m) 對(duì)所有的 nN * 都成立的最大正整(lg an )(lg an1 )4數(shù) m 的值 .1例 6.39 數(shù)列 an14n 22an 1n中， a8,a2 且滿足 aa (n N*) .（ 1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ 2）設(shè) n12|n|，求n ；S| a | | a| aS（ 3 ）設(shè) bn1( n N*) ， Tnb1 b2bn (n N *) ，是否存在最大的整數(shù)m ，使得對(duì)任意n(12 an)n N

3、* ，均有 Tnm 成立若成立？求出m 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 .322評(píng)注 本題中的的第（ 3）問(wèn)，還可以如下表述：bn110 ，故數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tnn(12an )2n (n1)是關(guān)于 n 的單調(diào)遞增函數(shù)，故Tn 的最小值為 T1b11 ，所以 T11 為 Tn 的最小值，故 1mm 8 ，故44432m 的最大整數(shù)值是7.即存在最大整數(shù) m7 ，使對(duì)任意 nN * ，均有 Tnm .32變式 1 已知等差數(shù)列 n 滿足 an 1nN *)11 ，該數(shù)列的前 3 項(xiàng)分別加上 1， 1， 3 后順次成為等aa (n， a比數(shù)列 bn 的前 3項(xiàng).（ 1）分別求數(shù)列 an ，

4、 bn 的通項(xiàng)公式 an ,bn ；（ 2）設(shè) Tna1a2an (nN *) ，若 Tn2nn3 1c(cZ ) 恒成立，求 c 的最小值 .b1b2bn2n3例 6.40已知數(shù)列 an 的首項(xiàng)為 1，前 n 項(xiàng)和 Sn 與 an 之間滿足 an2Sn2(n 2,n N *) .2Sn11（ 1）求證：數(shù)列 是等差數(shù)列；Sn（ 2）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ 3）設(shè)存在正整數(shù)k ，使 (1S1 )(1S2 )(1Sn )k2n1 對(duì)于一切 nN * 都成立，求k 的最大值 .4變式 1 設(shè)函數(shù) y f (x) 的定義域?yàn)?R，當(dāng) x0 時(shí)， f ( x)1 ，且對(duì)任意 x, yR ，都有

5、f ( x y) f ( x) f ( y)成立，數(shù)列 an 滿足 a1 f (0) ，且 f (an 1 )1N*) .(nf ( 2 an )（ 1）證明： f ( x) 在 R 上為減函數(shù)；（ 2）求 a2015 的值；（ 3）若不等式 (11 )(11) (11 ) k 2n 1 對(duì)一切 nN * 都成立，求 k 的最大值 .a1a2an5變式 2 已知 an 是遞增數(shù)列，其前n 項(xiàng)之和為 Sn ， a11 ，且 10Sn(2 an1)(an2)( nN *) .（ 1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ 2）是否存在 m, n, kN * ，使得 2(aman ) ak 成立？若存在，寫出

6、一組符合條件的m, n, k 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ 3）設(shè) bnann3 ,cn2(n3)an ，若對(duì)于任意的 nN * ，不等式25n15m10 恒成立，求正整數(shù)m 的最大值 .111cn 1n 131(1)(1)(1)b1b2bn6二、不等式的證明（構(gòu)造輔助函數(shù)法與放縮法的應(yīng)用）1.構(gòu)造輔助函數(shù)（數(shù)列）證明不等式引理： xxl nx (1)xx 1x l nxx1 (.1 )0 ,1xx證明： 先證不等式的左邊，xln( x1) ，移項(xiàng)得xln( x 1) 0，x1x1構(gòu)造輔助函數(shù)f (x)xln( x 1)(x 0).1x易知 f (0)0，欲證明f (x)0 ，只需證明f (

7、x) 在 (0,) 上單調(diào)遞減即可 .f (x)11x0，故函數(shù) f ( x) 在 (0,) 上單調(diào)遞減，f ( x) f (0)0 ，( x 1)2x 1( x 1)2故xln( x 1).x1再證明不等式的右邊，ln( x1)x .移項(xiàng)得 ln( x1)x 0 ，構(gòu)造輔助函數(shù) g( x) ln( x1)x( x0) .易知 f (0)0 ，欲證明 g (x)0 只需證明 g (x) 在 (0,) 上單調(diào)遞減，g (x)11x0 ，故函數(shù) g (x) 在 (0,) 上為減函數(shù) .x1x 1g ( x)g (0)0 ，故 ln( x1)x .綜上所述，當(dāng)x0 時(shí)xln( x1) x .x1不妨

8、令 x1(0,1, nN * ，則上述不等式變形為：n經(jīng)典不等式一：1ln(111N *)n 1)(nnn下面就利用經(jīng)典不等式一來(lái)證明在有關(guān)數(shù)列與不等式綜合題中所涉及的不等式證明問(wèn)題.例 6.41 證明不等式 ln n1112,n N *) .23(nn.7變式 1 證明：不等式 (112 )(112 )(112) (112 ) e .234n變式 2 數(shù)列 an 滿足 a11,an 1(111N*) .2)ann (nnn2（ 1）求證： an2(nN*, n2) ；（ 2）已知不等式ln( x1) x 對(duì) x0 成立，試證明：an e2.8變式 3 設(shè)函數(shù) f (x)ln x px1 .（

9、 1）求函數(shù) f ( x) 的極值；（ 2）當(dāng) p0 時(shí)，若對(duì)任意的x 0，恒有 f (x)0 ，求 p 的取值范圍；（ 3）求證：ln 2 2ln 32ln n22n2n 1(n N*, n 2).2232n22( n1)變式 4 已知函數(shù)f (x)x2 an 滿足 4Sn12x，各項(xiàng)都小于零的數(shù)列f ( ) 1 .2an（ 1）求證：1ln n11 (n N *) ；1annan（ 2）求證： 111ln 2015 111.232015220149變式 5 已知函數(shù) f (x) exx ，其中 e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) .（ 1）求 f (x) 的最小值；（ 2）設(shè) n N * ，且 n1n2

10、nn1 n1.2 ，證明： ()()()e 1nnnnk1變式 6 證明：不等式 1 (1 k2) ln n( n 1,2, ) .k1210經(jīng)典不等式二 ： ln(11 )112 ( nN*) .nnn經(jīng)典不等式三：ln(1111N*) .)2n3 (nnn證明：令1x(0,1，經(jīng)典不等式二可變?yōu)閘n(1x)xx2 ，移項(xiàng)得 ln(1 x)xx20 ，n構(gòu)造輔助函數(shù)f (x)ln(1x)xx2 (x0,1) .f (x)112x1(2 x1)(x 1)1 2x2x1x(2x1)0 ，1x1x1x1x故函數(shù) f ( x) 在 x0,1 上單調(diào)遞增，又f (0)0 ，故 f ( x)f (0)0

11、 ，即 ln(1x)xx20 .1(0,1 ，得 ln(11)11N*) .令 xnn2 (nnn同理可將經(jīng)典不等式三構(gòu)造輔助函數(shù)f ( x)ln(1x)x2x3 (x0,1) .f (x)12x3x23x3x22x1 3x3( x1)20, x0,1 ，x1x1x1故函數(shù) f ( x) 在 x0,1 上單調(diào)遞增，又f (0)0 ，故 f ( x)f (0)0 ，即 ln(1x)x2x30 .1(0,1 ，得 ln(11)11( n N*) .令 xn2n3nn例 6.42 求證：對(duì)任意的 nN * ，都有 ln(n1)ni21成立 .i 1i112.放縮法證明不等式在證明不等式時(shí)，有時(shí)把不等

12、式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來(lái)證明，我們稱這種方法為放縮法 .放縮時(shí)常采用的方法有：舍去一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)、在和或積中放大或縮小某些項(xiàng)、擴(kuò)大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福?.放縮法證不等式的理論依據(jù)是：A B, B CA C；A B,B CA C .放縮法是一種重要的證題技巧，要想用好它，必須有目標(biāo)，目標(biāo)可從要證的結(jié)論中去查找.方法 1：對(duì) an 進(jìn)行放縮，然后求和 .n當(dāng)ak 既不關(guān)于 n 單調(diào)，也不可直接求和，右邊又是常數(shù)時(shí)，就應(yīng)考慮對(duì)an 進(jìn)行放縮，使目標(biāo)變成可k 1求和的情形， 通常變?yōu)榭闪秧?xiàng)相消或壓縮等比的數(shù)列.證明時(shí)要注意對(duì)照求證的結(jié)論，調(diào)整與控制放縮的度 .例 6.43

13、n11求證：k2.k 2評(píng)注不同的證明方法可達(dá)不同的結(jié)論，基本原則是裂項(xiàng)要能相消；放縮程度越小、越精確，效果越好.此外，常用n( n1)n2n(n1)來(lái)放縮有關(guān)n2 的問(wèn)題 .12變式 1 正項(xiàng)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn滿足： Sn2( n2n 1)Sn ( n2n)0 .（ 1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 an ；（ 2）令 bnn1，數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和為Tn .證明：對(duì)于任意的n N * ，都有Tn5 .(n2) 2an26413例 6.44已知數(shù)列 an 滿足 a111an )2an 1 0( nN*),n(an2（ 1）求 an ；（ 2）(n2)an ， n 是數(shù)列n的前

14、n項(xiàng)和，求證：n1 .n2 n 1T b2bT14.變式 1 已知函數(shù) f (x)x(1 x)( x0) ，數(shù)列 cn 滿足 c11 , cn 1 f (cn )(n N *) .2求證：n N* , n2111時(shí)，都有 11 c11 c212 .cn變式 2 數(shù)列 an 中， a2,an 1 a (n N * ) .1n 12nn（ 1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ 2）設(shè) bnan2，若數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和為 T，求證： T1 .16n2an2nn215變式 3在數(shù)列 an ， bn 中， a12, b1 4 ，且 an ,bn , an 1 成等差數(shù)列， bn , an 1 ,bn

15、 1 成等比數(shù)列(n N * ) .（ 1） 求 a2 , a3 , a4 及 b2 ,b3 , b4 ，并由此猜測(cè) an ， bn 的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；（ 2）1115b1a2 b2an bn.a112變式 4（ 2012 廣東理 19）設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，滿足 2Snan 1 2n 1 1, n N * ,且 a1 , a2 5,a3成等差數(shù)列。（ 1）求 a1 的值；（ 2）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ 3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n ，有 1113.a1a2an216例 6. 45 已知數(shù)列 an 滿足 a11,an 12an 1(nN*) .（ 1）求數(shù)列 an

16、 的通項(xiàng)公式；（ 2）證明：n1a1a2ann*) .23a2a3an 1(nN217變式 1 已知數(shù)列 xn 滿足 x11 , xn 11(n N * ) .21 xn（ 1）猜想數(shù)列 x 的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；2 n（ 2）證明： | xn 1xn | 1( 2 )n 1 (nN*) .65變式 2 已知曲線 C : xy1，過(guò) C 上一點(diǎn) A( x, y) 作斜率為 k的直線，交曲線C 于另一點(diǎn)A ( x , y) ，再過(guò)1111222點(diǎn) A2 ( x2 , y2 ) 作斜率為 k2 的直線，交曲線C 于另一點(diǎn) A3 ( x3 , y3 )，其中 x1xn1(n*.1,kn4xnN

17、)xn2（ 1）求 xn 1 與 xn 的關(guān)系式；（ 2）判斷 xn 與 2 的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（ 3）求證： | x12 | x22 | xn2 | 2 .18變式 3 已知數(shù)列 x ，y ，滿足xx21, y1y22 ，并且 xn 1xnyn 1yn( 為非零實(shí)數(shù) ,nn1xnxn 1ynyn1n 2,3,4,) .（ 1）若 x , x , x 成等比數(shù)列，求參數(shù)的值；135（ 2）當(dāng)0 時(shí)，證明： xn 1xn(nN*)；yn 1yn（ 3）當(dāng)1 時(shí)，證明：x1y1x2y2xnyn(n*) .x2y2x3y3xn 1yn 1N1方法 2 添舍放縮例6.46求證： 122 3n

18、 (n 1)n(n 2) ( n N* ) .2.19變式 1求證： 1102 19n (9n 1)n(6n 7) (n N * ) .4變式 2 設(shè)數(shù)列 an 滿足 a1 2, an 1an1 ，且 an2n1 對(duì)一切正整數(shù) n 均成立，令anbnan( n 1,2, ) ，判定 bn 與 bn 1的大小，并說(shuō)明理由 .n1ax1). 求證： |n變式 3已知 f ( x)(0 af (k ) n | 4.xi1a2120方法 3 對(duì)于一邊是和或者積的數(shù)列不等式，可以把另外一邊的含的式子看作是一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)的和或者積，求出該數(shù)列通項(xiàng)后再左、右兩邊一對(duì)一地比較大小，這種思路非常有效，還可以分析

19、出放縮法證明的操作方法，易于掌握. 需要指出的是，如果另外一邊不是含有的式子，而是常數(shù)，則需要尋找目標(biāo)不等式的加強(qiáng)不等式，再予以證明.例 6.47求證： 1111) 2n（n N * ).925(2n4(n1)變式 1已知 nN* ，求證： 111191.2!3!n!52 n!變式 2111n(n 1) .求證： 13nln( n 1)22(n1)21*11111例 6. 48 已知 n N，求證： (1) (12 )(1n )23n 1 .333變式 1已知 nN * ，求證： (1 1) (11)(11)2n 1 .132n122方法 4：?jiǎn)握{(diào)放縮例 6. 49等比數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)之

20、和為 Sn ，已知對(duì)任意的nN * ，點(diǎn) ( n, Sn ) 均在函數(shù)ybxr ，的圖象上 .（ 1）求 r 的值；（ 2）當(dāng) b2時(shí)，記 b2(loga1) ( n N * ) ，求證：對(duì)任意的*)，不等式n2 n( n Nb11 b2 1bn 1n 1成立 .b1b2bn23變式 1已知曲線 Cn : x 22nxy20 ( n1,2) ，從點(diǎn) P( 1,0) 向曲線 Cn 引斜率為 kn (kn0) 的切線 l n ，切點(diǎn)為 Pn ( xn , yn ) .（ 1）求數(shù)列 xn 的通項(xiàng)公式；（ 2）求證： x1 x3x2n 3x2 n 11xn .1xn變式 2已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 a

21、n 的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足 Sn1 ，且 6Sn(an 1)(an2) (nN*).（ 1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ 2）設(shè)數(shù)列 bn 滿足 an (2bn1)1，并記 Tn 為數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 .求證：3Tn1 log 2 (an3) (n N * ) .變式 3已知函數(shù) f ( x) ln(1 x)x, 記 f (x) 在區(qū)間 0, n ( nN * ) 上的最小值為 bn ，令 anln(1n) bn .求證： a1a1a3a1 a3a2 n 12an 11 .a2a2a4a2 a4a2n24最有效訓(xùn)練題25（限時(shí) 45 分鐘）1.設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn

22、 ，且 S15 0, S16 0,S1,S2,S15中的最大值是（）則a2a15a1A. S15B. S9C. S8D. S1a15a9a8a12.設(shè)等差數(shù)列 an 的前n 項(xiàng)和 Sn ，已知 (a71)22012(a71)1, (a20161)22012(a2016 1)1，有下列結(jié)論： S20122012; S20122012;a2012a7 ; a2012a7 .其中正確的結(jié)論的序號(hào)是（）A. B. C.D.3.已知 an是等差數(shù)列，且公差 d 不為零，其前n 項(xiàng)和是 Sn ，若 a3 ,a4 ,a8 成等比數(shù)列，則（）A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40C.a1d 0,dS40D.a1d0,dS404.已知函數(shù) f ( x)sin x, x (0, 5 ) ，若方程 f ( x)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且三個(gè)根從小到大依次成2等比數(shù)列，則的值為（）A.123D. 12B.C.225.定義在 (,0)(0,) 上的函數(shù) f ( x) ，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列 a n, f a n 仍是等比數(shù)列， 則稱 f (x) 為“保等比數(shù)列函數(shù)” .現(xiàn)有定義在 (,0) (0,) 上的如下函數(shù)：f (x)x 2 ； f ( x)2x ；f (x)| x | ； f (