一元二次方程知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用

1、一、相關(guān)知識(shí)點(diǎn) 1理解并掌握一元二次方程的意義 未知數(shù)個(gè)數(shù)為 1未知數(shù)的最高次數(shù)為 2,整式方程，可化為一般形式； 2 正確識(shí)別一元二次方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù) 2 (1 )明確只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù) a 0時(shí)，整式方程ax bx c 0才是一元二次方程。 (2) 各項(xiàng)的確定(包括各項(xiàng)的系數(shù)及各項(xiàng)的未知數(shù) ). (3) 熟練整理方程的過(guò)程 3元二次方程的解的定義與檢驗(yàn)一元二次方程的解 4 列出實(shí)際問(wèn)題的一元二次方程 二解法 1 明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開(kāi)平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而 把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解； 2根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，熟練地選用配方法、開(kāi)平

2、方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3體會(huì)不同解法的相互的聯(lián)系； 4 值得注意的幾個(gè)問(wèn)題： (1)開(kāi)平方法：對(duì)于形如 X2 n或(ax b)2 n(a 0)的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未 知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用開(kāi)平方法求解 形如x2 n的方程的解法： 當(dāng)n 0時(shí), 當(dāng)n 0時(shí), 當(dāng)n x . n ； XiX20； 0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。 (2)配方法：通過(guò)配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為(x m)2 n的方程，再運(yùn)用開(kāi)平方法求解。 配方法的一般步驟： 移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊； “系數(shù)化1”：根據(jù)等式

3、的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1； 配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為(x m)2 n的形式； 求解：若n 0時(shí)，方程的解為x m n，若n 0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解。 (3)公式法：一元二次方程 2 ax bx c 0(a0)的根 x b b2 4ac 2a 當(dāng) b2 4ac 0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等; b2 4ac 0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫(xiě)為 x1x2 b 2a ； 當(dāng) b2 4ac 0 時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根 公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定a,b, c的值；代入b2 4ac中計(jì)算其值，判 斷方程是否有實(shí)數(shù)根；若 b2

4、4ac 0代入求根公式求值，否則，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。 （因?yàn)檫@樣可以減少計(jì)算量。另外，求根公式對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一 元二次方程。 ） （4）因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為0，即: 若 ab 0,則 a 0或b 0 ； 因式分解法的一般步驟： 若方程的右邊不是零,則先移項(xiàng),使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個(gè)因式都為零,得 到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。 （5）選用適當(dāng)方法解一元二次方程 對(duì)于無(wú)理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要

5、簡(jiǎn)便的多，只不過(guò)應(yīng)注意二次 根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題。 方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡(jiǎn)便，若整理為一般式再解就較為麻煩。 （6）解含有字母系數(shù)的方程 （1）含有字母系數(shù)的方程,注意討論含未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù),以確定方程的類型； （2）對(duì)于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解,不能用因式分解的可選用別的方法,此時(shí)一定 不要忘記對(duì)字母的取值進(jìn)行討論。 三、根的判別式 1了解一元二次方程根的判別式概念,能用判別式判定根的情況,并會(huì)用判別式求一元二次方程中符合 題意的參數(shù)取值范圍。 （1） =b2 4ac 2）根的判別式定理及其逆定理：對(duì)于一元二次方程 ax2 bx c 0 （ a 0） 當(dāng) 0 0時(shí)

6、 方程有實(shí)數(shù)根； 0 0時(shí) 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) a0 0時(shí) 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； ） 當(dāng) 0 0時(shí) 方程無(wú)實(shí)數(shù)根； 從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。 2常見(jiàn)的問(wèn)題類型 （1）利用根的判別式定理,不解方程,判別一元二次方程根的情況 2）已知方程中根的情況,如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍 3）應(yīng)用判別式,證明一元二次方程根的情況 先計(jì)算出判別式（關(guān)鍵步驟） 用配方法將判別式恒等變形； 判斷判別式的符號(hào)； 總結(jié)出結(jié)論 （4）分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時(shí)未指明是二次方程，后面也未指明兩個(gè)根，那一定要對(duì)方 程進(jìn)行分類討論，如果二次系數(shù)為0，方程有可

7、能是一元一次方程；如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0, 元二次方 程可能會(huì)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根或無(wú)實(shí)數(shù)根。 （5）元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識(shí)綜合命題，解答時(shí)要在全面 分析的前提下，注意合理運(yùn)用代數(shù)式的變形技巧 （6）元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合 （7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題 四、一元二次方程的應(yīng)用 1數(shù)字問(wèn)題：解答這類問(wèn)題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。 2幾何問(wèn)題：這類問(wèn)題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法則來(lái)尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對(duì)結(jié)果要 結(jié)合幾何知識(shí)檢驗(yàn)。 3增長(zhǎng)率問(wèn)題（下降率）：在此類問(wèn)題中，一般有變化前的基數(shù)（a），增長(zhǎng)率

8、（x），變化的次數(shù)（n）， 變化后的基數(shù)（b ），這四者之間的關(guān)系可以用公式a（i x）n b表示。 4.其它實(shí)際問(wèn)題（都要注意檢驗(yàn)解的實(shí)際意義，若不符合實(shí)際意義，則舍去）。 五實(shí)際應(yīng)用 （1）有100米長(zhǎng)的籬笆材料，想圍成一矩形倉(cāng)庫(kù)，要求面積不小于600平方米，在場(chǎng)地的北面有一堵 50 米的舊墻，有人用這個(gè)籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)40米、寬10米的倉(cāng)庫(kù)，但面積只有 400平方米，不合要求，問(wèn)應(yīng) 如何設(shè)計(jì)矩形的長(zhǎng)與寬才能符合要求呢？ （2）讀詩(shī)詞解題（列出方程，并估算出周瑜去世時(shí)的年齡）： 大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽 符，哪位學(xué)子算得準(zhǔn)，

9、多少年華屬周瑜？ （36歲） 已知：a,b,c分別是 ABC的三邊長(zhǎng)，當(dāng)m 0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程 c（x2 m） b（x2 m） 2 max 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證：ABC是直角三角形。 222 c a )x c 0沒(méi)有實(shí)數(shù)根。 (5)當(dāng)m是什么整數(shù)時(shí), 關(guān)于x的一元二次方程 mx2 4x 4 0與x2 2 4mx 4m 4m 50 的根 都是整數(shù)？ ( m 1) (6)已知關(guān)于x的方程x2 2x m21 x2 2x 2m 0，其中m為實(shí)數(shù)，(1 )當(dāng)m為何值時(shí)，方程沒(méi)有實(shí) 數(shù)根？ ( 2)當(dāng)m為何值時(shí)，方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根？求出這三個(gè)實(shí)數(shù)根。 答案：(1) m 2( 2)

10、x 1, 1.2. (二)一元二次方程的解法 1.開(kāi)平方法解下列方程： (1) 5x2 125 0 (x-i 5, x25) (2) 169(x 3)2 289 56 (x1 百 X2 22 ) 13 2 (3) y 3610 (原方程無(wú)實(shí)根) (4) (1. 3)m20(m1 m20) 2.配方法解方程： (1) x2 2x 50(x 1. 6 ) 2 (2) y 5y 10(x 3.公式法解下列方程： 23 3 (1) 3x 6x 2(x 3 (2) p232 3p (P1P23 ) (4)已知：a,b,c分別是 ABC的三邊長(zhǎng)，求證：方程 b2x2 (b2 4.因式分解法解下列方程： 2

11、 (2) y 4y 450 ( y- 9,y25) 1 2 （1） -X k為何值時(shí)，關(guān)于 x的二次方程kx2 6x 9 0 （1）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根（k1且k0） （2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（k1） （3）無(wú)實(shí)數(shù)根（k1） 90（ x 6） 4 (3) 8x210 x 30 (劉丄，X2 3 -) (4). 7x2- 21x0(捲 Ox 、3) 4 2 5解法的靈活運(yùn)用（用適當(dāng)方法解下列方程） (1).2(2x 7)2,128( x -2 ) 2 2 2 2 (2) 2m m 12(m2m)(m 6解含有字母系數(shù)的方程（ 解關(guān)于x的方程）： (1) x2 2mx m2 n20 (x1 m n,

12、 x2 m n) (2) x2 3a24ax 2a 1 (X1 3a 1,X2 a 1) （三）一元二次方程的根的判別式 1.不解方程判別方程根的情況： (2) 3(x22) 4x (無(wú)實(shí)數(shù)根) （1） 4x2 x 3 7x （有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根） 3 -) 2 2 4若方程X2 2 2( a 1)x a 4a 5 0有實(shí)數(shù)根，求：正整數(shù) a. (a 1, a 2, a 3) 2 2 5對(duì)任意實(shí)數(shù) m,求證：關(guān)于x的方程（m 1）x 2mx m24 0無(wú)實(shí)數(shù)根. 2 6. k為何值時(shí)，方程(k 1)x(2k3)x (k 3) 0有實(shí)數(shù)根. 7 設(shè)m為整數(shù)，且4 m 40 時(shí)，方程 x22(2m

13、 2 3)x 4m 14m 8 0有兩個(gè)相異整數(shù)根, (m 2,捲 x2 或 m 10, X! x2 2 52 ) 的值及方程的根。（當(dāng)m=12時(shí)，方程的根為 為16, X2 26 ；當(dāng)m=24時(shí)，方程的根為X1 38, X2 3 某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出 20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售增加盈利，盡快 減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)每天可多售出2 件，若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？（ 20元） 4.已知甲乙兩人分別從正方形廣場(chǎng) ABCD的頂點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，甲由 C向D運(yùn)動(dòng)，乙由B向C運(yùn)動(dòng), 40千米，問(wèn)幾分鐘后，兩人相 甲的速度為每分鐘 1千米，乙的速度每分鐘 2千米，若正方形廣場(chǎng)周長(zhǎng)為 距2,10千米？（2分鐘后） 7.某科技公司研制一種新產(chǎn)品，決定向銀行貸款200萬(wàn)元資金，用于生產(chǎn)這種產(chǎn)品，簽訂的合同上約定 兩年到期時(shí)一次性還本付息，利息為本金的8%,該產(chǎn)品投放市場(chǎng)后由于產(chǎn)銷對(duì)路，使公司在兩年到期時(shí)除還 清貸款的本金和利息夕卜,還盈余72萬(wàn)元，若該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)相同，試求這 個(gè)百分?jǐn)?shù).（20%） &如圖，東西和南北向兩條街道交于O點(diǎn)，甲沿東西道由西