Selected2009數(shù)值分析試題A卷與答案

1、Useful Documents 試題 _20GG_年_20GG_年第一學(xué)期 課程名稱(chēng)： 數(shù)值分析 專(zhuān)業(yè)年級(jí)： 20GG 級(jí)（研 究生） 考生學(xué)號(hào)： 考生姓名： 試卷類(lèi)型： A 卷 B卷考試方式 :開(kāi)卷閉卷 .填空題（本大題共 4小題，每小題 4分，共 16分） 1. 設(shè)有節(jié)點(diǎn) x0,x1,x 2，其對(duì)應(yīng)的函數(shù) y f x 的值分別為 y0,y1,y 2， 則二次拉格朗日插值基函數(shù) l0（x）為 2.設(shè) f x x ，則 f x 關(guān)于節(jié)點(diǎn) x0 0,x1 1,x2 3 的二階向 前差分為 3. 設(shè) A 10 11 ，x 11 4.n 1個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精確度為 簡(jiǎn)答題（本大題共 3

2、小題，每小題 8 分，共 24 分） 1. 哪種線(xiàn)性方程組可用平方根法求解？為什么說(shuō)平方根法計(jì) 算穩(wěn)定？ Useful Documents Useful Documents 2. 什么是不動(dòng)點(diǎn)迭代法？x 滿(mǎn)足什么條件才能保證不動(dòng) 點(diǎn)存在和不動(dòng)點(diǎn)迭代序列收斂于 x 的不動(dòng)點(diǎn)？ 3. 設(shè) n 階 矩 陣 A 具 有 n 個(gè) 特 征 值 且 滿(mǎn) 足 1 2 3 n ，請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明求解矩陣 A的主特征值和特 征向量的算法及流程。 并估計(jì)誤差。 10 分） 四 試用 n 1, 2,的4 牛頓- 科特斯 求積公式計(jì)算定積分 五 11 dx 0 1 x 用 Newton 法求 f (x) x cosx 0 的

3、近似解。(10 分) 10 分） 試用 Doolittle 5 6 x1 13 19 雅6可 分解法求解方程組： 10 19 （10 分） 3020 x1 2x2 3x3 24 代法求30解線(xiàn)性方程組x1 8x2 x3 12 的 2x1 3x2 15x3 30 六 2 4 63 七請(qǐng)寫(xiě) x2 x迭3 迭代格式，并判斷其是否收斂？（ 10 分） 1 2 3 yy 八就初值問(wèn)題考察歐拉顯式格式的收斂性。（10 分） y（0） y0 求一個(gè)次數(shù)不高于 3的多項(xiàng)式P3 x ，滿(mǎn)足下列插值條件： xi 1 2 3 yi 2 4 12 yi 3 Useful Documents 數(shù)值分析（ A ）卷標(biāo)準(zhǔn)答

4、案 （20GG20GG1） 一 填空題（每小題 3 分，共 12 分） 1. l0 x （x x1）（x x2） ；2.7 ；3.3，8；4.2n+1。 0（x0 x1）（x0 x2 ） 二簡(jiǎn)答題（本大題共 3 小題，每小題 8 分，共 24 分） 1.解：系數(shù)矩陣為對(duì)稱(chēng)正定的方程組可用平方根法。 （ 4 分） 對(duì)于對(duì) 稱(chēng)正 定陣 A，從 aiiik 1l2ik可知 對(duì)任意 A i 有 |lik | aii 。即L的元素不會(huì)增大，誤差可控，不需選主元，所以 穩(wěn)定。（4 分） 2. 解：（1 ）若 x*x* ，則稱(chēng) x* 為函數(shù) x 的不動(dòng)點(diǎn)。（ 2 分） （2） x 必須滿(mǎn)足下列三個(gè)條件， 才

5、能保證不動(dòng)點(diǎn)存在 和不動(dòng)點(diǎn)迭代序列收斂于 x 的不動(dòng)點(diǎn)： 1）x 是在其定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)； （ 2 分） 2）x 的值域是定義域的子集； （2 分） 3）x 在其定義域內(nèi)滿(mǎn)足李普希茲條件。 （2 分） 3. 解：參照冪法求解主特征值的流程（ 8 分） 步 1 ：輸入矩陣 A ，初始向量 v0 ，誤差限 ，最大迭代次數(shù) N; 步 2 ：置 A:=1, :=0 ，u0=v0/|v0| ; 步 3 ：計(jì)算 vA=AuA-1; Useful Documents Useful Documents 步 4：計(jì)算 vk r m1 ianx vk i ; 并置 mA:=vAr,uA:=vA/mA; 步 5：

6、若 |mA- | ，計(jì)算，輸出 mA,uA ；否則，轉(zhuǎn) 6； 步 6 ：若 AN, 置 A:=A+1, :=mA ，轉(zhuǎn) 3；否則輸出計(jì)算失敗 信息，停止 三解：（1）利用插值法加待定系數(shù)法： 31 設(shè) p2 x 滿(mǎn) 足p2 1 2 p2 ,2 p2 4 則 p2 x 3x2 7x 6,（3 分） 再設(shè) p3 x p2 x K x 1 x 2 x 3 （3 分） K 2 （1 分） p3 x 2x3 9x2 15x 6 （1 分） （2） R3 x 1 f Useful Documents x 1 x 2 2 x 3 （2 分） 4! 四解：應(yīng)用梯形公式得 I I1 1 f 0 f 1 （2 分

7、） 0.75 （1 分） 應(yīng)用辛普森公式得： I I2 1 f 0 4f 1 f 1 （2 分） 2 6 2 0.69444444（1 分） 應(yīng)用科特斯公式得： 7f 1 1113 I I4 7f 0 32f 12f 32f 4 90424 （ 2 分） 0.6931746（ 2 分） Useful Documents 五解：由零點(diǎn)定理， x cosx 0在（0, ）內(nèi)有根。（2 分） 2 由牛頓迭代格式 xn 1 xn xn cosxn n 0,1, （4 分） 1 sinxn 取 x0得， 04 x1 0.73936133; x2 0.739085178 1 2（ 3 分） x3 0.73

8、9085133 x4 0.739085133 故取 x* x4 0.739085133 （1 分） 六 解：對(duì)系數(shù)矩陣做三角分解： 2 56100 u11u12u13 4 1319l2110u22u23 （ 2 分） 1 2 251 6 22 23 A6 23 1 6l313 l327 1 LU （4分）u33 若Ly b，則 y1 10,y2 1,y3 4；（2 分） 若Ux y，則 x （3,2,1）T。（2 分） 七解：（1）對(duì)于方程組，雅可比方法的迭代矩陣為 0 0.5 0.5 B 1 0 1 （ 2 分） 0.5 0.5 20 其特征多項(xiàng)式為 det（ I B） 2 1.25 ，且特

9、征值為 1 0, 2 1.25i, 3 1.25i （2 分） 故有 B 1.25 1，因而雅可比迭代法不收斂。 （1 分） 2）對(duì)于方程組， Gauss-Seidel 0 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0 0 0.5 3 0.5 ( 2 分） B 其特征值為 1 0, 2 2 分） 迭代法迭代矩陣為 故有 B 0.5 1 ，因而雅可比迭代法收斂。 （1 分） 八證明題（本大題共 2 小題，每小題 7 分，共 14 分） Useful Documents Useful Documents 1.證：該問(wèn)題的精確解為 y（x） y0e x（2 分） 歐拉公式為 yi 1 yi h yi （1 h）yi （ 2 分） 對(duì)任意固定的 x xi ih ， 有 yi y0（1 h）xi/h y0（1 h）1/ h xi，（2 分） 則y0e xi y（xi）（1 分） 2.證：