《橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課題： 2. 1. 1橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程 鹿城中學(xué) 田光海 一、教案背最： 1 面向?qū)ο螅焊咧卸昙?jí)學(xué)生 2.學(xué)科：數(shù)學(xué) 3課時(shí)：2課時(shí) 4教學(xué)內(nèi)容：高中新課程標(biāo)準(zhǔn)教科書數(shù)學(xué)北師大版選修1-1 第二章圓錐曲線與方程2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 二. 教材分析 本節(jié)課是圓錐曲線的第一課時(shí)，它是繼學(xué)生學(xué)習(xí)了直線和圓的方 程，對(duì)曲線和方程的概念有了一些了解，對(duì)用坐標(biāo)法研究幾何問題有 了初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)用坐標(biāo)法研究曲線。橢圓的學(xué)習(xí)可 以為后面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎(chǔ)。因此這節(jié)課 有承前啟后的作用，是本章的重點(diǎn)內(nèi)容之一。 1. 教法分析 結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)、啟發(fā)引導(dǎo)、探究

2、合作。在學(xué)生的生活體 驗(yàn)、直觀感知、知識(shí)儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生逐步建構(gòu)概念，為學(xué)生 數(shù)學(xué)思想方法的形成打下基礎(chǔ)。利用多媒體課件，精心構(gòu)建學(xué)生自主 探究的教學(xué)平臺(tái)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察，想象，思考，實(shí)踐，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律、 突破學(xué)生認(rèn)知上的困難，讓學(xué)生體驗(yàn)問題解決的思維過程，獲得知識(shí), 體驗(yàn)成功。主要采用探究實(shí)踐、啟發(fā)與講練相結(jié)合。 2. 學(xué)法分析 從知識(shí)上看，學(xué)生已掌握了一些橢圓圖形的實(shí)物與實(shí)例，對(duì)曲線 和方程的概念有了一些了解，對(duì)用坐標(biāo)法研究幾何問題有了初步的認(rèn) 識(shí)。 從學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)能力看，通過一年多的學(xué)習(xí)，學(xué)生已具備了一 定的觀察事物的能力，積累了一些研究問題的經(jīng)驗(yàn)，在一定程度上具 備了抽象、概

3、括的能力和語言轉(zhuǎn)換能力。 從學(xué)生的學(xué)習(xí)心理上看，學(xué)生頭腦中雖有一些橢圓的實(shí)物實(shí)例， 但并沒有上升為“概念”的水平，如何給橢圓以數(shù)學(xué)描述P如何“定 性” “定量”地描述橢圓是學(xué)生關(guān)注的問題，也是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)問題。 他們渴望將感性認(rèn)識(shí)理性化，渴望通過自己動(dòng)手作圖、觀察來辨析和 完善概念，通過對(duì)比產(chǎn)生頓悟，渴望獲得這種學(xué)習(xí)的積極心向是學(xué)生 學(xué)好本節(jié)課的情感基礎(chǔ)。 3 .教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：掌握橢圓的定義；理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程， 掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式，會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方 程。 過程與方法：經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，逐步提 高學(xué)生的觀察、分析、歸納、類比、概括能力；通

4、過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的 推導(dǎo)，進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方一坐標(biāo)法，并滲透數(shù)形結(jié) 合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。 情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過課堂活動(dòng)參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的 興趣，提高學(xué)生審美情趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神。 4 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式 難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)教學(xué)方法 5 教學(xué)準(zhǔn)備 通過百度搜索與橢圓有關(guān)的圖片資料，利用百度搜索相關(guān)的教學(xué) 資料制作多媒體課件，自制教具：繪圖板、圖釘、細(xì)繩。 三、教學(xué)過程 教 學(xué) 環(huán) 節(jié) 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 情最1:用圓柱狀水杯盛半杯水，將水杯放在 引入生活 水平桌面上，截面為圓形.當(dāng)端起水杯喝水時(shí)， 學(xué)生

5、觀察 情境激發(fā) 水杯傾斜，再觀察水平面，此時(shí)截面為橢圓 學(xué)生的學(xué) 形.（演示） 習(xí)欲望，自 問題1:聯(lián)想生活中還有哪些是橢圓圖形？ 然引入新 n 12 - 學(xué)生舉例 課，同時(shí)與 其實(shí)際相 1 91 聯(lián)系，拓寬 創(chuàng) 學(xué)生思維， 設(shè) 發(fā)展他們 情 聯(lián)想、類比 引 入 新 課 問題2: (1)圓是怎么畫出來的？ (2) 圓的定義是什么？ (3) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么形式的？ 能力。 使學(xué)生在 感嘆祖國 科技輝煌 發(fā)展的氛 圍中認(rèn)識(shí) 橢圓。 用類比的 思想，通過 學(xué)生思考已經(jīng)學(xué)過 后回答。的圓的知 識(shí)猜想橢 圓，開展后 續(xù)教學(xué)。 猜想：1、橢圓是怎么畫出來的？ 2、橢圓的定 義是什么？ 3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

6、程又是什么形 式？ 探究1 給學(xué)生提 將圓心從一點(diǎn)“分裂”成兩點(diǎn)，給你兩個(gè)圖釘， 供一個(gè)動(dòng) 一根無彈性的細(xì)繩，一張紙板，能畫出橢圓 手操作，合 嗎？ 作學(xué)習(xí)的 同桌同學(xué) 讓學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，使其探究性學(xué)習(xí)， 機(jī)會(huì);通過 互 按照老師 再提出以下問題： 實(shí)驗(yàn)讓學(xué) 動(dòng) 的要求合 思考1:在紙板上作圖說明什么？ 生去探究 探 作畫圖，并 思考2：在作圖過程中，有哪些物體的位 “滿足什 究 思考軌跡 置沒變？有哪些量沒有變？ 么樣的條 上的點(diǎn)具 思考3:若調(diào)節(jié)兩圖釘?shù)南鄬?duì)位置， 所得 件下的點(diǎn) 備什么特 到的圖形有何變化？ 的集合為 點(diǎn)。 根據(jù)橢圓畫法，從中歸納橢圓定義一一與兩個(gè) 橢圓”;讓 形 展示

7、學(xué)生 定點(diǎn)的距離之和為定長（繩長）的點(diǎn)的軌跡為 每個(gè)人都 成 成果。請(qǐng)學(xué) 橢圓（繩長大于兩定點(diǎn)間距離） 動(dòng)手畫圖， 概 生代表本 動(dòng)態(tài)演示動(dòng)點(diǎn)生成軌跡的全過程，印證猜想 自己思考 念 小組交流 問題，由此 探究結(jié)論: 培養(yǎng)學(xué)生 f 的自信 心。 互 動(dòng) 探 究 深 化 概 念 探究2 在繩長不變的情況下，改變兩個(gè)圖釘之間 的距離，畫出的橢圓有何變化？ 當(dāng)兩個(gè)圖釘重合在一起時(shí)，畫出的圖形是 什么？ 當(dāng)兩個(gè)圖釘之間的距離等于繩長時(shí)，畫出 的圖形是什么？ 當(dāng)兩個(gè)圖釘之間固定，能使繩長小于兩個(gè) 圖釘之間的距離嗎？ 定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)碼距離的和等于常 數(shù)（大于區(qū)即）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。 教師指出：這兩

8、個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn) 的距離叫橢圓的焦距。 思考1：焦點(diǎn)為弘瑪?shù)臋E圓上任一點(diǎn)M,有什 么性質(zhì)？ 令橢圓上任一點(diǎn)M,則有 陋引+ |胚引=2a （2a 2c =虧巧D 補(bǔ)充：若加c時(shí)，軌跡是線段碼碼；若玄 /? 0 ) ( )叫做橢圓的標(biāo) W b 準(zhǔn)方程。它表示焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 耳(一c,0),耳(c,0),其中 c2 =a2-b2 學(xué)生思考 后主動(dòng)發(fā) 言回答。 厶 +占=1 (/?0 ),它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn) a- b 方程。 此時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在)軸上， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為斥(0,c)耳(0,-c),其中c2=a2-b2 我們可以發(fā)現(xiàn)，以上兩種方案是最好的。 問：觀察一下焦點(diǎn)分別在X軸、y軸

9、上的橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何根據(jù)方程判斷其焦點(diǎn)在X軸 上還是在y軸上？(看分母大小,哪個(gè)分母大焦 點(diǎn)就在哪一條軸上) 說明： 以上三條, 盡量由學(xué) 生總結(jié)出 解曲線與 方程的關(guān) 系，感受恰 當(dāng)選擇坐 標(biāo)系的優(yōu) 越性，感受 標(biāo)準(zhǔn)方程 的簡潔、對(duì) 稱、和諧之 美,并在實(shí) 踐中通過 對(duì)比提高 決策能力、 計(jì)算能力、 培養(yǎng)學(xué)生 簡約的思 維能力。 培養(yǎng)學(xué)生 的觀察、分 (1)在兩個(gè)方程中，總有ab0 (2)橢圓的三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足： 即 a2=b2+c29 a 最大 (3)要分清焦點(diǎn)的位置，只要看F和y2的分母的 2 ? 大小。例如橢圓+ = 1 ( m 0 , /? 0 , m n 當(dāng)用“時(shí)表7K

10、焦點(diǎn)在X軸上的橢圓；當(dāng)時(shí) 表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。 析歸納能 力。 例1 適負(fù)理看代職懶標(biāo)準(zhǔn)方程 lr / (1) a =4, b=l,焦點(diǎn)在x軸 培養(yǎng)學(xué)生 例 (2) a =4, c= 用,焦點(diǎn)在y軸上 運(yùn)用知識(shí) 題 解決問題 研 (3)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(0 , -2)和(0,2) 能力 討 并且經(jīng)過點(diǎn)(-1.5 , 2.5) 解：因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以設(shè)所求方程為 學(xué)生獨(dú)立 T 存4名驗(yàn)如0) cr 肝 完成學(xué)生 所求方程為 討論 變 (2)因?yàn)榻裹c(diǎn)在y稱圭刪設(shè)所求方程為 式 2 2 精 牙 戸+薩電(妒00) 解決情景 析 所求方程為 y2 設(shè)置中的 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)詁祇，矯以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)

11、問題 方程為 由橢圓的定義知， 2“=J(-討+(|+呵+J(-|)2*i|l 劭 31 = -Vio+-Vio =2Vio 22 a = y/0c = 2_f/2 _c2 所以所求橢圓方程為 r2 v2 + = 1. 例2我國發(fā)射的神舟八尊飛胡叟軌前，是在以 地心F2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道上運(yùn)行，已知它 的近地點(diǎn)E距地面200公里，遠(yuǎn)地點(diǎn)A距地 面330公里，并且F2、A、B在同一直線上， 地球半徑約為6371km,求軌道方程(精確到 1km) o 練 習(xí) 檢 測(cè) 當(dāng) 堂 1、如果橢圓君+ J = 1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F】 10036 距離是6,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2距離 是。 2、求適合下列條件

12、的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0, 2) , (0, -2), 橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(-|冷) (2)a+b=10,c=2 薦 學(xué)生練習(xí) 檢測(cè)學(xué)習(xí) 成果 鞏 固 最后進(jìn)行課堂小結(jié)，先由學(xué)生小組討論，再個(gè) 學(xué)生總結(jié) 擺脫傳統(tǒng) 教學(xué)中教 師小結(jié)的 別提問，然后集體補(bǔ)充，最后教師才引導(dǎo)和完 出在知識(shí)、 做法，以表 善。師生應(yīng)共冋歸納本節(jié)所學(xué)內(nèi)容、知識(shí)規(guī)律 數(shù)學(xué)思想 格形式出 總 以及所學(xué)的數(shù)學(xué)思想和方法。 等方面的 現(xiàn),讓學(xué)生 結(jié) 收獲 自己總結(jié)， 概 這一節(jié)課你收獲到了什么？ 加深對(duì)本 括 布矍作業(yè) 節(jié)課內(nèi)容 層次1 的認(rèn)識(shí) 1教材練習(xí)A 3.4題 練習(xí)E第二題 層次1的 2.你能用直尺和圓

13、規(guī)作出橢圓上的任意一點(diǎn) 目的是強(qiáng) 課 嗎？作圖的依據(jù)是什么？根據(jù)你的作圖方法， 化鞏固本 后 能找到與之相應(yīng)的方法求出橢圓方法嗎？ 節(jié)內(nèi)容 提 升 層次2 層次2的 目的是激 課后利用【百度搜索】深入的對(duì)橢圓的相關(guān)知 發(fā)學(xué)生學(xué) 識(shí)進(jìn)行了解。 習(xí)的興趣， 提高數(shù)學(xué) 文化品位。 六、板書設(shè)計(jì) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1、橢圓的定義 2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)、焦點(diǎn)在x軸上 (2 )、焦點(diǎn)在y軸上 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程 書寫 例1： 例2： (1) 詳寫 (2) 寫關(guān)鍵步驟 七、教學(xué)反思 本節(jié)課整個(gè)教學(xué)過程為：提出問題探索解決問題一一歸 納反思提高。在問題的設(shè)計(jì)中，從多角度探究，縱向挖掘知識(shí)深 度，橫向加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，這樣的設(shè)計(jì)不但突出了重點(diǎn)，更使難點(diǎn) 的突破水到渠成。 本節(jié)課以問題為紐帶，以探究活動(dòng)為載體，學(xué)生在自覺進(jìn)入問題 情境后，在問題的指引下和老師的指導(dǎo)下，通過實(shí)踐、探索、體驗(yàn)、 反思等活動(dòng)把探究活動(dòng)層層展開、步步深入，親身經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過 程。使學(xué)生在知識(shí)的形成過程中，獲得數(shù)學(xué)的情